基于随机场的动力分析

莫文辉

(湖北汽车工业学院机械系,湖北十堰442002)

基于随机场的动力分析

莫文辉

(湖北汽车工业学院机械系,湖北十堰442002)

考虑材料空间多样性,材料性能特性例如弹性模量或波松比被看成随机过程。本文采用随机场的中心点方法,在材料性能特性、几何尺寸、所受载荷被看成随机的情况下,结构振动方程先用Newmark法转化为静力问题。二阶Taylor展开随机有限元被用于结构振动分析,推导简单,易于编程。给出了基于随机有限元的混凝土悬臂梁的振动分析的一个计算实例,对计算结果做了比较,本文提出的方法是有效的。

Taylor;随机有限元;动力;分析

0 导言

岩土材料以及混凝土材料的弹性模量等许多结构材料的物理参数具有明显的空间差异性,将它们视为随机场加以研究。随机场的离散是各种随机有限元方法均需解决的问题,随机场的离散形式对随机有限元的计算和计算精度有着决定性的影响。最简单的离散是中心点法[1]。随机场的局部平均法将一个单元的随机场通过该单元的空间平均来描述[2][3]。随机场可以用形状函数和单元的节点值来描述[4]。利用 Karhunen-Loeve定理将随机场离散成级数展开[5]。随机场局部积分法在单元刚度矩阵的推导过程中采用随机场在单元上的加权积分以考虑材料参数的随机场[6][7]。随机场采用级数展开表示,运用线性估计优化理论,使方差的误差最小[8]。

摄动随机有限元应用于结构动力分析,振动微分方程组中的Ma(b,t)+f(d,v,b)=F(b,t)中的a、F、f用泰勒展开,并分别令0阶项、1阶项、2阶项相等,得到一组微分方程组,求解该微分方程组后,可获得d、v、a的均值和协方差[4]。将载荷看作随机过程,用摄动随机有限元研究了随机载荷作用下的结构振动[9]。用摄动随机有限元研究了结构非线性振动,给出了结构在随机几何参数、随机材料参数、随机载荷作用下的非线性振动的分析方法[10]。研究了谐波随机激励作用下的,多自由度随机线性系统的振动,运用了Neumann展开随机有限元[11]。

本文基于随机场离散的中点法。用Newmark法将振动微分方程组转化为线性方程。把材料性能参数看成随机的,运用 Taylor展开随机有限元,对结构的线性振动进行了研究。

1 随机场[12]

随机场最简单的离散方法是中点法。在一个网格范围Ωe内的随机场用一个代替网格中点值的随机变量来描述。

随机场的均值、方差、相关函数用网格中点来估算。

材料特性的空间变异性,例如弹性模量或波松比被假设为二维齐次随机过程。材料性能的波动部分被假设有0的均值。

自相关函数为

如果空间变异的随机性是各向同性的,空间变异的自相关函数被假设是距离|ξ|的函数。一个各向同性的自相关函数如下所示

d是一个正数,随着它越大,相关性慢慢地消失。实际上,对自相关函数而言,d是相关性的一个度量尺度。σ0是随机场的标准差。为了符合假设的自相关函数,谱密度函数为

用有限元方法把结构划分为合适数量的小的单元。如果共有n个单元,那么联系n个单元就有n个材料性能值。考虑齐次随机场的波动部分,假设材料性能变异围绕均值波动。ai=a(xi)(i=1,2,…,n)是n个随机的值。它们的均值为0,协方差矩阵Caa描述相关特性,单元i、单元 j的相关性为

其中ξij=xi-yj,为单元中点和单元中点的距离。弹性模量的均值为 c1(1.0+θ1xi/L),网格中点的弹性模量的协方差为c2(1.0+θ2xi/l),c1、c2、θ1、θ2、l、L为常数,xi为网格的中点的横坐标。基于随机场的中点法,用直接Monte Carlo方法,Taylor二阶展开法对悬臂梁结构振动进行计算。图2所示结构振动的505节点的位移均值。Taylor二阶展开法计算结果与直接 Monte Carlo法很接近。直接Monte Carlo法模拟100次。众所周知,随着模拟次数增加,逐步逼近精确解。二阶 Taylor展开法与直接Monte Carlo法比较位移均值很接近。图3所示结构节点505振动位移的偏差。二阶 Taylor展开法与直接Monte Carlo法比较位移偏差很接近。

