含参题型与高考走势

● (武岭中学 浙江奉化 315502) ● (奉化中学 浙江奉化 315500)

1 高考展望

1.1 考点回顾

含参数问题历来是各地高考的必考内容，在选择题、填空题和解答题上均有广泛分布.这类题型涉及的知识点多，综合性强，难度大，要求高，常和函数、方程、数列、不等式、导数、圆锥曲线等内容有机结合.与传统的不含参数问题相比，含参问题无论是对问题的理解、研究和分析，还是解题的方法和思路，都有更高的要求，考生往往感到比较困难，而参数问题的广泛性、抽象性和灵活性也决定了其作为高考常客的必然性.

从浙江省近3年的高考试题来看，含参问题一般为1～2道客观题和1～2道主观题，约占全卷分值的20%，且理科难度明显高于文科.在其分值比例大体稳定的前提下，含参问题在试卷中的位置相对靠后，显示了近几年高考对这方面的要求较高.

1.2 命题走势

随着新课程改革的逐步深入，根据《考试大纲》对数学基础知识的考查“既要全面又要突出重点，并注重学科的内在联系和知识的综合性”及对创新意识的考查“构造有一定深度和广度的数学问题，注重问题的多样性和思维的发散性”的要求，对含参问题的考查重点将突出“用变量和函数的观点来思考和解决相关问题”.在解决这类问题时，需从分析问题的结构入手，找到其主要特征，抓住某一关键参变量，选取变元进行替换，或者通过寻找问题中已知量和参变量之间的数量关系，构造函数关系式，从而使问题获得解决.此外，《考试大纲》所要求重点掌握的函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等重要数学思想和一些常规的解题方法也会通过对含参题型的考查而得到充分体现.

2 典例剖析

2.1 函数中的含参问题

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.

①写出g(a)的表达式；

②求a的取值范围，使得-6≤g(a)≤-2.

(2008年浙江省数学高考试题)

分析本题主要考查函数的单调性、导数的应用、分段函数的表示方法等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.

解(1)由题意得函数的定义域为[0,+∞)，则

若a≤0，则f′(x)>0，f(x)有单调递增区间[0,+∞)．

(2)①若a≤0，因为f(x)在[0,2]上单调递增，所以

g(a)=f(0)=0．

若a≥6，f(x)在[0,2]上单调递减，则

点评根据参数的不同取值，结合分类讨论思想，确定函数的单调性和取值，是高考的一种常见题型.在解题时,要认真分析参数变化与结论的因果关系，注意特殊情形，提高解题速度，简化解题过程，避免或减少失误.

2.2 方程中的含参问题

例2已知以T=4为周期的函数f(x)，当x∈(-1,3]时，

其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解，则m的取值范围为

( )

(2009年重庆市数学高考试题)

答案B.

分析本题以一个分段函数为载体来判断方程解的问题，考查的知识点包括：函数周期性，含绝对值函数图像的画法，以及圆锥曲线的性质、图像.

图1

(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0.

令Δ>0,解得

点评在解决这类交点或实数根个数问题时，可根据方程的解与相应函数的图像和轴交点之间的关系，以及函数零点与方程根之间的关系，利用数形结合的思想，将问题有效转化.本题的难点是周期性对半椭圆位置的影响，求参数的范围时也可以通过变量分离方法转化为求函数的值域问题，但求解过程相对较为困难.

2.3 不等式中的含参问题

(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立，求实数x的取值范围.

(2008年安徽省数学高考试题)

分析本题主要考查函数的极值和不等式的恒成立问题，难点在于对含参数不等式的恒成立含义的准确解读.

解(1)f′(x)=ax2-3x+(a+1).由于函数f(x)在x=1处取得极值，因此f′(1)=0,即

a-3+a+1=0,

解得a=1.

(2)由题设知

ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1

对任意a∈(0,+∞)都成立，即

a(x2+2)-x2-2x>0

解得

-2≤x≤0,

故x的取值范围是-2≤x≤0.

点评含参数的不等式恒成立问题是近几年高考的热点，往往具有一定的综合性.解决这类问题经常运用如下的等价转化数学思想：若函数f(x)的定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立⟺f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立⟺f(x)max≤M.因而，含参数不等式的恒成立问题可根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数函数的最值问题加以解决.

另外，本题还可以a为主元，构造函数g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),则对任意x∈R，函数g(a)单调递增(a∈R)，因此对任意a∈(0,+∞)，使g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，即-x2-2x≥0，于是x的取值范围是-2≤x≤0.像这样，以某一参变量为主元，而将其余的参变量看作常量，是解决含参问题行之有效的一种方法.

2.4 线性规划中的含参问题

(2008年浙江省数学高考试题)

分析若由ax+by≤1恒成立得

1≥ax+by=zmax，

于是

再用线性规划知识求解，则显得十分繁难.如果通过消元选择某个未知数为主元，再根据条件确定参数范围，那么可使问题顺利获解.

解由x+y≤1得到y≤1-x，则

ax+b(1-x)≤1

对x∈[0,1]恒成立，即

(a-b)x+b-1≤0

对x∈[0,1]恒成立.令f(x)=(a-b)x+b-1，则

解得

0≤a≤1,0≤b≤1.

所以点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1.

点评本题主要考查线性规划中的平面区域问题，其难点是含双参数的一次不等式恒成立的几何意义.解题的关键是通过多元化归、分离主元等方法确定参数a,b的取值范围.

本题也可利用如下特殊与一般的思想求解：由ax+by≤1恒成立,知当x=0时，by≤1恒成立，从而

所以

0≤b≤1，

同理可得0≤a≤1.故以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1.

2.5 导数中的含参问题

例5设函数f(x)=xekx(k≠0).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.

(2009年北京市数学高考试题)

分析本题主要考查利用导数求曲线的切线方程、研究函数的单调性等基础知识，以及分类讨论和综合分析、解决问题的能力．

解(1)f′(x)=(1+kx)ekx,则

f′(0)=1,f(0)=0,

曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.

(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0，得

综上所述，函数f(x)在(-1,1)内单调递增时，k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].

点评导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，也为中学数学问题的研究提供了新的视角和方法，拓宽了高考的命题空间.在导数中引入参数，结合函数性质对参数进行分类讨论，是近几年高考的热点之一.

2.6 圆锥曲线中的含参问题

图2

(1)求椭圆C的方程.

(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

①求证：点M恒在椭圆C上；

②求△AMN面积的最大值.

(2008年福建省数学高考试题)

分析本题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力.

解(1)由题设得a=2,c=1,从而

b2=a2-c2=3,

(2)①由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),从而

AF与BN的方程分别为

n(x-1)-(m-1)y=0;

n(x-4)+(m-4)y=0.

设M(x0,y0),则

(1)

(2)

由式(1)，式(2)得

所以点M恒在椭圆C上.

(3t2+4)y2+6ty-9=0.

设A(x1,y1),M(x2，y2)，则

令3t2+4=λ(λ≥4)，则

因为λ≥4，得

点评本题看似不含参数，但在点的坐标、直线方程和求函数的最值时引入适当的参数，从而得到关于参数的方程或不等式，这是解析几何的重要内容，体现了引参求变、变中求定的思维策略.

另外，本题第(2)①小题也可通过如下的“交轨法”来求：由直线AF与BN的方程可得

这种利用曲线和方程对应关系直接消参的技巧值得仔细品味.