玻色凝聚态在一维无限深势阱中的稳定性分析

韩素红

(山西大同大学物理与电子学院,山西大同 037009）

玻色凝聚态在一维无限深势阱中的稳定性分析

韩素红

(山西大同大学物理与电子学院,山西大同 037009）

从描述玻色爱因斯坦凝聚的基本方程（Gross-Pitaevskii方程）出发，利用一种半经典的方法对其基态的稳定性进行了分析，发现在一维有限体系内其基态定态解是稳定的.这个结果与利用其他方法所得到的结果相一致.

玻色爱因斯坦凝聚 稳定性 半经典方法

在三维空间中,一团具有相互作用的均匀的玻色-爱因斯坦凝聚气体是很不稳定的,同时也很容易崩塌[1].然而当有束缚势阱存在的情况下,这样的凝聚气体是能够产生的,但却是一种亚稳定的状态[2].这种稳定的限度是由一种自我吸引力与排斥力之间的平衡决定的.那是因为在三维空间条件的限制内,位置与动量是不确定的[3-5].在这种稳定的限度之内,这种被限制在一维运动中具有相互吸引的玻色-爱因斯坦凝聚气体的亚稳态在实验上已经得到了实现,也就是亮孤子形态[6，7].我们研究了玻色凝聚气体在一维无限深方势阱中稳定的基态的G-P方程的基态解.并且绘制出了从正非线性相互作用到负非线性相互作用的系统的相图.结果表明基态解在这些区域内总是稳定的.

1 简介

1.1 一维G-P方程

根据波函数模平方的全域积分值的不同,波函数有两种表示方式:一种就像(1)一样,取

另一种是将波函数归一化,再将粒子数与g一起构成非线性因子:

本文中采用后一种表示方式.

1.3 势函数

一维无限深势阱:

其中，L为势阱长度.

1.4 G-P方程的无量纲化

将(2)无量纲化:

1.5 定态方程

按照求定态解的一般方法,设解的形式为ω(x,t)＝ψ（x）exp（iEt）,将其代入(5)中得:

2 半经典近似

动力学稳定性的定义及原理[3]:当处于凝聚态的波函数在一个微扰后不随时间的延长呈指数发散时,那么就认为这是动力学稳定的.否则系统将认为是不稳定的,因为一个微扰就会导致凝聚态波函数远离其本身.

下面作半经典近似:

3 相图分析

哈密顿量H(x,P)不显含时间,所以能量守恒,所以等能的相图即为轨道.然而,由于U(x)在势阱外为无穷大,所以在边界处,广义动量反向.作出势阱宽度为1,非线性因子为η=50,非线性参数不变,能量与化学势的比值E/μ改变时的相图(图1).

图1 非线性参数不变的相图

图2 非线性因子不断改变的相图

从图1可以看出,随着能量的增加轨道越来越扁,最终,当比值大于1时,轨道开始展开,上下不再封闭,但是由于在边界上要动量反向,且图像上下对称,所以轨道还是封闭的.还有一点要强调的是对应于一个能量有内外两个轨道,从而产生了一些粒子所到不了的地方.即使能量为虚数的地方.

再作能量与化学势比值E/μ=0.7时,

非线性因子不断改变的相图(图2)

图2可以看出,随着非线性参数的增加轨道越来越扁,但始终在一个封闭的轨道内从以上的分析得出,轨道是稳定的.

4 结论

通过对一维无限深势阱下玻色凝聚态的半经典近似处理及相图分析,可得出这样的结论:系统是稳定的.

[1]Dalfovo F,Giorgini S,Pitaevskii L P,et al.Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases[J].Rev Mod Phys,1999,71: 463.

[2]Gerton JM，Strekalow D,Prodan I,et al.Direct observation of growth and collapse of a Bose-Einstein condensate with attractive interactions[J].Nature,2000,408:692-695.

[3]Bradley CC,SackettCA,Tollett JJ，etal.Evidence ofBose-Einstein Condensation in an Atomic Gaswith Attractive Interactions[J]. Phys Rev Lett,1995,75:1687-1690.

[4]Bradley CC,Sackett CA,Hulet R G.Bose-Einstein Condensation of Lithium:Observation of Limited Condensate Number[J].Phys Rev Lett,1997,78:985-989.

[5]Ruprecht PA,Holland M J,Burnett K,et al.Time-dependent solution of the nonlinear Schr?dinger equation for Bose-condensed trapped neutral atoms[J].Phys Rev A,1995,51:4704-4711.

[6]Strecker K E,Partridge G B,Truscott A G,et al.Formation and propagation ofmatter-wave soliton trains[J].Nature,2002,417: 150-153.

[7]Khaykovich L,Scherck F,FerrariG,etal.Formation of a Matter-Wave Bright Soliton[J].Science,2002,296:1290-1293.

The Study on the S tability of Bose-Einstein Condensatesw ith 1-Dimensional SquareW ell

HAN Su-hong
(School ofMathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this article,starting from Gross-Pitaevskii Equation,which is a basic equation to describe the properties of the Bose-Einstein condensates(BEC),we investigate the stability properties of the ground state for BECwith 1-dimensional square well by one kind semi-classicalmethod.Our results show that the ground state is stably and is consistentwith the exiting literatures.

Bose-Einstein Condensates;instability;semi-classicalmethod

O469

A

1674-0874（2010）02-0032-03

2010-01-20

韩素红（1964-），女，山西大同人，副教授，研究方向：理论物理.