力学教学中向量的导入与应用

杨志安,辛 静,李高峰

(1.唐山学院结构与振动工程重点实验室,河北唐山 063000;2.河北理工大学机械工程学院,河北唐山 063000)

力学教学中向量的导入与应用

杨志安1,辛 静2,李高峰1

(1.唐山学院结构与振动工程重点实验室,河北唐山 063000;2.河北理工大学机械工程学院,河北唐山 063000)

向量是数学的基本概念之一,向量与力学联系紧密。结合力学教学,将基于问题的研究性教学方法应用其中。给出在向量教学中自然导入力学背景,在力学教学中自然导出向量知识教学实例。教学实践表明这种教学模式符合“以人为本,以学生为中心”的核心教育原则,也符合“学以致用”的教学目的。

向量;几何;力学;基于问题;研究性教学

0 引言

力学是大学工科学生的一门技术基础课。力学是研究物体机械运动一般规律的科学[1]。数学是大学工科学生的基础课。数学是研究现实世界中数量关系及空间形式的科学。数学为力学提供描述物体运动现象与规律的语言与工具,反过来,力学也为数学概念的建立提供原形。事实上,数学中有不少概念首先是由力学家提出,然后再由数学家逐步严谨化。例如,牛顿与莱布尼兹分别从运动学和几何学出发,各自独立提出微积分。数学的分支向量分析也是如此[2]。

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何、力学背景,是解决几何问题、力学问题的有力工具[3]。向量最初应用于力学,被称为矢量,矢量的称谓沿用至今。很多力学量,如力、速度、位移等都是向量。大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aritotle,公元前384-前322)就知道了力可以表示成向量,向量一词来自力学、解析几何中的有向线段,最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿[4](New ton,1642-1727)。向量的基本概念和基本运算都能从力学中找到背景[5]。如何在数学教学中有效导入力学背景?在力学教学中有效导出数学方法?已引起从事数学及力学教师的注意[6]。传统理工教育常常将新的课程作为本课程内一个自成系统的知识体系处理,介绍理论方法与公式时与学生已有的知识联系甚少[7]。向量分析与力学教学也或多或少存在这种现象。我们知道,任何一种新的信息都会经过学习者的心智结构的过滤,这一心智结构综合了学生已有的知识,包括信念、先入之见,甚至是错误、偏见等。如果新的信息与学习者的心智结构相一致,就会被融汇进去,事半功倍。如果两者有抵触,学生为了应对考试,可能会死记硬背,不可能融入自己的心智结构中,在这种情况下,他们是学不进去的,教学效果也会大打折扣[8-10]。根据向量与力学课程的特点,可以在向量与力学的教学中搭建一个桥梁,使学生从可能熟悉的内容与经历出发,以便跟他们已有的知识结构联系起来,这应是承担向量、力学教学任务的教师重点研究的问题。新的内容的提出应该有的放矢,与实际的应用有关,并与已有的知识结构联系起来,而不是僵硬地提出来。如果学生能看到他们先前已掌握的知识或理论有用,可以用来演绎、推理新课程的命题,他们就会更加有积极性。这样学生才会强烈主动地去学,并自主填补知识的空白,有效地开展研究性学习[11]。

下面结合笔者教学及研究的经历,从几个方面讨论力学与向量的导入导出关系,探讨基于向量与力学问题的研究性教学方法。

1 向量的概念拓展及几何表示

数学中,既有大小,又有方向并且服从平行四边形加法法则的量叫做向量,力学中常称为矢量。人们的长期实践证实,力对物体的作用效应取决于力的三要素:①力的大小,②力的方向,③力的作用点。前两方点说明力是向量,第三方点说明力是定位向量。

在几何学中我们知道,带有方向的线段叫做有向线段。有向线段包含三个要素:起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定。对照力的三要素,力可以用带有箭头的有向线段表示。

综合上述分析,向量可以用有向线段表示。

在静力学中,有一个著名的原理叫力的可传性原理。作用于刚体上某一点的力,可沿其作用线移至刚体上任一点,而不改变对刚体的作用效应。根据力的可传性可知,作用于刚体上的力的三要素是力的大小,方向和作用线。只需要表示出作用线而无需表示出作用点的向量称为滑移向量。因此作用于刚体上的力是滑移向量。

在刚体静力学中,学习过力偶矩向量。力偶对刚体的作用决定于三个要素:力偶矩的大小、作用面的方位和转向。与力的三个要素对照,力偶矩的作用面的方位和转向说明力偶矩的方向,力偶矩对刚体产生的绕任一点转动效应相同,因此力偶矩向量是自由向量。向量概念被力学中力的概念引出,又在力学中得以拓展。

2 力学背景与几何意义

2.1 向量加法

图1

位移是向量,求两个向量和的运算,叫做向量的加法。上面这种求向量和的方法,称为向量的三角形法则。位移的合成可以看作向量加法三角形法则的力学模型。

图2

上述这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的力学模型。

向量的和运算是向量的一种基本运算。在向量和运算中导入两种力学模型,在力和位移的合成运算中导出向量和,体现了数学与力学的和谐韵律。

2.2 向量数乘

在生活实践中,有时向量与数量(指实数)同时并存。在力学中有一条著名的定律,牛顿第二定律。表述为:物体的加速度跟所受的合力成正比,跟物体的质量(质量大于零)成反比,加速度的方向跟合力的方向相同,即

