毛细管中液面升降时能量转化分析

王维青

（太原师范学院 物理系，山西 太原 030031）

毛细管中液面升降时能量转化分析

王维青

（太原师范学院 物理系，山西 太原 030031）

应用变质量体系的运动微分方程，对毛细管中液面升降时能量转化情况进行了分析.

毛细管；表面张力；重力势能

毛细管插入能润湿玻璃的液体中管内液面会上升，插入不能润湿玻璃的液体中管内液面要降低.液面升高或降低，重力势能就要增加或减少，增加的重力势能从何而来，减少的势能又到哪里去了？也即能量如何转化，一般教科书限于篇幅，并不过多分析，但文献[1]的课后思考题中有这样的问题.这类问题的提出，显然对学生综合应用物理知识解决问题很有益处.

1 液体润湿不润湿固体时能量分析

液体和固体的接触面上有一个厚度为分子作用半径的附着层，对于液体能润湿固体的接触面来说，见图1（a），由于内聚力F1小于附着力F2，附着层内分子受到的合力方向与F2同向，此时附着层中的分子要进入液体中需克服分子引力做功，说明附着层中的能量要比液体中的能量低，或者讲附着层中的液体分子具有负的表面能.由玻耳兹曼能量分布律我们知道，在外界条件一定的情况下，分子总是优先地占据低能量的状态.所以液体内部分子尽量向附着层内跑，这样气、液、固接触处就形成如图1(a)所示的弯月面向上的形状.若F1>F2则相反，附着层中的能量比液体中的能量高，就有尽量减少附着层内分子的趋势，最后达到稳定时，就形成如图1（b）所示的表面形状.

图1 液体润湿不润湿固体时情况

2 毛细管中液面上升时能量分析

如图2（b）所示，半径为r毛细管插入可润湿的水中，形成凹液面，由于表面张力的存在，使凹液面下B点的压强小于大气压强，PB

图2 毛细管刚插入可润湿的液体中

图3 可润湿毛细管的液体在管中上升时情况

取如图3（a）所示的坐标系，由于液体未进入毛细管前是静止的，

∴u=0

因为要求的是能量，可把（1）式变化为：

力在x方向的投影：

把（3）、（4）式代入（2）式的左边，可得：初始：x=0,v=0;到力的平衡位置时x=h,v=v，上式积分：

其中，方程右边的质量为液体处于力平衡时的质量：

由积分的结果，可知，（6）式右边第一项为重力做的负功，也为，重力势能的增量；第二项为表面张力做的正功.显然，表面张力做功，一半用于重力势能增加，另一半由（6）式的左边可知，转化为动能了.液体在力的平衡位置时，动能不为零，也即速度不为零.显然由于惯性，液体要继续向上运动，到速度为零时，重力又比表面张力大了，在力的作用下液体又向下运动，这样就形成了振荡，定量分析如下.

为讨论方便，把x轴的坐标原点选在力的平衡位置处，则（3）式变为：

把（7）式及（4）式代入由（1）式，可得其动力学方程为：

可见，另一半动能似乎可近似地看成是用于简谐振动了，但考虑到液体的粘滞阻力，最终是耗散为热能了.

3 毛细管中液面下降时能量分析

半径为r毛细管插入不润湿的水银中，形成的是凸液面，如图4，由于表面张力的存在，使凸液面下B点的压强大于大气压强，pB>po.这样毛细管内的液体就要向下运动，直到下降到h满足pB=po+ρg h为止.此时，毛细管内的液面在C处，以B点所在处为上表面，以C所在处为下表面，隔离出一个底面半径为r的液柱，显然，随液柱下降，其质量是减小的.但由于液柱下面的液体仍在毛细管内，随液柱一起运动.所以（1）式中的u=v.由图4（b）所示的坐标，可得质量的表达式：

其受到的三个力如图所示，因pB=pC，所以实际液柱仅受到重力，即：

图4 不润湿毛细管的液体在管中下降时情况

将（12）式、（13）式代入（1）式，并整理可得：

初始：x=,v=0;到力的平衡位置时x=h,v=v，上式积分：

结果说明，重力做正功，使重力势能减小，减小的能量变成动能.即在力平衡位置时速度不为零，由惯性液体继续向下运动，直到速度为零时，B点所在处的压强又比h深处大， 使液体又受到向上的力，结果同样在平衡位置振荡.因在力平衡位置时，小液柱的质量为零了，所以要得振动方程就不能以C处为液柱的下底面了.取毛细管的下端处为小液柱的下底面，还看图4（b），这样，又有u=0，但液柱受到的合力：

将（16）、（17）式代入（1）式，可得：

不考虑粘滞阻力时，仍可近似为简谐振动.

总之，毛细管内液面升高时，表面张力做正功，使重力势能增加；液面下降时，似乎表面张力应做负功，使重力势能减小，但这里选取的研究对象正好使上下液面的压力抵消.若小液柱的下底面没选在力的平衡位置，如选在A处，显然表面张力是要做功了.

〔1〕秦允豪.热学[M].北京:高等教育出版社,1999：304.

〔2〕陈世民.理论力学简明教程[M].北京:高等教育出版社, 2008：109.

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1673-260X（2010）07-0014-02