蒙特卡罗法在二重积分中的改进算法

李满枝，王洪涛，张广路

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

蒙特卡罗法在二重积分中的改进算法

李满枝，王洪涛，张广路

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

应用蒙特卡罗方法计算二重积分，给出算法的详细计算原理和计算流程步骤，在现有的算法基础上进行改进，并给出实例的具体计算结果.数值模拟结果表明：改进的新算法简化了计算过程，且模拟的精度较高.

蒙特卡罗方法；二重积分；数值计算

二重积分的传统计算方法要先化成累次积分，再根据被积函数的原函数进行计算，但若原函数难以求得，则该积分就无法直接计算，具有很大的局限性.蒙特卡罗方法为求解二重积分提供了一个新的计算方法，该方法利用计算机的快速计算和高精度的特点来模拟随机投点实验，然后通过概率模型，由数学期望的计算来得到积分的近似值.

蒙特卡罗方法以随机模拟和统计试验为手段，从随机变量的概率分布中，通过选择随机数的方法产生一种符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法［1-2］.在应用蒙特卡罗方法求解二重积分时，必须要在包含积分域的矩形区域中产生非均匀的随机点，然后设法转换成我们需要的随机数序列并以此作为数字模拟试验的输入变量序列进行模拟求解［3］.

本文在传统蒙特卡罗方法的基础上做了改进，直接在积分区域中产生随机点进行计算，由此简化计算过程，节省计算机时，提高计算效率.最后通过算例验证改进算法的可行性与优良性.

1 二重积分的蒙特卡罗法的改进

积分都可以看作是某个随机变量的数学期望.因此，在利用蒙特卡罗方法计算二重积分的时候，采用了这个随机变量的算术平均值来作为其近似值［3-5］.

定理 （传统蒙特卡罗方法）设f（x，y）为区域D上的有界函数，

1）取一个包含D的矩形区域Ω：a≤x≤b，c≤y≤d；

3）（xi，yi），i=1，2，…，n 是以 g（x，y）为概率密度的随机数列，设（xi，yi），i=1，2，…，k 为落在 D中的k个随机数，则n充分大时，有

定理的证明参见文[3-4].

定理 （改进蒙特卡罗方法）设f（x，y）为区域D上的有界函数，

其中AD是区域D的面积；

2）（xi，yi），i=1，2，…，n是以g（x，y）为概率密度的随机数列，设（xi，yi），i=1，2，…，n 为落在 D中的n个随机数，则n充分大时，有

3）设（xi，yi），i=1，2，…，n为落在D中的n个随机数，则n充分大时，有

由积分中值定理，曲边梯形D（上曲边为y=b2（x），下曲边为 y=a2（x））的面积在区间[a1，b1]内任意插入n-1个分点 xi，x0=a1，xn=b1，a1＜ xi＜ b1，（，i=1，2，…，n-1），当n很大时即，当 n 充分大时，AD可近似看作为区域D的面积.

由上式展开得

证毕.

与传统算法相比，改进算法省略了取包含D的矩形区域Ω的步骤，因此也省略了min（a2（x））=c，max（b2（x））=d 的计算，省略了判断随机数落在积分区域D的步骤，从而大大降低计算难度，简化了计算步骤.

2 算例

根据公式（4）可知

计算结果见图1，图2，图3.

3 结论

在计算过程采用线性同余器产生均匀随机数，应用以上步骤求解二重积分得到较好的结果.当增加抽取样本次数，计算量增加，其精度也随之增加，但是二者不成正比例关系.从图3可以看出：当随机数的数目N=990时，误差d=0.009 254，是最佳数据.再产生更多的随机数，误差反而较大.所以应用蒙特卡罗法求解二重积分存在最优数据问题.总的看来，用蒙特卡罗方法求解的算法描述简单，有较高的计算精度，对于求解二重积分是个简单有效的方法.

［1］徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海:上海科学技术出版社,1985.

［2］方再根.计算机模拟和蒙特卡罗方法论[M].北京:北京工业学院出版社,1988.

［3］尹增谦,管景峰,等.蒙特卡罗方法及应用[J].物理与工程,2002,12(3):46-50.

［4］刘辉玲,叶锋.计算多重积分的均匀随机数蒙特卡罗法的实现[J].电脑知识与技术,2008,4(8):2289-2291.

［5］黎锁平.运用蒙特卡罗方法求解随机性问题[J].甘肃工业大学学报,2001,27(2):95-97.

［6］Fishman G S.Monte Carlo-Concepts,Algorithmsand Applications[M].New York:Springer,1996.

［7］Niederreiter H.Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo methods[M].CBMS-NSF Regional Conference Seriesin Applied Mathematics,63:SIAM,1992.

［8］Robert C P,Casella G.Monte Carlo Statistical Method(second edition)[M].New York:Springer,2004.

责任编辑：毕和平

Calculation of Double Integrals Based on Monte Carlo Method

LI Manzhi,WANG Hongtao,ZHANG Guanglu
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper Monte Carlo method was used to calculate double integral.The realization steps,algorithm and the realization of a concrete example were were given.The example shows that the improved Monte-Carlo method has a better computing algorithm and a better accuracy.

Monte Carlo method；double integrals；numerical calculate

O 242

A

1674-4942（2010）03-0242-03

2010-05-17

海南省教育厅高等学校资助项目（Hjsk2010-41）；海南师范大学青年教师科研资助项目（QN0921）；海南师范大学应用数学重点学科项目