互耦效应对DOA估计的影响*

谢 鑫，程国标2，路翠华

(1.海军航空工程学院，山东 烟台 264001；2.解放军91960部队71分队，广东 汕头 515073)

1 引 言

到达角(DOA)估计是阵列信号处理研究的主要问题之一，多年来，随着对阵列信号处理问题研究的逐渐深入，越来越多的DOA估计算法被开发出来。目前,主要的DOA估计算法包括波束形成类算法、子空间类算法、解卷积算法以及其它算法[1],其中，波束形成类算法和子空间类算法最为常见。

常规波束形成法[2]目前仍广泛应用于声纳、雷达等系统中，该算法由于受Rayleigh限的制约，分辨能力和估计精度均十分有限。Capon最小方差无失真响应(MVDR)波束形成算法(MVM)[3]能够提供更高的分辨率，但仍未能突破Rayleigh限的制约。基于协方差矩阵特征分解理论的子空间类算法将DOA估计的性能提到了新的高度，这类算法将协方差矩阵的特征向量分为相互正交的信号子空间和噪声子空间，并利用其有关特性进行高分辨方位估计，突破了Rayleigh限的限制。这类算法的代表是Schmidt提出的MUSIC[4](Multiple Signal Classification)法以及Roy和Kailath提出的ESPRIT[5]法。

上述这些常见的DOA估计算法都是以阵列流形精确已知为前提的，而在实际中，由于阵元间互耦等因素的存在，往往使阵列流形出现不可忽略的偏差，而这类模型误差会严重影响各种高分辨DOA算法的性能。互耦效应对阵列天线性能的影响近年来也受到了越来越多的关注，出现了一些互耦补偿算法[6-8]，本文对几种主要DOA估计算法在存在互耦误差时的性能进行比较分析，并利用Matlab进行数值仿真，为互耦补偿研究提供更多依据。

2 信号模型

考虑一个由N个全向阵元组成的均匀线性阵列，阵列间距为d，如图1所示。

图1 均匀线性阵列

假设M个远场窄带信号(M

(1)

式中，si(t)为第i个信号的复包络，λi为其中心波长，nk(t)为第k个阵元中的零均值高斯加性白噪声。

则阵列的输出信号矢量可表示为

X(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),…,xN(t)]T=

A(θ)S(t)+N(t)

(2)

其中：

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θM)]

(3)

为N×M维阵列流形矩阵，a(θi)为对应的方向向量，且有：

(4)

S(t)=[s1(t),s2(t),s3(t)，…,sM(t)]T

(5)

为M个入射信号矢量。

N(t)=[n1(t),n2(t),n3(t),…,nN(t)]T

(6)

为噪声矩阵，其中ni(t)为第i个阵元中的零均值高斯加性白噪声，方差为σ2，且满足：

E[N(t)NH(t)]=σ2I

(7)

E[N(t)NT(t)]=0

(8)

式中，I表示N×N维单位阵，上标H表示共轭转置，上标T表示转置。

考虑互耦时，可用一个互耦系数矩阵C来描述阵元间的互耦作用。根据互耦的特性，可认为两个间距相等的阵元间的互耦是近似相等的；同时，由于互耦效应与阵元间距有关，距离越远，它之间的互耦越弱，当间距达到几个波长后，两个阵元间的互耦已经可以忽略不计了。因此在本文中，只考虑相近的L个阵元间的相互作用，则C可表示为

C=toeplitz(c)

(9)

其中：

c=[c0,c1,c2,…,cL,0,…,0]，
0<|cL|<…<|c1|

(10)

式中，toeplitz(c)表示由矢量c形成对称Toeplitz矩阵。

此时，阵列的实际导向矢量为a(θ,c)=Ca(θ)，则阵列接收的快拍数据可表示为

X(t)=CA(θ)S(t)+N(t)

(11)

阵列的协方差矩阵R定义为

R=E[X(t)XH(t)]=

(12)

本文中的仿真计算条件如下：利用图1中的阵列模型，阵元数为9，2个等功率相干信号到达角分别为-30°和20°，信噪比为10 dB，互耦系数向量c=[1,0.6791+0.4013i,0.3566+0.2653i,0,…,0]T，快拍数为100。

