数学建模思想方法融入高等数学教学的思考与实践

杨曙光， 李治明

（新疆大学数学与系统科学学院 ，乌鲁木齐 830046）

数学建模思想方法融入高等数学教学的思考与实践

杨曙光， 李治明

（新疆大学数学与系统科学学院 ，乌鲁木齐 830046）

通过对若干高等数学应用问题教学过程的分析展示，着意讨论了通过还原应用问题的真实与生动，创设情境以激发探究，将实际问题转化为数学问题的过程；提供了立足课本，把握数学建模的关键环节，使学生了解数学建模思想方法及步骤、提高“用数学”能力的实践方案；说明把数学建模的思想方法积极渗透、有机融合到公共数学课程中是可行和有效的．

高等数学； 应用问题 ；数学建模； 思想； 方法

克莱茵曾说：“逻辑关系或可以说数学机体上的硬骨架，必须保持下去，以便使数学具有它特有的可信性．数学的生命，数学最重要的动力，数学在各方面的作用，却完全依赖于应用，即取决于那些纯逻辑内容和其他一切领域间的相互关系”．“数学建模”及“数学实验”类课程的开设，正是这一观点在数学教育实践中的具体体现．所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学建模思想方法的本质，是将实际问题转化为数学问题；而实现问题转化的关键环节，是通过对实际问题的抽象、简化，做出必要、合理、恰当的假设，以提出数学内涵，建立数学模型．首先建模时究竟该保留实际问题的什么因素，忽略什么因素并没有什么范式可依循，需要建模者根据对实际问题的理解、研究的目的以及数学背景进行归纳提炼加工，去粗取精、去伪存真来完成，这是一个创造性的过程；最后，还要将分析模型所得到的数学结论回到实际中去解释问题，以检验所得数学模型是否符合实际问题，进而解决问题，这同样是一个创造性的过程．这是数学建模的难点，也可能成为提高学生“用数学”能力的契机．

李大潜院士在“2008年大学数学课程报告论坛”上所作的《漫谈大学数学教学的目标与方法》报告中谈到，学习数学这门学科（无论是对中小学还是对大学，无论是对理工科还是对文科，无论是对青少年还是对成人，无论是将来走上怎样的工作岗位，）应该努力达到三个方面的要求，简而言之就是知识、能力、素养和精神．李院士指出：“如果割断了数学与外部的世界联系，割断了数学与现实生活的关联，单纯从概念到概念，从公式到公式，数学就成了无源之水、无本之木，数学的教学就必然枯燥乏味、失去活力，所传授的知识就不可能是全面深入的，更不可能给学生以数学的思想方法与精神实质的启迪，就不可能真正实现数学教学方面的要求．”李院士强调指出：“如果觉得数学纸上谈兵、毫无用处，觉得数学高不可攀、难于理解，觉得数学枯燥无味，甚至面目可憎，对其敬而远之、退避三舍，这样的数学教与学，无疑是失败了．”这是对数学教育教学目标的精辟阐述，笔者对此感同身受．

受众广、课时长的《高等数学》是大学数学类主干课程．在课程教学中积极渗透、有机融合数学建模的思想方法，积极引导、帮助在校大学生理解数学精神实质，掌握数学思想方法，增强运用数学的意识，提高数学能力，对培养学生的数学素养，全面提升教育教学质量有着积极的实际意义．虽然《高等数学》课程内容多、课时紧，应用问题数量、难度都很有限，但教学实践表明，教师立足课本内容，在深刻理解、充分利用、正确把握的基础上，抓住课堂教学契机，营造探究情境，引导学生积极自然顺畅地分析思考，使学生参与问题转化和解决的全过程，帮助学生领悟数学建模思想，掌握分析解决问题的方法，体会数学与现实世界的紧密联系及强大生命力，从而实现数学教育教学目标．

