推广伪Smarandache函数的初等性质

郭守朋

(西安电子科技大学 理学院，陕西 西安 710071)

推广伪Smarandache函数的初等性质

郭守朋

(西安电子科技大学 理学院，陕西 西安 710071)

用初等方法进一步研究了推广的伪Smarandache函数的初等性质，得到了几个复杂的函数值形式，为进一步研究推广Smarandache函数其他性质打下了基础。

Smarandache函数;伪Smarandache函娄;素数;同余式

0 引言

David Gorski在文献［1］中提出了著名的伪Smarandache的函数，对任意正整数n，伪Smarandache函数Z(n)定义为：

文献［2］推广了伪Smarandache函数，对任意的正整数n，推广伪Smarandache函数Z3(n)定义为

本文进一步研究了Z3(n)的初等性质，分别对n=2lp，n=2lpk，n=2l×3k，l，k∈N*，p＞3为素数，给出了Z3(n)的函数值形式。对于函数方程正整数解［3-4］，均值及渐进公式［5］的研究也是有意义的。

1 Z3(n)的进一步研究

引理1 对任意正整数k，素数p，若Z3(kp)=m，则m必为lp-2，lp-1，lp，l∈N*三种情形。

证明 因为Z3(n)≥1，当p=2，3时，引理显然成立。当p＞3是素数，由p|m(m+1)(m+2)/6，则p必整除m，m+1，m+2，其中之一，因此m必有lp-2，lp-1，lp，l∈N*三种情形。证毕。

(1)当n=2lp，l∈N*，p＞3为素数，设Z3(2lp)=m，考虑m=gp-2，m=gp-1，m=gp三种情况及g的取值有：

(a)若g=1，m=p-2，此时仅有m+1=p-1为偶数，由2lp|(p-2)(p-1)p/6，则有2l+1|p-1，用同余式表述即为，当p-1≡0mod(2l+1)时，Z3(2lp)=p-2;若m=p-1，由2lp|(p-1)p(p+1)/6，则有2l|p-1或者2l|p+1，即当p±1≡0mod(2l)，但p-1≠0mod(2l+1)时，Z3(2lp)=p-1;若m=p，由2lp|p(p+1)(p+ 2)/6，则有p+1≡0modl+1(此时p+1≡0mod(2l)，应有Z3(2lp)=p-1。

(b)同理，若g=2，m=2p-2时，由2lp|(2p-2)(2p-1)2p/6，则2l-1|p-1，即当p-1≡0mod(2，且p-1≠0mod(2l)时，Z3(2lp)=2p-2;m≠2p-1，这是因为若m=2p-1，则2lp|(2p-1)2p(2p+1)/6，这是不可能的;若m=2p，由2lp|2p(2p+1)(2p+2)/6，则2l-1|p+1，即p+1≡0mod(2l-1)，且p+1≠0mod(2l)。

(c)若g=2k，k＞1，k∈N，由2lp|(2kp-2)(2kp-1)2kp/6，则2l/2k，由Z3(n)的最小性，取2k=2l，此时，Z3(2lp)=2lp-2。

(d)若g＞3为奇数，m=gp-2，由2lp|(gp-2)(gp-1)gp/6，有2l+1|gp-1;若m=gp-1，由2lp|(gp-1)gp(gp+1)/6，则2l-1|gp-1或者2l|gp+1;若m=gp，由2lp|gp(gp+1)(gp+2)/6，则2l+1|gp+1，亦有2l|gp+1，此时应有m=gp-1。同理，若g＞3为奇数，m=2gp-2，此时有2l-1|gp-1;若m=2gp，g＞3为奇数，此时有2l-1|gp+1。至此m已没有其它可能的情形。综上，有

(2)同理，当n=2lpk，l∈N*，k∈N*，p＞3为素数时，有

当n=2l×3k，l，k∈N*时，考虑到(2)式及文献［2］中性质2(文献［2］中［4］式)有

2 结语

本文在文献［2］的基础上，进一步研究推广伪Smarandache函数Z3(n)的初等性质，给出了几个复杂的函数值形式。

［1］ Gorskid D.The pseudo Smarandache function［J］.Smarandache Notions Journal，2002，13：140-149.

［2］ 郭守明.推广伪Smarandache函数［J］.贵州大学学报：自然科学版，2010，27(1)：6-7.

［3］ 张文鹏.关于F.Smarandache函数的两个问题［J］.西北大学学报：自然科学版，2008，38(2)：173-176.

［4］ 薛西峰.一类包含Smarandache对偶函数方程的求解［J］.陕西师范大学学报：自然科学版，2007，35(4)：9-11.［5］ 徐哲峰.关于Smarandache函数的值分布［J］.数学学报：中文版，2006，49(5)：1009-1012.

责任编辑：钟 声

Elemetary properties on the generalization of the pseudo Smarandache function

GUO Shou-peng
(College of Science，Xidian University，Xi＇an 710071，China)

Elementary properties on the generalization of the pseudo Smarandache function are further studied by using elementary methods and several complex forms of function value are obtained，which provides a good foundation for the further study on other properties of the generalization of the pseudo Smarandache function.

Smarandache function;pseudo Smarandache function;prime;congruence

O156.4

A

1009-3907(2010)08-0004-02

2010-05-10

国家自然科学基金资助项目［10671155］

郭守朋(1986-)，男，安徽亳州人，硕士，主要从事数论、变分不等式及优化方面研究。