关于Li-Yorke δ-混沌与按序列分布δ-混沌的等价性

李 健, 谭 枫

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

关于Li-Yorke δ-混沌与按序列分布δ-混沌的等价性

李 健, 谭 枫

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

关注Li-Yorke混沌和按序列分布混沌的关系,指出全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合为乘积空间中的一个Gδ集.证明了: (1)Li-Yorkeδ-混沌等价于按序列分布δ-混沌; (2)一致混乱集是按某序列分布攀援集; (3)一类传递系统蕴含了按序列分布混沌.

Li-Yorke混沌; 按序列分布混沌; 传递系统

称(X,f)是一个拓扑动力系统(简称系统或动力系统),如果X是一个赋予度量d的完备可分度量空间和f:X→X是一个连续映射.如果Y⊂X为闭不变子集(即f(Y)⊂Y),则(Y,f|Y)也成为一个动力系统(简记为(Y,f)),称之为(X,f)的一个子系统.

LI和YORKE在文献[1]中首先用“混沌”一词来描述映射迭代下点的轨道的复杂性.

文献[2]给出了另一种混沌的定义, 通常称之为分布混沌.沿着这一思路, 文献[3]给出了按序列分布混沌的定义,并引发了这方面的相关工作[4-5].

其中#{·}表示一个集合的基数. 令

近年来, Li-Yorke混沌和按序列分布混沌引起了众多关注. 文献[1]指出对于单位闭区间[0,1]上的连续映射f:[0,1]→[0,1],如果f有周期为3的周期点,则系统([0,1],f)是Li-Yorke混沌的.文献[6]证明了Devaney混沌(定义见注记3)蕴含Li-Yorke混沌.文献[7]证明了拓扑熵大于0的系统是Li-Yorke混沌的.文献[3]证明了系统([0,1],f)是Li-Yorke混沌的当且仅当它是按序列分布混沌的.文献[4]证明了弱混合蕴含按序列分布混沌.

本文关注Li-Yorke混沌与按序列分布混沌的关系和一类传递系统的混沌性态. 本文的结构如下: 第1节给出按序列Q分布攀援偶对的一个等价定义,并指出全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合为乘积空间中的一个Gδ集;第2节证明了可数Li-Yorke攀援集(或Li-Yorkeδ-攀援集)是按某序列分布攀援集(相应地, 按某序列分布δ-攀援集),和Li-Yorkeδ-混沌等价于按序列分布δ-混沌;第3节证明了一致混乱集(定义见第3节)是按某序列的分布攀援集和一类传递系统是按序列分布混沌的.

1 全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合的结构

(U,Q,Q(a))={xX|N(x,U,Q)Q(a)}.

证明类似于文献[8]中定理3.2的证明即可.

□

命题3 设(X,f)是一个动力系统和Q是一个严格递增的正整数序列和实数δ>0，则全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合为乘积空间X×X中的一个Gδ集.

证明将命题1应用到乘积系统(X×X,T×T), 我们有对任意ε>0,([Δ]ε,Q,Q(1))是X×X中的Gδ集.从而Q(1))也是X×X中的Gδ集. 对上述δ>0,Q(1))也是X×X中的Gδ集.

2 Li-Yorke δ-混沌与按序列分布δ-混沌的等价性

设(X,f)是一个动力系统. 称集合C⊂X是一个Cantor集,如果C同胚于标准的Cantor三分集. 称集合A⊂X是一个Mycielski集,如果它是可数个Cantor集的并.我们需要如下Mycielski定理,它是处理乘积空间的子集与原空间的子集之间关系的一个重要工具.

定理1[9](Mycielski定理) 设X是一个没有孤立点的完备可分度量空间，如果R是X×X的一个稠密Gδ集，则存在一个稠密的Mycielski集K⊂X, 使得K×KΔ⊂R.

定理2 设(X,f)是一个动力系统和实数δ>0，如果C⊂X是一个可数的Li-Yorke攀援集(或Li-Yorkeδ-攀援集)，则存在一个严格递增的正整数序列Q,使得C是一个按序列Q分布攀援集(相应地, 按序列Q分布δ-攀援集).

如果C是一个Li-Yorkeδ-攀援集,则上面的δij均可取为δ,从而C是一个按序列Q分布δ-攀援集.

注记1 文献[10]构造了一个可数紧致空间X上的一个同胚, 它以整个空间X为攀援集, 从而存在一个严格递增的正整数序列Q,使得X是一个按序列Q分布攀援集. 根据文献[10]中定理4.3的做法, 可以构造Cantor集C上的一个同胚, 它以整个空间C为按某序列的分布攀援集.

定理3 设(X,f)是一个动力系统和实数δ>0.则(X,f)是Li-Yorkeδ-混沌的当且仅当(X,f)是按序列分布δ-混沌的.

