用变分迭代法求解Hirota-Satsuma型耦合KdV方程组

于欢欢,张金良

用变分迭代法求解Hirota-Satsuma型耦合KdV方程组

于欢欢,张金良

(河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳471003)

用变分迭代法研究了Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程组,求出了 Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程组的近似解,利用Matlab对近似结果和精确解进行了模拟.

变分迭代法;Hirota-Satsuma型耦合KdV方程组;Matlab;模拟

变分迭代法来源于量子力学,后来被工程师Inokuti[1]等应用于求解非线性方程,取得了比较理想的效果.但是,由于这种方法识别Lagrange乘子很繁杂,一直未得到普遍的关注和应用.1999年,何吉欢[2]对广义的拉格朗日乘子做了修正,引入限制变分的概念,提出一种简单而快速的变分迭代方法:首先设初始迭代为含有若干参数的等式,然后利用一般的Lagrange乘子来构造修正函数,这里通过变分原理[3]确定Lagrange乘子的最优值.变分迭代法能够得到真实解的一个收敛的连续逼近解,而且变分迭代法不受任何限制,如线性和非线性问题中的小参数限制等.它以类似的方式处理线性问题和非线性问题,而且其收敛性也得到了验证[4].

近年来许多学者对变分迭代方法作了大量的研究,一些研究人员将其用于求解非线性的积分微分方程[5]、KdV方程[6]、量子力学中的微扰问题[7]、厄尔尼诺/拉尼娜-南方海涛模型[8]、海-气振子ENSO模型[9]、厄尔尼诺大气物理机理上的一些问题[10]以及研究赤道海气振子模型[11]等,也有学者将变分迭代方法与现存的方法进行了比较,结果证明变分迭代法收敛到真实解的速度较快[12].本文利用变分迭代方法求解广义的 Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程组的近似解,并利用Matlab对其近似结果和精确解进行模拟.

1 求解Hirota-Satsuma型耦合KdV方程组

在文献[13]中介绍了含有三个位势的4×4阶矩阵的谱问题,其中一种类型的方程为广义的 Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程.近年来,许多学者用不同的方法对广义的 Hirota-Satsuma型耦合KdV方程进行了研究,如扩展的tanh函数展开法[14]、符号计算法[15]以及代数方法[16]等.

考虑一个广义的Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程组

初始条件为

式中c0,c2,β和k均为常数.它的精确解为

用变分迭代方法对方程(1)～(3)建立如下校正泛函

式中λ1,λ2和λ3是广义的拉格朗日乘子和为限制变分量,即δ

对式(10)～(12)取变分得

于是,可得以下驻值条件

从而,可以识别拉氏乘子得

将其代入到式(10)～(12)得到迭代公式

假设初始近似解为

令分别将式(16)、(17)、(18)代入到式(13)、(14)、(15)得到

由于c0,c2,β和k均为常数,这里令β=2,c0= c2=k=1,则有

A=-2,B=4,C=-4,D=4.

于是方程的近似解(25)～(27)为

同理,将式(28)～ (30)带入变分迭代公式(19)～ (21)得到

利用变分迭代公式(19)～ (21),还可以计算出三阶以及更高阶的近似解.

当β=2,c0=c2=k=1时,方程(1)～(3)的精确解为

利用Matlab,方程组(1)～ (3)的精确解和近似解见图1～图9.

图1 β=2,c0=c2=k=1时,u(x,t)的精确解图像

2 结束语

由模拟结果可以看出,用变分迭代法求解广义Hirota-Satsuma耦合 KdV方程组,一阶迭代近似解的图形与精确解吻合的相当好,由此可以根据近似解来研究广义 Hirota-Satsuma耦合 KdV方程组孤波的波形变化和特征.但是,在进一步迭代的时候,由于t的幂次高,所得近似解的图形与精确解偏差较大.这也说明变分迭代方法在应用中有一定的局限性,但仍是解决这类问题的强有力工具.

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Variational iteration method for solving the Hirota-Satsuma coupled KdVequations

YU Huanhuan,ZHAN GJinliang
(School of Mathematics and Statistics,Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003,China)

In this paper,the variational iteration method were applied to investigate the Hirota-Satsuma coupled KdV equations,and some approximate solutions were obtained.Using Matlab,the approximate solutions and exact solutions of the Hirota-Satsuma coupled KdV equations were simulated.

variational iteration method;Hirota-Satsuma coupled KdV equations;Matlab;simulation

O175.2

A

1671-9476(2010)05-0038-04

2010-05-12

河南省基础与前沿技术研究项目(No.092300410179);河南科技大学博士启动基金资助项目(No.09001204)

于欢欢(1986-),男,河南通许人,硕士研究生,主要从事非线性数理方程研究;张金良(1966-),男,河南唐河人,教授,博士,研究方向:非线性数学物理问题.