力和加速度都是向量,而质量是数量。从这条定律知道力的方向与加速度方向一致。在此基础上产生向量的数乘运算。

牛顿发现了力学基本定律-牛顿第二定律。给出了向量数乘的力学背景,而向量数乘又拓展了这一力学背景,使其更具有普遍性。数学与力学的和谐之美在牛顿定律中得到生动体现。

2.3 向量的数量积

功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定。那么,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢?在此类问题的基础上,引出向量数量积的概念。

图3

功的概念意义远远超出了它的力学意义。功的概念在生活与实践中广泛应用。通过这种导入导出式学习,我们会深深感到数学与力学如影随形,无处不在。

2.4 向量的矢量积

向量间还有一种运算,也是起源于实际需要,再看一个力学问题,就是力对点的矩矢的概念。

在此类问题的基础上,引出向量的矢量积概念。

图4

图5

3 向量在力学中的应用举例

向量作为工具研究几何问题,开创了研究几何问题的新方法。建立向量运算与几何图形之间的关系后,对图形的研究推进到了有效能算的水平,从而实现了综合几何到向量几何的转折。

向量及其基本运算都有其力学背景。在静力学中,前面已经介绍力,力对点之矩矢、力偶矩矢都是向量。求合力、合力矩、合力偶矩运算就是向量运算。力系的简化是静力学研究的主要内容之一,集中体现了向量的平移、向量的合成、向量的相等等运算。另外,力学与几何密不可分,有些力学问题本身可归纳为几何问题。下面介绍4个例子。

例1 渡河问题。如图6,一条河的两岸平行,河的宽度d=200 m,一艘小船从A处出发到河对岸,已知船在静水中的速度是|v1|=4 m/s,水流速度|v2|=-m/s,求要使小船到达正对岸B处,小船应如何行使,耗时多少。

解:考虑到水的流速,要使小船到达正对岸B处,那么船的速度和水流速度的合速度必须垂直于对岸,速度合成如图7。则有

图6

图7

此题涉及向量合成运算与直角三角形求解。

例-空间作用两力的夹角问题。如图8,在正方体刚体

图8

此题求解空间两个的夹角问题涉及向量的数量积运算与立体几何问题的求解。

图9

作用在钢板上的合力方向向上,大小为200 6 kN,作用点为三角形ABC的中心。

此题是求解空间三力合力问题,涉及向量的数量积运算与正三角形求解。

例4 平面一般力系对不同简化中心的主矩之间关系的向量表示与证明。即证明平面一般力系对于新简化中心O′的主矩′,等于原简化中心的主矩上在点O的主矢对新简化中心O′点之矩。

图10 力系简化图

此例涉及向量的矢量积与向量的三角形法则。

4 结论

结合力学教学实践,总结出在向量教学中自然导入力学背景,在力学教学中自然导出向量知识这种基于问题的研究性教学方法。指出在向量教学中自然导入向量概念及基本向量运算的力学背景与几何意义,在力学教学中自然导出向量知识这种基于问题的研究性教学方法的重要意义。对于教授力学课程的教师,强调在力学的相应之处导出向量知识并使其在力学中拓展与应用。这样才能使课堂生动,有趣,使知识有机衔接。教学实践表明这种教学模式符合“以人为本,以学生为中心”的核心教育原则,也符合“学以致用”的教学目的。

[1] 单辉祖,谢传锋.工程力学[M].北京:高等教育出版社,2008:3-4.

[2] 人民教育出版社课程教材研究所.数学[M].北京:人民教育出版社,2008:34-35.

[3] 人民教育出版社物理室.物理[M].北京:人民教育出版社,2005:42.

[4] 董克诚.空间解析几何教程[M].保定:河北大学出版社,1981:55-56.

[5] 南京工学院.理论力学[M].北京:高等教育出版社,1986: 65-66.

[6] 杨志安,李高峰,贾培强.基于数学归纳法的“工程力学”教学实践[J].唐山学院学报,2010,23(3):1-4.

[7] 梅向明,黄敬之.微分几何[M].北京:人民教育出版社,1983.

[8] Bruner,J.S.,The Act of Discovery[J].Harvard Ed-ucational Review,1961,31(1):717.

[9] Biggs,J.,Enhancing Teaching Through Constructive Alignment[J].Higher Education,1996,32(6):1-18.

[10] Felder,R.M.and Brent,R.Effective Strategies for Cooperative Learning[J].Cooperation and Collaboration in College Teaching,2001,10(2):69-75.

[11] 杨志安.基于学位论文与课程设计的“非线性振动”课程研究型教学实践[J].唐山学院学报,2008,21 (6):1-8.

(责任编校:李高峰)

Applicationg and Introduction of Vector in Mechanics Teaching

YANG Zhi-an1,XIN Jing2,LIGao-feng1
(1.Key Lab of Structure and Vibration of Tangshan Collage,Tangshan 063000,China;2.College of Mechanical Engineering Hebei Polytechnic University,Tangshan 063000,China)

Vector is a basic mathmatical concept and is closely related with mathmatics.Combined with teaching practice of mechanics,the problem based investagating teaching method is brought forward and applied in mechanics teaching.The examples are given to show how to introduce background of mechanics in vector teaching and how to educe vector know ledge in mechanics teaching.Teaching practice indicates that this teaching mode accords to not only the core“people-oriented and student-centered”education principle,but also the teaching goal of learning for application.

vector;gometry;mechanics;problem-based;investagating teaching

O31;G64-

A

1672-349X(2010)06-0003-05

2010-06-25

杨志安(1963-),男,教授,博士,主要从事机电耦联非线性动力学、结构与振动工程的教学与研究工作。