西安交通大学知名教授马知恩、王绵森主编的《高等数学简明教程》中的应用问题如减肥问题、疾病传播问题等，有典型性、有时代感，为教师用好、用活教材提供了很好的素材和发挥发展空间．笔者就为实现数学教学目标，在《高等数学》应用问题教学中，如何通过还原应用问题的真实与生动，展现数学与现实生活的关联及活力，把握数学建模的关键环节，提高“有效应用数学”的意识；如何通过引导学生积极、自然、顺畅地分析思考，化解对实际问题原型进行数学抽象的难点，提高“有效应用数学”能力这两方面所做的一些教学尝试小结如下，以求与同仁交流提高．

1 创设情境，共同探究

探照灯的聚光镜镜面是一张旋转曲面，它的形状由xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成．按聚光镜性能要求，在其旋转轴（x轴）上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行，求曲线L的方程．见图7—4（同济《高等数学》上册（第六版）306页，例2）

可以看到，教材为行文简明，在叙述应用问题时，已加入许多“数学化”了的东西，实际问题表述成了经加工过的“半成品”．如果教师照本宣科，少铺垫不引入，先入为主，解完了之，不仅错失了教育教学良机，学生遇到实际问题时，也可能不会分析、不知所措．笔者认为，应还原和再现应用问题的真实和生动，创设问题探究的情境，让学生体验“数学建模”创造性的过程，学会怎样“用数学”．笔者的讲法是：

问题提出：设计一款手电筒的反光镜面的形状．（问题一出，同学们跃跃欲试）

分析讨论：

1．从适宜批量生产、降低成本、保障利润考虑，设计的手电筒只有一个点光源，而且镜面规整光滑．故假设，镜面是由一平面曲线C绕该平面的一条直线L旋转而成．②由光学知识可知，要想手电筒射程远，射点亮，点光源经镜面反射后，应成为平行光束．③由对称性可知，点光源应当在旋转轴L上，且C应与L相交．于是，只要求出平面曲线C即可．

3．解释实际意义：由曲线C的方程可知，使反射光束成平行光束的旋转镜面，只能由抛物线绕其对称轴旋转而成，而且点光源在抛物线的焦点上．

2 突出重点，因势利导

设有一均匀、柔软绳索，两端固定，绳索仅受重力作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线？见图7—6（同济《高等数学》上册（第六版）319页，例4）

课本解法：设绳索最低点为A，取y轴通过点A垂直向上，并取x轴水平向右，且｜OA｜等于某个定值（这个定值将在以后说明）（后略）

学生难免出现这样的疑惑：为什么要这样建立坐标系？为什么坐标原点不取在那个特殊点（即最低点）处？｜OA｜又是一个怎样的定值？求解比较知道，这样建立坐标系得出的曲线方程比较简洁整齐．但如果一开始就把这种后来总结出的相对完美的“高观点”强加给学生，必定会干扰学生自然顺畅地思考，使学生分析问题、解决问题时不得要领；而且学生失去了尝试的机会、认识链条人为地脱节，这不能不说是个不小的损失．

笔者尝试这样的展开：

问题提出：崇山峻岭间架设输电线路．两根电线杆间的电线通常呈下垂状．问在平衡状态下，电线是怎样的曲线．（课堂热议，不少同学猜测曲线是抛物线）

分析讨论：

1．由实际问题知，两电线杆距离足够大，故可假设电线是纤细且均匀的，设其线密度为ρ；（教材上图7－6曲线两端点不等高也可以顺理成章地解释了）．为简化起见，假设电线是柔软的，仅受重力作用而下垂．

于是，只要求出平面曲线方程即可．

3 开放问题，深入研究

减肥问题．减肥就是减少体重，而体重变化取决于热量的吸收和消耗．设某人每天的饮食可产生A（J）的热量，用于基本新陈代谢所消耗的热量为B（J），用于锻炼所消耗的热量为C（J／kg）．为简单计，假设增加或减少体重所需的热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为D（J／kg）．求此人开始减肥后体重随时间的变化规律．（马知恩、王绵森主编的《高等数学简明教程》上册282页，例2．11）

