广义极小非幂零群

李千路

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)

广义极小非幂零群

李千路

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)

若有限群非幂零但其所有真子群均幂零，则称其为一个极小非幂零群.一类群称为广义极小非幂零群，如果它有一个非幂零真子群使得其它不包含在这个子群中的所有真子群均为幂零的.证得这类群可解，并讨论了该类群的子群的性质.

幂零群 极小非幂零群 可解性

1 引论

首先考虑一些符号与概念.设P是一个素数，P是一个P-群.J(P)表示P的所有具有极大秩的交换子群生成的群.则J(P)是P的特征子群.有限群G为一个极小非幂零群,若它本身非幂零但其所有真子群均幂零[1].

O.J.Schmidt证得：若非幂零有限群的极大子群均幂零 (即极小非幂零群)，则该群可解，并且群阶所含素因子个数为2.文献[2]研究了广义幂零群中的极大子群对群结构的影响.Thompson改进了O.J.Schmidt的结果：如果有限群含有一个奇数阶幂零极大子群，则该群可解.A.Ballester-Bolinches与X.Y.Guo又推广了Thompson的结果:若有限群G有一个幂零极大子群M,并且M具有一个2-Sylow子群P使得P与G′交中的2阶元与4阶元生成的子群包含在P的中心中，则可解[3].施武杰等进一步推广了上述结果：若P为非四元数群并且P与G′交中的2阶元生成的子群包含在Z(G′)的中心中，则G可解[4].

本文运用群的非幂零子群的性质来研究群的可解性及群的结构，推广极小非幂零群概念，改进O. J.Schmidt定理.文章所考虑的群均为有限群.π(G)表示群G的阶中所含素因子的集合，H＜·G表示H为G的极大子群.其它记号均为标准的.

2 主要结果

我们引入：

定义群G叫做一个广义极小非幂零群，若G含有非幂零真子群H使得G的任何不包含在H中的真子群均为幂零的.

为方便起见，用g(G,H)表示上述定义中G关于H的广义极小非幂零群.

引理1设g(G,H)是一个广义极小非幂零群，则H是G的正规极大子群.

证明如果存在子群L使得H

故H是G的一个极大子群.

假设有g∈G使得Hg≠H,则推出Hg幂零,从而H也幂零，矛盾.故H在G中正规.

下面是Thompson关于群p-幂零的一个著名结果：

引理2设G是一个有限群，p是一个奇素数，P是G的一个Sylowp-子群.则G是p-幂零群的充分必要条件是NG(J(P))与CG(Z(P))均为p-幂零的.

定理 g(G,H)可解.

证明 假定定理结论不成立，并假设G是一个极小反例.则

(1)若A是G的一个真正规子群，则有A≤H.

事实上，若A■H,则A幂零.

若A∩H>1,则H/A∩H≌G/A不可解，因为G不可解.

设L/A∩H■H/A∩H,并且L/A∩H≠G/A∩H.

则L■H并且L≠G.因而,L/A∩L幂零.

于是G/A∩H是关于H/A∩H的广义极小非幂零群.

由极小性假定知G/A∩H可解，从而G也可解，矛盾.

故A∩H=1，从而G=A×H.

如果有R

故H为极小非幂零群，由O.J.Schmidt定理知H可解，从而G可解，矛盾.

故A≤H.

(2)若A是G的一个非平凡真正规子群，则A非幂零.

若A=H，则显然成立.故由(1)只需考虑A

假如A幂零，则G/A不可解.

若H/A非幂零，则G/A是关于H/A的广义极小非幂零群.

推出G可解，矛盾.故H/A幂零，又有G可解.

故A非幂零.

(3)存在奇素数p使得G为p-幂零的.

设N是G的包含在H中的极小正规子群，｜G∶H｜=p，(p为素数).

则G=NP,其中P为G的Sylowp-子群.

由(2)知N非幂零，故N不能是2-群.

又G不可解，推出N也不可解.

故｜π(N)｜>2.设q‖N｜为奇素数，Q∈Sylq(N)= Sylq(N).

由Frattini定理：G=NNG(Q).

由N极小正规知NG(Q)

又NG(Q)■H.故M幂零.再由(2)知M在G中的核为1.

但J(Q)在G中不正规，推出NG(J(Q))=M.

同理可知NG(Z(Q))=M，根据引理2，G为q-幂零的.

故G=QOq′(G).又P≤Oq′(G)，故Oq′(G)■H.

推出Oq′(G)幂零，从而G可解.

[1]Robinson D J.A course in the theory of groups[M].Springe-Verlag,New York/Heidelberg/Berlin:1982.

[2]李千路，李秀兰.广义幂零群中极大子群的性质[J].山西大同大学学报:自然科学版,2009,25(4):1-2.

[3]Ballester-Bolinches A.Guo X.Some results on p-nilpotence and solubility of finite groups[J].J Algebra,2000,228:491-496.

[4]Shi J,Shi W,Zhang C.A note on p-nilpotence and solvability of finite groups[J].J Algebra,2009,321:1555-1560.

Abstract:If a finite group is not nilpotent but all of its proper subgroups are nilpotent,then call it a minimal non-nilpotent group.In this paper，call a finite group a generalized minimal non-nilpotent group,if it possesses a proper non-nilpotent subgroup such that any other subgroup not contained in this subgroup is nilpotent.The author proves this group is soluble and discusses the properties of its subgroups.

Key words:nilpotent groups;minimal non-nilpotent groups;soluble

〔编辑 高海〕

Generalized Minimal Non-nilpotent Groups

LI Qian-lu
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

O151.22

A

1674-0874(2010)04-0001-02

2010-03-02

教育部回国留学基金[2008-101];山西省回国留学基金[2007-99];山西大同大学博士基金项目[2008-B-02].

李千路（1962-），男，山西闻喜人，博士，教授，研究方向：群论.