两个Bernstein集和Luzin集

胡冠南

(四川大学数学学院,四川成都 610064)

两个Bernstein集和Luzin集

胡冠南

(四川大学数学学院,四川成都 610064)

存在Bernstein集B,B+B仍是一个Bernstein集;存在Bernstein集 B,B+B=R.类似地,存在Luzin集和Sierpinski集具有相应的性质.

Bernstein集;Luzin集;Sierpinski集

文章中的记号和定义可参照文献[1].R表示实直线.|A|表示集合A的势;ω=|自然数|;c =|R|;ω1是第一个不可数基数.P={P：P是R上的完备集}.若A,B为实数子集,A+B表示集合{a +b：a∈A,b∈B};AB表示集合{x：x∈A,且x∉B}.

定义1 称 P为R上的完备集,如果 P是R上的无孤立点的闭集.

定义2 B⊂R,称B为Bernstein集,如果对于R上的任意一个完备集 P,P∩B≠Ø,且 P⊄B.

引理1 |P|=c,且∀P∈P,|P|=c.

证明 每个非平凡的闭区间都是完备集,显然有|P|≥c,又由文献[2],|P|≤c,故|P|=c.由文献[2]或[3]知,|P|=c

引理2 B是Bernstein集,a∈R,则B∪{a}是Bernstein集.

证明 如果存在完备集 P,使得 P⊂B∪{a},即 P{a}⊂B,但由文献[3]知,P{a}包含一个完备集,即存在完备集 P⊂B,矛盾.

定理1 存在Bernstein集B,B+B是Bernstein集.

证明 首先,我们归纳地构造Bernstein集B～,使得,B～∪(B～+B～)是Bernstin集.

由引理1,可以将P用c编号,即P={Pλ：λ＜c}.P0任取不同的两点r0,s0∈P0,现在假设对于β＜α,已有 rβ,sβ,记{sη：η＜α}∪{sη：η＜α}∪{sη-rγ：η,γ＜α}为Aα,{rγ：γ≤α}∪{rγ+rη：η,γ≤α}为Bα,并按如下方式取rα,sα∈Pα：①取rα∈PαAα;②取sα∈PαBα.这个构造是可以进行的,这是因为,|Pα|=c(引理1),Aα|＜ c, |Bα|＜c.{rλ：λ＜c}就是我们要的B.

另外,B= B～∪{0},由引理3得到 B是Bernstein集,又因,B+B=∪(+)∪{0}.同样,由引理2得到B+B是Bernstein集.

证毕.

定理2 存在Bernstein集B,B+B=R.

证明 将实数和P用c编号,即R={rλ：λ＜c},P={Pλ：λ＜c}.先归纳构造Bernstein集,B= {sλ,tλ：λ＜c},使得,sλ+tλ=rλ.任取s0∈P0,令t0=r0-s0,然后再取 u0∈P0{s0,t0}.假设对于β＜α,已有 rβ,uβ,并按如下方式取sα,uα∈Pα：①取sα∈Pα{uβ,rα-uβ：β＜α};②令tα=rα-sα;③uα∈Pα{sβ,tβ：β≤α}.

同定理1,该构造是良定义的.显然,R=B+B.

下面证明B是Bernstein集.

首先,由①可知,∀λ,Pλ∩{sλ,tλ：λ≤c}≠Ø.其次,由 ③可知,∀λ,uλ∉{sα,tα：α≤λ},由 ①可知,uλ∉{sα,tα：α＞λ},即,{sλ,tλ：λ＜c}∩{uλ：λ＜c}= Ø,所以,有 ∀λ,Pλ⊄{sλ,tλ：λ＜c}.

证毕.

定义3 称 F是R上的无处稠密集,F的闭包的内部为空.称 M是 R上的第一纲集,如果 B =n∪∈ωAn,An是R上的无处稠密集.令NWD={F：F是 R上的无处稠密集}.

