解读《数学分析》中的数学思想方法

李福兴

(贺州学院 数学系,广西 贺州 542800)

解读《数学分析》中的数学思想方法

李福兴

(贺州学院 数学系,广西 贺州 542800)

文章简要分析数学思想方法的内涵,从育人视角结合数学分析的知识结构分析、归纳、概括出数学分析中三个层次的数学思想方法。

数学分析;数学思想;数学方法;数学思想方法

数学思想方法是数学知识的精髓,是形成良好认知结构的纽带,也是知识转化为能力的桥梁,是培养学生数学观念,形成优良的思维品质的关键[1]P28-39。《数学分析》是数学专业学生首先学习的一门重要基础课、重点课,肩负着为后继课程提供必要的基础知识和应用工具的重任。《数学分析》内容多、理论精深、知识结构复杂、思想方法丰富。领悟、理解、掌握好《数学分析》的理论与数学思想方法,是学习好《常微分方程》、《大学物理》、《复变函数》、《实变函数》、《概率统计》等后续课程的前提条件,同时也有利于深刻理解和整体认识与把握《数学分析》的知识结构,有利于培养学生实事求是的科学态度,独立思考的思维方式以及勇于创新的进取精神。

1 关于数学思想方法的理解

数学思想方法促进数学学科的创新作用 ——在数学史上,数学家创造符号、运用方程促进算术向代数转化;数与形之间变换方法的创立使得解析几何产生成为必然;综合几何向几何代数转变,其中的变换起了决定性的作用;函数概念和函数思想的提出、运用使得变量数学诞生了;常量数学发展到变量数学,函数思想起了决定性作用;无穷小方法的创新,微积分诞生了;从欧拉使用数学模型的方法成功解决了著名的七桥问题,从而导致图论的创立等等。这不难看出,数学的每一步发展都离不开数学思想方法的重大突破。

数学思想(词组)在我国教育界颇为流行,但“概念”的明确界定几乎没有。数学思想意指人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识,是人们对数学研究对象统一的、本质的认识。它包括对数学本质的理解,对数学基本特性、数学对象、数学与其它科学、数学与客观世界的关系的认识,以及在数学中创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识。从研究的范围进行划分,又有宏观与微观之别。所谓宏观数学思想,即指对数学整体的认识,如古希腊哲学家柏拉图(Plato.公元前427-前347)的以数学(不变世界-理念世界的不变关系)为基础去观察世界的思想;毕达哥拉斯(Pythagoras.希腊前572-前497)想从自然界和人的思想的千变万华的过程中,分离抽象出某些共同特点,认为“万物皆数”,“数是万物的本质”;文艺复兴时期(约公元15世纪下半叶—17世纪上半叶)的伽利略(Galilei.意大利1564-1642)认为“宇宙这本书是用数学语言写成”的思想;解析几何创立者笛卡尔(Descartes.法1596-1650)认为“一切现象都可以用数学描述”(一切问题都可归结为数学问题,一切数学问题可以归结为代数问题,一切代数问题都可归结为方程问题)的思想;研究数学基础的逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派的数学思想以及布尔巴基学派的结构主义思想等。微观数学思想,意指对数学内部各分支体系结构中特定内容和方法的认识。如古代欧几里得等古希腊数学家的演绎推理思想;笛卡尔借助坐标,把实数对和平面上的点、方程和曲线联系起来(对应)的思想;微积分中的极限思想(无穷小量思想),代数中的伽罗华置换群思想;现代数学的集合论思想、概率统计思想等等[2]P9-11。数学方法是一种元概念,没法精确定义。《辞海》中未收录“方法”辞条,它和“物质”、“运动”、“集合”等概念一样,不能逻辑地定义,只能概略性描述。方法可说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径的统称[3]P1-5。徐利治先生认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展、规律、数学的思想方法以及数学中的发现发明与创造等新法则的一门学问”[4](含义广、史、哲乃至整个数学)。思想与方法的理解,两词有联系也有区别,如同一数学成就当用它去解决别的问题时称之为方法,当评价它在数学体系中的自身价值和意义时,称之为思想。二意合一说就有“数学思想方法”之类的提法。思想比方法在抽象程度上处于更高层次。数学思想是数学方法的理论基础和精神实质,思想是源泉、精华;方法是实践行为的体现,每一种数学方法都体现着一定的数学思想,且数学活动中总是在数学思想指导下数学方法的应用。于是数学思想和数学方法在数学活动中的表现形态不具有明确的界限[5]P57-61。在这种意义上的数学思想方法,其内容涵盖了数的思想和数学方法两个方面。