4 结论

2 Taylor展开随机有限元方法

对于一个线性系统,动力平衡方程为

采用Newmark法把动力问题转化为如下的静力问题

本文基于随机场的中点法,研究了二阶 Taylor展开随机有限元动力分析的计算方法。二阶 Taylor展开随机有限元被推广到结构的振动分析。以悬臂梁为例进行了实例计算。

结构的弹性模量看成 n个随机变量 a1,a2,…,ai,…,an

(8)式可以改写为

从t时刻的状态出发,求出位移的均值、方差。一步一步地迭代可求得在t+t1△t(i1=2,3,…,n1)时刻位移的均值、方差。详细计算过程见文献[13]。处进行展开,并在两边同时取均值,可得

3 计算实例

图1所示为悬臂梁。它的长度为1 000,宽度为200,高度为50,承受载荷。悬臂梁的材料为混凝土,划分为400个矩形网格,505个节点,400个中点。弹性模量看作一个任意随机过程,网格中点的

[1]A Der Kiureghian,J-B Ke.The stochastic finite element method in structural reliability[J].Prob.Engng.Mech., 1988(3):83-91.

[2]E H Vanmarcke,M Grigoriu.Stochastic finite element analysis of simple beams[J].J.Engrg.Mech.,ASCE,1983 (109):1203-1214.

[3]S Chakraborty,B Bhattacharyya.An efficient 3D stochastic finite element method[J].Solids and Structures, 2002(39):2465-2475.

[4]Wing Kam Liu,Ted Belytschko,A Mani..Random field finite element[J].Int,J.Numerical Methods in Engng, 1986(23):1831-1845.

[5]P D Spanos,Roger Ghanem.Stochastic finite element expansion for random media[J].J.Engng.Mech.ASCE, 1989(115):1035-1053.

[6]George Deodatis.Bounds on response variability of stochastic finite element systems[J].J.Engng.Mech,ASCE, 1990(116):565-585.

[7]M Shinozuka,G Deodatis.Response Variability of stochastic finite element systems[J].J.Engng.Mech.ASCE,

1988(114):499-519.

[8]Chun ching Li,A Der kiureghian.Optimal discretizatiom of random fields[J].J Engng Mech.ASCE,1993(119): 1136-1154.

[9]Qi Lin Zhang,U Peil.Random finite element analysis for stochastical responses of structures[J].Computers&structures,1997(62):611-616.

[10]W K Liu,T Belytschko,A Mani.Probabilistic finite elements for nonlinear structural dynamics[J].Comput. Methods Appl.Mech.Engrg,1986(57):61-81.

[11]S Chakraborty,S S Dey.A stochastic finite element dynamic analysis of structures with uncertain parameters[J]. Int.J.Mech.Sci.,1998(40):1071-1087.

[12]F Yamazaki,M Shinozuka,G Dasgupta.Neuamann expansion for stochastic finite element analysis[J].J Engng Mech ASCE,1988(114):1335-1354.

[13]Mo Wen-hui,Huang Qi-bo.Dynamic analysis of a structure using Taytor expansion stochastic finite element method[J].International journal of plant engineering and management,2008(4):191-199.

Dynamic Analysis Based on Stochastic Field

MO Wen-hui
(Mechanical Department,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan 442002,China)

Due to spatial variability of material property,Young’s modulus is assumed to be a stochastic process.The midpoint method of stochastic field is adopted.Material properties,geometry parameters and applied loads are assumed to be stochastic;the vibration equation of structure is transformed to a static problem using the Newmark method.The Taylor expansion stochastic finite element method(TSFEM)is extended for the structural vibration analysis,which is easy to derive and program.An example is given respectively and calculated results are compared to validate the proposed method.

Taylor;stochastic finite element;dynamic;analysis

book=2,ebook=83

TB12

A

1008-4738(2010)03-0107-03

2010-04-20

莫文辉(1969-),男,湖北汽车工业学院机械系副教授,博士,研究方向:工程力学,机械可靠性。