再 议 小 船 过 河

蔡 梅

(湖北省十堰市郧阳中学,湖北十堰 442000)

在教学运动的合成和分解时,都会讲到关于一只小船渡河的问题.后又引申到两只小船渡河时的相遇问题,学生感到很棘手.下面就此问题结合例题作一探讨.

例.甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为H,河水流速为 u,划船速度均为 v,出发时两船相距甲乙船头均与岸边成 α=60°角,且乙船恰好能垂直到达对岸的A点,如图1,则两船能否相遇?在哪儿相遇?

图1

解析:甲乙两船相遇的条件是在沿河岸方向甲乙两船位移之差等于.设经时间 t相遇,对甲船有又乙船恰好能垂直到达对岸,即vcos60°=u,解得.甲船沿垂直河岸方向上的位移为 h=vtsin60°=H,故甲乙两船在A点相遇.

下面不妨再讨论几个问题:

1.若两船在静水中渡河,经计算易得出相遇点在对岸O点.即甲乙两船在对岸O点相遇.

2.若河水流速 u变大,使乙船到对岸 B点,则乙船渡河时间乙船在沿河岸方向的位移为 s乙=(u-vcos60°)t1.在 t1时间内,甲船沿垂直河岸方向上的位移 h'=vt1sin60°=H,即甲船到了对岸.甲船在沿河岸方向的位移 s甲=(u+vcos60°)t1,解得即甲船也到了对岸的B点.故甲乙两船在B点相遇.

综上所述,O、A、B三点均在对岸(如图 1).O点为两船在静水中渡河的相遇点.A点为水速u=vcosα的流水中渡河的相遇点.B点为水速u＞vcosα的流水中渡河的相遇点.可见,河水流速越大,相遇点越向河的下游移动.

3.在上题中,若甲乙船头均与岸边成 β=45°角,则两船能否相遇?又在哪儿相遇?

解析:分两种情况分析,如图 2.

(1)若船在静水中渡河,两船必能相遇.

(2)若乙船到对岸C点,假设经时间 t2两船相遇,由即(u+vcos45°)t2-(u-vcos45°)t2=解得两船相遇点b距河岸h2=vt2sin45°则h1=h2.

由以上计算可知,a、b两点在平行于河岸方向的一条直线上(如图2),河水流速越大,相遇点越向河的下游移动.

4.若河水流速为 u,出发时两船相距 L.甲划船速度为v1,船头与岸边成α角;乙划船速度为 v2,船头与岸边成β角(如图3).则两船能否相遇?在哪儿相遇?

图2

图3

解析:分两种情况分析.

(1)若两船在静水中能相遇,则(v1cosα+v2cosβ)t=L,此时两船相遇点 d距河岸h=v2tsinβ=v1tsinα.

(2)若两船在流速为u的河水中渡河,相遇时(v1cosα+u)t'-(u-v2cosβ)t'=L,可见 t=t',相遇点 e距河岸 h'=v2t'sinβ=v1t'sinα.故 h=h',即相遇点 d、e在平行于河岸方向的一条直线上(如图3),河水流速越大,相遇点越向河的下游移动.

综合上述几种情况,不难发现两船渡河时的相遇问题是有规律可循的:在静水中渡河两船若能相遇,那么在流水中渡河两船一定能相遇,且两种情况的相遇点所在的直线平行于河岸,河水流速越大,相遇点越向河的下游移动.