为了展示根据对实际问题的理解、研究的目的以及数学背景，对实际问题进行归纳、提炼、抽象、简化，做出必要、合理、恰当的假设，以提出数学内涵，建立数学模型的分析过程；展现将分析模型所得到的数学结论回到实际中去解释问题，以检验所得数学模型是否符合实际，以及如何修正假设，进一步研究问题的讨论过程，使学生深刻体会、理解和把握数学建模的关键环节，笔者与学生进行了以下的分析探讨．

问题提出：夏天快到了，你的朋友希望减肥，你能不能给他一些可以信服的说明和建议（话音未落，课堂气氛异常活跃）．

讨论分析：

1．什么是减肥？科学地讲应当是减少多余的脂肪．但“多余的脂肪”这一指标不易检测和定量．为简化问题，假设体重的变化就是脂肪的变化（实际生活中人们也是乐于接受的）．

2．知识表明，脂肪的变化取决于热量的吸收和消耗．考虑到实际操作即减肥计划的可行性，假设某人吸收的热量为一项：饮食A．消耗的热量为两项：①新陈代谢B；②运动锻炼C．易知A≥B．

3．人为能控制的因素是A，C，而C是减肥计划中重点操控的指标，故单位取为A（J／天），B（J／天），C（J／kg天）．

4．为制定减肥方案，需求出开始减肥后，在因素A，B，C作用下，体重随时间变化规律．

设此人开始减肥时刻t＝0时，体重为w0，时刻t时，体重为w（t）．观察微小时段［t，t＋d t］内此人热量Q的变化d Q．一方面：在［t，t＋d t］内体重的改变量为d w，根据假设此即为脂肪的改变量．为转换成热量，设脂肪的含热量为D（J／kg），则d Q＝D d w．另一方面，考虑在［t，t＋d t］内该人在因素A、B、C作用下，热量变化情况．由于运动消耗C与体重有关，尽管［t，t＋d t］内体重是不断变化的，但由于d t很小，体重变化很小，可以认为不变．故

② 短期达到“理想”体重如何做？

理论上可通过取定B，D（选择同年龄段的平均值），选取饮食A、运动锻炼C的最佳组合付诸行动，实现目标．

6．引申讨论，深入探究．

① 若假设不同，例如热量变化因素还是A，B，C，但单位取为A（J／天），B（J／kg天）C（J／天），结果如何？我们发现这样所得的方程及方程的解也不同．对结果进行分析，解释实际意义发现，虽然也能反映实际情况，但可得出的结论策略少了，达不到预期目的，需重新审视假设．通过比较发现，前面讨论分析的假设是较完美的．

② 对减肥问题，还能提出怎样的假设，进行怎样的讨论，以得出更好的减肥策略．

（这些问题可留给学生课后进行研究）

数学学习不仅仅是学习数学的概念、公式、定理和结论，懂得各种各样数学方法与手段，还在于领会和掌握数学的思想方法和精神实质，举一反三，灵活演绎，“学活”数学，更在于有明确的意识、相当的能力、有效地运用数学解决现实世界中种种实际问题，在于造就并形成一种优良的数学素养，从而对今后一生的发展都起到重要的积极的作用．数学教学、教法研究都应紧紧围绕这一目标展开．将数学建模思想方法运用于数学课堂教学，就是实现上述目标的有效途径之一．实践表明，先进的教育理念，明确的教学目标，扎实的科研、教学基本功，加之不断学习、钻研、思考，是做好教学工作的重要保证．大学数学的多门类课程及丰富的课堂教学内容，为数学教师实现教育教学目标提供了广阔的思考、发展、应用空间，有待于教师付出辛勤和努力，切实投入，认真实施．

［1］ 李大潜．漫谈大学数学教学的目标与方法［C］／／大学数学课程组委会［M］／／2008大学数学课程报告论坛论文集．北京：高等教育出版社，2008：3－8．

［2］ 刘来福，等．数学模型与数学建模［M］．北京：北京师范大学出版社，1997．

［3］ 同济大学数学系．高等数学［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［4］ 马知恩，王绵森．高等数学简明教程［M］．北京：高等教育出版社，2009．

G642．2

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1672-1454（2010）增刊1-0136-05