CEV模型下平方障碍期权定价的数值算法

丁 华，高莉莉，蔡愫颖

（1.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽财经大学经济学院，安徽 蚌埠233030；3.安徽财经大学外国语学院，安徽 蚌埠233030；）

CEV模型下平方障碍期权定价的数值算法

丁 华1，高莉莉2，蔡愫颖3

（1.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽财经大学经济学院，安徽 蚌埠233030；3.安徽财经大学外国语学院，安徽 蚌埠233030；）

讨论一种变异期权-收益结构为平方的障碍期权，在股票价格服从不变方差弹性（CEV）模型下，采用Crank-Nicolson差分格式，给出具体的数值算例，并验证了算法的有效性，最后分析障碍对期权的影响.

CEV模型；向上触销平方期权；Crank-Nicolson差分格式

障碍期权是一种收益结构依赖股票价格路径的奇异期权，当资产价格过高或过低时，就会触发或触销期权和约而影响期权的价格.平方期权是一种改变标准收益结构的新型期权，它对股票价格变化的敏感性明显增加.由于平方期权具有很大的杠杆作用，投机者只要把股票价格抬高一点，期权价格就会发生很大的变化［1-3］.因此，为尽量避免投机者操纵市场，有必要设定一个价格障碍，当股票价格超过这个障碍价格时，期权作废.

这里讨论的情况是这两种期权性质的期权定价问题，收益结构为平方但在价格过程中设定了一个价格障碍，股票价格一旦等于或超过这个障碍，期权价格为零.对B-S模型下的障碍平方期权有定价公式且可以直接得出解析解［4-5］，若将B-S模型一般化，考虑在标的股价服从不变方差弹性（CEV）模型下得到障碍平方期权价格所满足的偏微分方程，利用分离变量法，将其化为抛物线型的Cauchy问题［8］，但最终求不出解析解.故在实际中不能直接应用.本文用了Crank-Nicolson差分格式来求解CEV模型下的向上触销平方看涨期权定价方程，并给出具体的数值实例.实际上，CEV模型下障碍平方期权其余的三种可用类似方法得出.

1 定价模型

不变方差弹性模型（CEV）是Cox与Ross提出的［7］，他们认为虽然几何布朗运动在许多情况下是资产收益率的一种很好的近似，但不同类别的资产有相当大的离差.

设σ（St）表示股票价格St的波动率，则有：

其中a为常数.由此得到：

这里σ为常数.

在这个模型中，资产回报的波动率是资产价格的函数.有：

其中μ为期望回报率，dWt为标准Brown运动.参数a∈[0，1]，决定了股价的变动对股票价格水平的敏感度.当a=1时，（1）式即为经典的B-S模型.这里考察了当资产价格遵循CEV发散过程时某些路径依赖期权的定价问题，这一过程具备资产的波动与其价格水平相联系的优点，它与股票波动趋于股票价格上涨和下跌变化的实证研究相一致.由Cox提出的CEV期权定价模型分离了这种负相关性［6-7］.这样，将CEV过程应用于路径依赖期权以及标准期权就应该是一种明智的做法.

根据期权的定义，它可以用股票-债券交易策略来进行复制，就得到关于V的偏微分方程：

对于向上触销平方看涨值期权（up-and-out options）Vuo而言，边界条件：

其中，K为执行价格，Smax代表有效期[0，T]内资产的最高价格，B为障碍价格，且满足条件：K＜B.

2 C-N差分格式建立

分别对时间（从现在0时刻到障碍平方期权到期日T时刻）股票价格进行等间隔的分割.由于障碍对期权价格的影响，小于障碍水平的标的资产价格对所对应的期权价格可以认为是零.于是，对向上触销平方期权价格的求解区域［9］A={0≤S≤B≤Smax，0≤ t≤ T}网格化.其中Smax为股票可达到的最高价格，在三叉树中，标的价格上升幅度为，因此可取Smax=SuN.假设△t=t/N，总共有 N+1 个时间点：0，△t，2△t，…，T.由于障碍对期权价格的影响，高于障碍水平的标的资产价格所对应的期权价格可以认为是零.于是，令△S=min（B，Smax）/M，则考虑 M+1 个股票价格 0，△S，2△S，…，min（B，Smax），j=0，1，…，M.这样就构造了一个共有（M+1）（N+1）个点的坐标方格（见图1）.坐标上的点（i，j）对应时刻 i△t和股票价格 j△S，用变量 Vuo代表点（i，j）点的向上触销平方看涨期权价格.