3 对波束形成算法的影响

波束形成算法的基本原理是将阵列中各个阵元的接收数据进行加权求和，使阵列接收的方向增益聚焦在一个方向上，相当于形成一个波束，不同的权向量可以将形成的波束指向不同的方向，通过波束空间扫描，得到最大输出功率的方向就是信号方向。

对于式(11)所示的阵列接收信号矢量，若各阵元的权矢量为

(13)

则阵列的输出为

y(t)=wHX(t)

(14)

此时，阵列输出的平均功率为

wHE{X(t)XH(t)}w=wHRw

(15)

当权向量w=a(θ)时，得到常规波束形成算法的空间谱表达式：

P(θ)=aH(θ)Ra(θ)

(16)

若采用最小均方误差准则来选择权向量，即满足所需方向信号输出为常数条件下，使阵列的输出功率最小，则可得到最优权向量：

(17)

此时阵列的输出功率为

(18)

以θ进行空间扫描，可得到最小方差无失真响应法(MVDR)的空间谱表达式：

(19)

图2为常规波束形成算法在有无互耦情况下的DOA估计谱图，从图中可以看出，在设定的仿真条件中，无互耦情况下该算法能够正确估计出两个到达角方位；存在互耦时一个谱峰出现了偏差，另一个谱峰已经明显减弱，算法的性能明显受到互耦误差影响。

图2 CBF算法下DOA估计比较

图3为Capon算法(MVM算法)的DOA估计谱图，从图中可以看出，Capon算法谱峰要比常规波束形成算法尖锐，分辨率要高于CBF算法；但在互耦存在的情况下，其性能同样受到严重影响，估计出现偏差，谱峰明显衰减。

图3 Capon算法下DOA估计比较

从上面的分析和仿真可以看出，在互耦误差的影响下，波束形成类算法的DOA估计性能受到严重影响，估计结果出现偏差，甚至可能丢失部分信号。

4 对子空间类算法的影响

4.1 对MUSIC算法的影响

子空间类算法的运算都是基于信号子空间和噪声子空间的，通过对阵列接收数据的协方差矩阵进行特征值分解，可以获取信号子空间和噪声子空间。在互耦效应的影响下，接收数据的协方差矩阵如式(12)所示，对R进行特征值分解，可得到M个大特征值和N-M个小特征值，它们对应的特征向量分别为u1,…,uM,uM+1,…,uN，则US=[u1,u2,u3,…,uM]的各列可张成信号子空间，UN=[uM+1,uM+2,uM+3,…,uN]的各列可张成噪声子空间，且它们满足如下关系：

span(CA)=span(US)，span(US)⊥span(UN)

(20)

因此，可以得到：

(21)

显然，此时信号子空间为span(CA)，而不再是span(A)，即span(A)不再与噪声子空间span(UN)形成正交关系，则：

(22)

这一关系不再满足。

此时，互耦误差对于标准MUSIC算法(式(23))的影响是显然的。Matlab仿真结果也验证了上述分析。

(23)

图4 标准MUSIC算法下DOA估计比较

如图4所示，标准MUSIC在有互耦和无互耦的情况下表现差异明显，互耦存在时，DOA估计谱峰出现了显著衰减，谱峰位置出现较大偏差。

单场次洪水总量对比选取了1992—2016年系列中，实测流量最大年份1998年的最大实测洪水段，其实测最大流量为流量208 m3/s；汛期总量和年总量选取汛期径流相对丰沛的2011年进行对比分析计算；其中推算流量，高水部分采用1992-2016年历年单值化关系线推算，中水部分多年单值化关系线推算，低枯水部分采用单年率定关系线推算，对比结果见表5。

4.2 对ESPRIT算法的影响

ESPRIT算法主要利用了阵列的两个子阵的阵列流形及两个子阵接收数据的信号子空间的旋转不变特性。

无互耦情况下，两个子阵的阵列流形A1、A2满足下式：

A2=A1Φ

(24)

接收数据的信号子空间US1、US2满足下式：

US2=US1Ψ

(25)

最小二乘ESPRIT算法正是基于式(25)计算Ψ的最小二乘解，并对其进行特征值分解求解信号的到达角：

(26)

