涉及一个微分多项式分担值的正规定则

鲍文竹, 张兆迎

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

1 引言和主要结果

设F为复平面一区域D上的一族亚纯函数.如果F中任取一函数序列{fn(z)}均可选出一个子列{fnk(z)}在区域D上按球距内闭一致收敛于一亚纯函数或者∞,则称F在区域D上正规.

设f和g为定义在区域D上的两个亚纯函数,a为一复数,若 f(z)-a和g(z)-a有相同的零点,则称f(z)与g(z)在区域D内分担a,或称IM分担a.

把亚纯函数正规族与分担值结合起来考虑是亚纯函数族理论研究的一个重要课题,这方面的工作由W.Schwick[1]开始研究.近年来涉及导数的正规族理论取得了不少成果.Y.Wang和M.Fang于1998年证明了：

定理A[2]设f为复平面上的超越亚纯函数,k,n≥k+1为正整数,则(fn)(k)取任何非零有限复数无穷多次.

W.Schick证明了与定理A相关的正规定则.

定理B[3]设F为区域D上的亚纯函数族,k,n≥k+1为正整数,若对任意 f∈F有(fn)(k)≠1,则F在区域D上正规.

应用Zalcman引理,容易证明定理B中的条件n≥k+3改为n≥k+1时结论也是成立的.最近Yuntong Li和Yongxing Gu又进一步推广了W.Schick的结论.

定理C[4]设F为区域D上的一族亚纯函数,,k,n≥k+2为正整数,a≠0为有穷复数,对任意的f,g∈F,(fn)(k)和(gn)(k)分担a,则F在区域 D上正规.

由于(fn)(k)与(gn)(k)是L(fn)与 L(gn)的特殊情形,很自然地考虑L(fn)与 L(gn)分担a时F正规性的问题,其中 L(fn)=a0(fn)(k)+a1(fn)(k-1)+,…,+ak(fn),a0≠0,a1,…,ak为复数.

我们推广了定理C得到了下述结果.

定理1 设F为区域D上的一族亚纯函数,k,n≥k+2为正整数,a≠0为有穷复数,对任意的 f,g∈F,L(fn),L(gn)在D上IM分担a,则F在区域D上正规.

在文献[4]中已经给出a≠0以及n≥k+2这两个条件必要性的例子.

2 主要引理

对于研究正规族问题,通常用的是Zalcman引理

引理1[5,6]设D为复平面上一个区域,F为区域D上的一个亚纯函数族,-1＜α＜1.若F在D上不正规,则存在

(1)点列 zn∈D,|zn|＜r＜1;

(2)函数列 fn∈F;

(3)正数列 ρn→0+,

引理2 设f为非常数亚纯函数,k,n≥k+2为正整数,a≠0为有穷复数,则(fn)(k)-a至少有两个不同的零点.

当f为超越亚纯函数时,引理2为定理A;当 f为非常数有理函数时,引理2文献为[4]中引理2.

3 定理1的证明

假设F在内D内不正规,则F至少在一点z0处不正规.不失一般性,设z0=0,D为单位圆盘Δ.由引理1,存在

(1)点列 zn∈D,|zn|＜r＜1;

(2)函数列 fj∈F;

(3)正数列 ρj→0+,

从上式有

在复平面的除去g(ζ)的极点的紧集上一致成立故

从而

不妨设 ζ0和 ζ0*为的两个不同的零点,选取 δ(＞0)使得.这里

故对任意l∈N有

由非常数亚纯函数零点的孤立性

故

定理1证毕.

[1]W Schwick.Sharing values and normality[J].Arch Math.,1992,59：50-54.

[2]Y F Wang,M L Fang.Picard values and normal families of meromorphic functions with multiple zeros[J].Acta Math.Sinica(in Chinese),1998,41：743-748.

[3]W Schwick.Normality criteria for families of meromorphic function[J].J.Anal.Math.,1989,52：241-289.

[4]Y F Li,Y X Gu.On normal familes of meromorphic function[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,354：421-425.

[5]L Zalcman.Normal families：New perspectives[J].Bull.Amer.Math.Soc.,1998,35 ：215-230.

[6]X C Pang.Normality conditions for differential polynomials[J].Kexue Tongbao,1988,33：1690-1693.