对于坐标方格内部的点，利用Crank-Nicolson差分格式，取

把（11）代入（8）中，各项进行合并，并考虑 Vuoij的终值条件（即 S=0，S=min（B，Smax）和 t=T 时的向上触销平方看涨期权值）得到如下的两层隐式差分格式一组方程：

相应的系数：

仔细考虑（12）的第一个方程，它实际准确到o（（△t）2），而不是 o（△t）.对于显式还是隐式格式都只准确到o（△t），这也就是Crank-Nicolson差分格式优越的地方.

首先求解与T-△t时刻相对应的点.利用（12）式和i=N-1可以给出M-1个同时成立的方程：

因此，可以求出 M-1 个未知数：VuoCN-1，1，VuoN-1，2，…，VuoN-1，M-1.与 T-2△t对应的结点也按同样方式处理，并以此类推.最后就会得到 Vuo0，1，Vuo0，2，…，Vuo0，M-1.一般地，不会恰好在格点上，当不在格点上时，要采用线性插值方法来求得期权价格.

3 实例

基于不支付红利的向上触销平方看涨期权，当前股票价格 S0分别为 23，25，30，33，35 美元，执行价格为32美元，期权有效期为6个月，即T=0.5年，无风险利率r每年10%，瞬态波动为每年σ=20%，障碍值B为40美元，用三叉树方法得到Smax=SuN，利用matlba编程计算，得出一系列的数据.表1给出了使用三个a值来表现其对期权价格的影响.它们分别对应对数正态模型（a=1），平方根模型（a=1/2）和绝对模型（a=0）.

由表1可知，Crank-Nicolson差分格式计算的价格在给定的股票价格、执行价格和a值条件下迅速收敛于封闭形式的解.绝对模型和平方根模型下的期权价格的收敛过程可类比对数正态模型期权的收敛过程.并且对期权价格的影响可能是正方向的，也可能是负方向的，但是对某一给定期权，其影响看起来总是单调的.

表2展示了对数正态模型 （a=1）时利用Crank-Nicolson算法计算不同的股票价格所对应的向上触销平方看涨期权价格.可见，它对股票价格变化的敏感性明显超过一般期权.由于平方期权具有很大的杠杆作用，投机者只要把股票价格抬高一点，期权价格就会发生很大的变化.在实际过程中，为尽量避免投机者操纵市场，有必要设定一个价格障碍，当股票价格超过这个障碍价格时，期权作废.同时，Crank-Nicolson算法与解析式定价结果进行［3］比较，相对误差都比较小，再一次说明该算法的有效性.

表1 CEV模型下向上触销平方看涨期权的收敛过程（S0=25）Tab.1 Convergence process of up and out power options following CEV model

表2 对数正态模型（a=1）下向上触销平方看涨期权价格（M=100，N=400）Tab.2 Price of up and out power options following lognormal model

表3比较了一般的向上触销障碍期权与平方触销平方看涨期权的价格巨大差异，再次说明平方期权的杠杠作用.而一般的障碍期权价格非常得低，这则说明由于障碍存在，期权要比常规期权（B→∞）便宜.另外，对于向上触销障碍期权来说，障碍越低，期权价格就越便宜；期权价格在股票价格S0比较接近障碍值的时候相差比较大，而S0在远离障碍时，价格就与一般期权比较接近.这同样适用于平方障碍期权.

表3 一般的障碍期权与平方障碍期权价格比较（S0=25，a=1）Tab.3 Comparison of the price of general barrier options with barrier power option

4 结语

为了分离股票价格变动与波动变化之间的负相关性，考察了当资产价格遵循CEV发散过程时平方障碍期权定价问题，提供了一种有效的数值算法，并进行了数值模拟，讨论了障碍、平方对期权价格影响.可以用于期权交易的实际操作，具有实际的应用价值.

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责任编辑：毕和平

Numberical Solution for Barrier Power Option Following Constant Elasticity of Variance Model

DING Hua,GAO Lili,CAI Suying
（1.School of Statistics and Applied Mathematics，AnHui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；2.School of Economics，AnHui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；3.School of Foreign Language，AnHui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；）

The barrier option with payoffs as a kind of exotic option is discussed.Supposing the underlying asset follows constant elasticity of variance model （CEV）,using C-N differential scheme,the partial differential equations,an algorithm and some numerical examples to verify the validity of the arithmetic were obtained,and the effects of barrier level on option price were discussed.

CEV mode l；barrier power option；C-N differential scheme

F 830.9

A

1674-4942（2010）03-0245-04

2010-05-23

教育部人文社会科学研究项目基金（09YJCZH001）；高校省级优秀青年人才基金（2010SQRW056）；安徽财经大学青年科研项目（ACKYQ0927）