2 数学思想方法的层次性理解

数学思想方法是伴随着数学科学的产生而产生的。人们最初的数学活动经验实际上就是最原始的数学思想方法;随着数学活动的深入,人们对已有的数学活动经验加以抽象概括、就形成了较高层次的数学思想方法,这种抽象概括、再抽象再概括循环发展,也就产生更高层次的数学思想方法[1]P28-39。据此,根据数学思想方法的涵义,大致可以将其划分为三个层次。

2.1 低层次的数学思想方法。即操作性较强的方法,可称之为基本技巧型方法,也可以认为是解决具体问题的思想方法,如数学分析中的复合函数求导法则、待定系数法等。

2.2 较高层次的数学思想方法,主要是逻辑型的数学思想方法,该方法具有确定的逻辑结构,是普遍适用的推理论证模式,如分析法、综合法、归纳、演绎、抽象、概括、类比等。

2.3 高层次的数学思想方法。即全局型的思想方法,它们较多的带有思想、观点的属性,它们提示的是数学发展中及其普遍的想法,为数学的发展起着指引方向的作用,牵扯动着数学发展的全局,或为新学科的诞生起着推动作用。如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、符号化思想、公理化思想、互逆型思想等。各层次间的思想方法并没有明显的界限,故人们又常将其统称为数学思想方法。

3 数学分析中的数学思想方法

所谓数学分析中的数学思想方法,一方面指数学分析自身的论证、运算以及应用的手段;另一方面还包括数学分析中的概念、理论、方法产生及发展规律。基于前述的分析理解,数学分析的数学思想方法也可划分为三个层次。

3.1 低层次的思想方法。就是指数学分析的基本内容、解证题法。特征为操作性强,具体.如极限的计算法:利用两个重要极限、等价无穷小代换、两边夹法、单调有界法、导数法(用导数定义式、罗必达法则)、级数法等。再如在导数计算、偏导数的计算中,基本求导公式、复合函数、反函数、隐函数、参数方程的求导法则,积分计算中的基本公式、法则等属较低层次。

3.2 较高层次的数学思想方法 。是从数学分析的基本内容、基本理论、解证题方法出发,经过分析、归纳、概括而得到的具有普遍性的方法。

3.2.1 化归思想方法(换元法、变换是这一思想方法的体现),所谓化归就是把面临的问题化解,归结为一个或几个已解决的问题或简单易解的问题。人们解决问题时都自觉不自觉地用化归的思想方法。从更一般意义上讲,化归是一种具有广泛的普适性的深刻的,且是数学分析中一类重要的数学思想方法,中学到大学都在用,但知识面扩展了。在数学分析的学习过程中,随着知识内容的延伸,就有相应的化归方法。如计算极限时,有一类问题就是通过变换化归为“两个重要极限”而求得的。化归、变换的思想方法在数学分析中的具体表现形式是多种多样的。海涅定理实现了数列极限与函数极限理论方法上的转化;微分中值定理架起了函数与导数之间的桥梁;微积分基本定理(由牛顿、莱布尼兹最先给出证

明

)的微分形式:设函数f(x)在[a,b]连续,则积分上限函数φ(x)[a,b]的内点)可微,且φ′(x)=f(x)(a

3.2.2 构造性思想方法。这种方法在数学分析中也是一种比较重要的数学思想方法。常用的有:构造辅助函数法。(尤其在证明存在性问题时用此法,该法更具体的:数形结合法构造辅助函数,对题断的分析而构造辅助函数,由二元函数转化为一元函数而构造辅助函数等),构造点列、子列法、构造开覆盖法、构造反例法等等。如在求线、面积分时,常构造闭曲线、闭曲面,使之化归到能用格林公式、斯托克斯、奥高公式进行计算[7]P70-73。