用R表示系统(X,f)的全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合.根据命题3,R为乘积空间X×X中的一个Gδ集. 从而R∩(X0×X0)为X0×X0中的Gδ集. 因为C在D中稠密,D在X0中稠密, 所以C×CΔ在X0×X0中稠密. 又因为C×CΔ⊂R∩(X0×X0), 所以R∩(X0×X0)为X0×X0中的一个稠密Gδ集. 根据Mycielski定理,存在X0的一个稠密Mycielski集K, 使得K×KΔ⊂R∩(X0×X0).由R的定义知K是系统(X,f)的一个按序列Q分布δ-攀援集. 由于一个Mycielski集是不可数的, 故系统(X,f)是按序列分布δ-攀援集的.

□

注记2 设(X,f)是一个动力系统和实数δ>0.如果X是一个无孤立点的完备可分度量空间,系统(X,f)有一个稠密的Li-Yorkeδ-攀援集.则在定理3的证明中可要求C在X中稠密,从而系统(X,f)有一个稠密的Mycielski的按序列Q分布δ-攀援集.

注记3 下面我们将看到许多常见的系统都是Li-Yorkeδ-混沌的, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.

(1)对于I=[0,1]上的动力系统(I,f), 文献[11]证明了如果(I,f)有一个Li-Yorke攀援偶对,则存在实数δ>0, 使得它是Li-Yorkeδ-混沌的,从而它也是按序列分布δ-混沌的.

(2)对于符号系统的子转移系统(定义见文献[12]), 如果它是Li-Yorke混沌, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorkeδ-混沌, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.

(3)设(X,f)是一个动力系统, 如果X是一个紧致度量空间,则可定义系统的拓扑熵.文献[7]证明了正熵蕴含Li-Yorke混沌.通过其证明过程(文献[7]中定理2.3)可知:若(X,f)具有正拓扑熵, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorkeδ-混沌, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.

(5)设(X,f)是一个动力系统. 称系统(X,f)是弱混合的,如果乘积系统(X×X,f×f)是传递的.根据文献[14]的主要结果知: 如果(X,f)是弱混合的, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorkeδ-混沌, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.

3 传递系统中的情况

传递系统是拓扑动力系统研究的一类重要对象. 本节将证明一致混乱集是按某序列分布攀援集和一类较广泛的传递系统是按序列分布混沌的.

定义3[15]设(X,f)是一个动力系统和A是X的一个非空子集.

d(fk(x),fk(y))<ε.

定理4 设(X,f)是一个动力系统. 如果A⊂X是系统的一个一致混乱集,则存在一个严格递增的正整数序列Q,使得A是一个按序列Q分布攀援集.

且

□

文献[15]给出了一致混乱集的一个判定准则:

定理5 设(X,f)是一个传递系统, 且X是一个无孤立点的紧致度量空间.如果存在(X,f)的子系统(Y,f)使得(X×Y,f×f)是传递的, 则(X,f)有一个稠密的Mycielski的一致混乱集.

根据文献[15]可知,一类较广泛的传递系统都满足定理5的条件(相关定义见文献[15]或文献[12]).具体有:

推论1[15]设(X,f)是一个动力系统, 且X是一个无孤立点的紧致度量空间.如果系统(X,f)满足以下任何一个条件：

(1)(X,f)是有不动点的传递系统,

(2)(X,f)是有周期点的完全传递系统,

(3)(X,f)是扩散系统,

(4)(X,f)是有等度连续极小集的弱扩散系统,

(5)(X,f)是弱混合系统,

则(X,f)有一个稠密的Mycielski的一致混乱集. 进一步, 如果(X,f)是传递的且有一个周期为d的周期点,则存在(X,fd)的一个子系统(X0,fd), 使得(X0,fd)有一个稠密的Mycielski的一致混乱集. 特别地,(X,f)有一个Mycielski的一致混乱集.

推论2 设(X,f)是一个动力系统.如果(X,f)满足定理5或推论1的条件,则(X,f)是按序列分布混沌的.

最后我们提出一个未解决的问题: Li-Yorke混沌是否蕴含按序列分布混沌?

致谢作者衷心感谢吕杰教授的指导、鼓励和审稿人认真仔细的审阅！

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Keywords： Li-Yorke chaos; distributional chaos in a sequence; transitive system

【责任编辑 庄晓琼】

THEEQUIVALENCERELATIONSHIPBETWEENLI-YORKEδ-CHAOSANDDISTRIBUTIONALδ-CHAOSINASEQUENCE

LI Jian, TAN Feng

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The relationship between Li-Yorke chaos and distributional chaos in a sequence is discussed. It is pointed out that the set of distributionalδ-scramble pairs in a sequenceQis aGδset, and Li-Yorkeδ-chaos is equivalent to distributionalδ-chaos in a sequence. A uniformly chaotic set is a distributional scramble set in some sequence and a class of transitive system implies distributional chaos in a sequence.

2009-03-16

国家自然科学基金资助项目(10771079);广州市属高校科技计划资助项目(08C016)

李健(1985—),男,湖南衡阳人,华南师范大学2006级(2009届)硕士研究生,现为中国科学技术大学2009级博士研究生,Email:lijian09@mail.ustc.edu.cn.

1000-5463(2010)03-0034-05

O192

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