互耦存在时，两个子阵的阵列流形等效为C1A1和C2A2，一般情况下C1≠C2，此时它们不再满足旋转不变关系Φ，同时信号子空间也不再满足旋转不变关系Ψ，式(25)受到互耦误差的污染，因此，以式(25)为基础的式(26)和ESPRIT算法必然受到干扰。

图5为最小二乘ESPRIT算法在有互耦和无互耦情况下DOA估计的均方根误差随信噪比变化曲线，图中均方根误差为100次蒙特卡洛仿真计算的平均值。从图中可以看出，在不同信噪比条件下，互耦存在时估计的均方根误差一般比无互耦时的均方根误差高4°，信噪比低于-3 dB时，估计误差都明显增大(实际上也可理解为DOA估计成功概率的显著降低)；大于3 dB时，有互耦干扰的均方根误差趋于4.0°，这是由于仿真时所采用的互耦误差系数为固定值。因此，在信噪比不断增大时，DOA估计的均方根误差也趋于一个固定值，而这一误差值则是由互耦误差引起的。

图5 最小二乘ESPRIT算法DOA估计比较

4.3 对Root-MUSIC算法的影响

Root-MUSIC算法[9]是MUSIC算法的多项式求根形式。该算法需先定义多项式：

(27)

式中，ui为数据协方差矩阵中小特征值所对应的N-M个特征矢量，即噪声子空间的特征向量，且：

p(z)=[1,z,z2,…,zN-1]T

(28)

可见，当

(29)

时，p(z)为信号的导向矢量，因此它与噪声子空间是正交的，显然，式(29)为式(27)的根。同时也可说明，式(27)有M个根位于单位圆上，找到这些位于单位圆上的根，就能得到信号的到达角信息。

根据上述特点，可将式(27)修改为

(30)

由于式(30)存在z*项，使得求根过程变得复杂，为解决这一问题，可对其按照下式进行修正：

(31)

式(31)即为求根MUSIC多项式，显然，该式为2(N-1)次多项式，它有(N-1)对根，每对根分别关于单位圆对称，对应于入射信号的根则位于单位圆上。在实际计算中，由于误差的存在，多项式的根很可能不在单位圆上，这时，需要取单位圆附近的根作为估计值。

显然，在考虑互耦误差影响时，噪声子空间与span(CA)正交，则式(29)不再是多项式的根，此时，同样取单位圆附近的根作为估计值，估计误差取决于估计值与真实值幅角之差。

图6 多项式根的分布图

图6为多项式根的分布图，“o”表示10 dB信噪比条件下互耦存在时多项式的根，作为参考，图中还给出了单位圆和理想无噪声情况下多项式的根。从图中能够看到，理想无噪声情况下，多项式有两个根(实际上是两对重根)位于单位圆上，这里将它们记为RT1和RT2；在有噪声且存在互耦时，多项式的根都不在单位圆上，但在RT1和RT2附近有一对根，这两对根的幅角分别与RT1和RT2的幅角相近，它们包含着入射信号信息，同时也包含了误差。

从多项式根的分布情况以及DOA估计与多项式根的关系已经可以看出互耦效应对Root-MUSIC算法的不利影响，图7所示的仿真结果也验证了这一点。

图7 Root-MUSIC算法下DOA估计比较

图7为Root-MUSIC算法在有互耦和无互耦情况下DOA估计的均方根误差随信噪比变化曲线，图中均方根误差为100次蒙特卡洛仿真计算的平均值。从图中可以看出，有互耦情况下DOA估计的均方根误差一直处于比较高的值，这主要是由于在互耦误差影响下对多项式的根估计错误，如图6所示，由于RT2附近的两个根距离单位圆太远，容易导致识别错误，所以DOA估计均方根误差较大。在低信噪比情况下无互耦时估计误差迅速增大也是由于这个原因。

5 结 论

综上所述，通过对均匀线性阵列模型下几种主要DOA估计算法原理的分析，可得到互耦效应影响这些算法的作用机理，利用MATLAB进行的数值仿真也与理论分析一致。结果表明，互耦效应带来的误差增大了DOA估计算法的估计误差，降低了估计成功概率，严重影响了算法的性能。理论分析和仿真结果指出了互耦效应影响DOA估计的作用点，显示了算法受影响程度，为互耦补偿算法研究提供了更多依据。

参考文献：

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