定义4 A⊂R,且|A|＞ω,称A是Luzin集(Sierpinski集),如果R上的任意的第一纲集(零测集)M,|M∩A|≤ω.

定理3 若连续统假设成立,则存在Luzin集A,A+A是Luzin集.

证明 类似于引理1,有|NWD|=c=ω1,把NWD用ω1编码,即,|NWD|={Fλ：λ＜ω1}.先归纳构造A={sλ：λ＜ω1},使得,A+A是Luzin集.任取 s0∈R,假设对于β ＜α,已得到 sβ.记R(({-sβ：β＜α}∪{sβ：β＜α})为 Gα,任取 sα∈Gα.由于 ∀α＜ω1,Gα是第一纲集,从而 ∀α＜ω1,RGα≠Ø,即构造是良定义的.

A是Luzin集.

首先,sα≠sβ当α≠β,所以,|A|=ω1.另外,又因为 ∀第一纲集M,∃α∈ω1,M;∀γ≥α,sγ,即,{sγ：γ≥α}= Ø,所以, |A∩M|≤|{sγ：γ＜α}|≤ω.

A+A也是Luzin集.

∀第一纲集M,∃α∈ω1,.∀θ≥α, sθ∈Gθ,所以,∀δ＜θ,sθ+sδ,故,(({sβ：β＜α}+{sβ：β≥α})∪{sδ+sθ：δ,θ≥α,δ≠θ})= Ø.

由于{sβ：β≥α}是A的不可数子集,所以,{sβ：β≥α}也是Luzin集,从而{2sδ：δ≥α}也是Luzin集,因此,|{2sδ：δ≥α}∩M|≤ω.

∀α,A+A=({sβ：β＜α}+{sβ：β＜α})∪ ({sβ：β＜α}+{sβ：β≥α})∪({sβ：β≥α}+{sβ：β≥α}).而,{sβ：β≥α}+{sβ：β≥α}={sδ+sθ：δ,θ≥α,δ≠θ}∪{2sδ：δ≥α},故,|(A+A)∩M|≤ω.

证毕.

定理4 若连续统假设成立,则存在Luzin集A,A+A=R.

证明 将R用ω1编码,即R={rα：α＜ω1}.归纳构造A={sβ,tβ：β＜ω1}.任取s0,t0∈R,使得,s0+t0=r0,对于 ∀α＜ω1,由文献[4]知,可取sα,tα∈R({sβ,tβ：β＜α},使得,sα+tα= rα.

证毕.

如果我们在上述定理的证明中把闭无处稠密集换为Borel零测集,同样的证明,我们可得到Sierpinski集的相应的结论.

[1]Thomas J.Set theory[M].New Y ork：Springer-Verlag,2002.

[2]OxtobyJ C.Measure and Category,Graduate text in mathematics [M].New Y ork：Springer-Verlag,1980.

[3]Kechris A S.Descriptive set theory,Graduate text in mathematics [M].New Y ork：Springer-Verlag,1995.

[4]Kunen K.Vaughan J E.Handbook of Set-theoretic Topology [M].Atlanta：Elsevier Science Publishers,1984.

[5]Miller A,Popvassilev S.Vitali Sets and Hamel bases that are Marczewski measurable[J].Fundamenta Mathematicae,2000, 166(1)：269-279.

[6]Kharazishvili A B.Nonmeasurable Sets and Functions,North-Holland Mathematics Studies[M].Atlanta：Elsevier Science Publishers,2004.

Two Bernstein Sets and Luzin Sets

HU Guannan

(School of Mathematics,Sichuan University,Chengdu,610064,China)

There is a Bernstein set such that B+B is a Bernstein set and there is a Bernstein set such that B+B=R.Similarly,there are Luzin sets and Sierpinski sets with such property.

Bernstein set;Luzin set;Sierpinski sets

O144.1

：A

1004-5422(2010)02-0118-02

2010-03-25.

胡冠南(1980—),男,硕士研究生,从事拓扑学研究.