3.2.3 估值思想方法。我们知道,极限(无穷小)思想方法是数学分析中最核心(全局性)也最基本的思想方法,它是研究直与曲、线性与非线性、静与动、有限与无限、近似与精确之间对立统一及相互转化规律的思想方法。该方法是以极限概念为基础,而极限概念是用不等式刻划的。这就决定了不等式的变形(估值)是整个分析学最基本最核心的数学运算。把这种研究变量的变化趋势、变化速度和变化范围的不等式变形的方法称之为估值法。数学分析中的估值法有:分段估计、小区间法、逐次累加法等,用它可将复杂的函数问题转化为简单的函数问题。

3.3 高层次的数学思想方法

3.3.1 公理化思想方法。这是现代数学中普遍使用的最基本的一种数学思想方法。它的实质是一种结构论的思想方法。在数分中实数的完备性理论中体现了公理化的数学思想方法。此方法对训练学生思维的条理性、清晰性、深刻性(思维品质)非常有效。

3.3.2 符号化思想方法。这是数学一贯就具有的特点之一,只不过现代数学,符号化意识更为强烈,它使数学尽量形式化符号化,使其更易于抽象统一。符号化思想方法不仅为现代数学的发展起了突飞猛进的作用,而且它的意义远远超出了数学本身,为信息化时代计算机事业的发展创造了条件。

3.3.3 互逆型思想方法。数学分析中的互逆思想方法主要包括概念上的互逆和运算上的互逆两种,概念上的互逆有收敛与发散、各种极限定义及其否定叙述、连续与间断等。在运算方面的互逆关系有导数(微分)与积分运算、级数收敛与函数级数展开等。学习任一数学概念、定理以及考虑各种数学问题时,不仅需要从正面理解,沿正向探索,而且还要从侧面(反面)理解,沿逆向探索,这样才能对数学概念、性质等数学知识有更深刻、更全面的理解。互逆型数学思想方法的应用非常广泛。例如利用导数的定义求极限、用泰勒公式、收敛极数的必要条件求极限;用定积分几何意义求定积分,积分问题的导数解法,用二重积分求解定积分问题等等。

数学知识和蕴含于知识体系中的思想方法是极为丰富的,尤其是隐含于知识背后的数学思想方法的教育价值更应引起我们的高度重视。这正如日本数学家、数学教育家米山国藏先生所指出:学生们在初中或高中所学到的知识,进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的数学,通常在走出校门后不到一二年就忘掉了,然而不管他们从事什么业务工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥作用(这是他多年数学教育研究、实践的感悟)。德国学者冯.劳厄也指出:“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西。”[8]P97-99数学教育的最终目的应该是数学思想方法在学生的头脑中的凝聚与积淀。提炼、概括、领悟、理解和运用数学思想方法,深化知识,形成技能,提高学生的数学综合素质才是我们共同努力的目标。

[1]马保国.数学思想方法与数学分析教学[J].中国大学教学,2006(5).

[2]朱学志.数学的历史、思想和方法[M].哈尔滨:哈尔滨出版社,1991.2

[3]张奠宙,过伯祥.数学方法论稿[M].上海:上海教育出版社,1996.3

[4]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉:华中工学院出版社,1988.

[5]傅 敏.数学思想方法及其教育价值[J].甘肃教育学院学报,1999(1).

[6]刘玉琏.等数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.7

[7]林六十.“高等数学”课堂教学规律探索[J].数学教育学报,1999(5).

[8]刘凯年.数学思想方法与高师学生数学素养的提高[J].数学教育学报,1998(3).

Interpreting the Mathematical Thinking Way of Math Analysis

Li Fuxing
(Mathematics Department HeZhou University,Hezhou Guangxi 542800)

Briefly analyse the connotation of the mathematical way of?thinking,and using the person education perspective combined with the mathematical analysis of?knowledge structure to analyse、conclude and generalize the three levels mathematical thinking way of mathematical analysis.

math analysis;mathematical method;mathematical way of thinking

O17

A

1673-8861(2010)03-0109-04

2010-04-09

李福兴(1953-),男,广西岑溪市人,贺州学院副教授。主要研究方向:函数论、数学教育 。

论文为贺州学院教改项目“数学与应用数学专业课程内容与体系整体优化的研究与实践”研究成果之一(项目编号:2009J GA04)。