上海气温变化过程遍历特征分析

王红瑞，冯启磊，林 欣，曾文艺

上海气温变化过程遍历特征分析

王红瑞1，冯启磊2，林 欣3，曾文艺4

(1. 北京师范大学水科学研究院水沙科学教育部重点实验室，北京 100875；2. 北京教育学院数理学院，北京100011；3. 北京师范大学数学科学学院，北京 100875；4. 北京师范大学信息科学与技术学院，北京 100875)

利用有限长度的气温序列变化资料估计其无限长时序的气温过程的统计特征，对于中长期气象预报以及全球的气候变化都是十分有意义的基础工作，所以对气温过程开展遍历性(各态历经性)分析是一个值得探索的课题．为此，基于模糊粗糙聚类(fuzzy-rough C-means clustering method，FRCM)、自相关趋势图、ADF(advanced Dickey and Fuller)检验以及模糊最小二乘回归提出一种具有普适性特点的遍历性分析方法，并以上海1873—1997年的气温序列为例，进行了具体的计算和分析．结果表明：上海7月份、8月份的最高气温和最低气温变化是均值遍历和协方差遍历的，因此其气温变化过程具有遍历特征．从长时间尺度来看，上海7月份、8月份最高气温和最低气温总体上不会长期呈上升趋势，它们的变化会围绕其均值波动．最后，对上述结论做了印证性分析，对上海气温变化过程进行了挖掘性分析，从遍历性的角度佐证了前人的一些研究成果．

上海气温；遍历性；模糊粗糙聚类；平稳性检验；模糊最小二乘回归

20世纪的全球变暖趋势被认为在21世纪还将持续，由此引发的气候和环境变化关系到人类未来的生存环境，对经济发展和社会进步各方面都具有潜在的重大影响，已成为社会和经济发展中最为关键的问题[1]．极端气候事件增多，已经引起了联合国政府间气候变化专门委员会(intergovernmental panel on climate change，IPCC)的关注．人们希望能够发现极端气温和平均气温蕴含的气温演变规律和相互关系．但是，无论是极端气温还是平均气温的产生都具有随机性，即气温随时间的变化过程是一个随机过程．为了满足生产生活的需要，又需要能够预测它们，于是，常常采用时间序列的方法对它们进行预报[2]．那么，对于一个随机过程，首先需确定它的统计特性，一般说来这需要知道其有限维分布，但这在实际问题中是十分困难的．因此，希望从一次试验所获得的一个样本函数来决定该过程的统计特征.对于平稳过程，只要满足一定的条件，其统计平均(均值等)就可以用此样本函数在整个时间轴上的平均来代替．如果过程满足了这一性质，则这个过程就具有了遍历性，或称为各态经历性[3]，它是研究许多时序问题的假设基础．通常，时间序列中的遍历性指的是平稳过程遍历性，解决随机过程在时间上取平均与在空间上取平均是否相等．对于遍历性应用研究，很多学者认为是很有意义并且是必不可少的[4-8]．

目前，国内外众多以时间序列遍历性为主要研究对象的文献大多局限在理论领域[9-11]．作为应用时间序列基础的遍历性性质，文献[12]用指数权马尔可夫链探索梅雨强度的预测问题，得出梅雨强度状态有遍历性的结果；文献[13-14]对水文过程的遍历性做了专题研究；文献[15]中涉及的遍历则是指优化算法方面，不同于本文研究的时序遍历．其他应用型文章则大多将之作为假定成立条件，例如在水文资源[16]、流体以及噪声研究领域[17-18]等，并以此为基础研究时间序列的统计特征．另外，有个别经济类文章[19]在提及其研究(如股票序列)时序不满足遍历性性质时，对其的检验仅以描述的形式给出，没有模型与方法的支持．对气温过程变化的遍历性研究则鲜见报道，而这又是研究全球气候变化的基础性工作．

本文在模糊粗糙聚类(fuzzy-rough C-means clustering method，FRCM)的基础上，利用ADF(advanced Dickey and Fuller)的平稳性检验和模糊最小二乘回归(fuzzy least square regression，FLSR)提出一种具有普适性特点的遍历性分析方法，并以上海地区1873—1997年的气温序列为例，分析其最高气温、最低气温和平均气温的变化规律以及这些气温的遍历性特征．

1 遍历性定义

遍历性(各态历经性)理论中说明，若随机过程(或序列)的均值和协方差函数都有遍历性，则称此随机过程有遍历性．

1.1均值遍历定义

设{ξ(t);t=1,2,…}是一随机序列，考虑样本均值序列{MT,T=1,2,…}，令

1.2协方差遍历定义

采用均值遍历定义与符号，令

2 气温时间序列的遍历性分析

2.1上海气候基本特征

上海市地处我国中纬地带，濒江临海，属亚热带海洋性季风气候，多年平均气温15.45 ℃，自1873年以来就有气象纪录，是我国温度观测资料最为完整的地区．在全球气候呈明显变暖趋势的背景下，上海的气候变化日益引起社会各界的关注，尤其是近些年来异常的市区高温灾害性天气频繁出现，有必要针对上海百余年气候变化特征、趋势以及揭示极端气温的变化规律做一些工作，以对此有更深入的研究和认识．

本文以上海1873—1997年的日气温为初始样本数据(测温站的经度为121.26°(E)，纬度为28° (N))，分别选取了各月的最高气温、最低气温和平均气温作为上海历年气温变化的主要研究对象，来考察上海气温的变化规律．然而，每类气温受到季节和其他因素的影响，或表现一定的周期性质，或序列振幅较大，使得在此种分类下的气温不具有平稳性[20-21]．为了验证这一点，首先采用自相关图的方法判断3类气温过程的平稳性，如图1所示．

图1 上海3类气温变化自相关函数Fig.1 Autocorrelograms of three types of temperature in Shanghai

由图1可知，3类气温变化的自相关函数以12个月为周期，即3类气温变化过程是不平稳的，则更不具备遍历特征；因此，考虑气温变化的分类处理，即将性质更为接近的月份归为一类，继而考察其平稳性和遍历特征．

2.2模糊粗糙聚类分析

粗糙集(rough set)理论是1982年波兰数学家Pawlak[22]提出的一种研究不确定数据、不精确知识表达和学习归纳的一种方法，它是处理不确定性信息的又一个有力工具．

基于历年各个月份气温数据模糊性，采用模糊粗糙聚类(FRCM)分析数据．无论是模糊聚类(fuzzy C-means clustering method，FCM)[23]还是粗糙聚类(rough C-means clustering method，RCM)[22,24-25]，对初始类中心都比较敏感．为了降低聚类结果对初始类中心的依赖，得到更稳定的分类结果，先对数据进行模糊聚类，得到类中心，然后再进行粗糙聚类．

在此把历年12个月的平均气温、最高气温和最低气温分别作为聚类对象，用FRCM对它们分别聚类，其基本步骤设计如下所述.

(1)利用Matlab中FCM算法对气温数据进行聚类，得到c个类及其类中心νi(i=1,2,…,c)(用i,分别表示νi对应的聚类族的上下近似)．

(2)设xk为任一月份(k=1,2,…,12)，dik=d(xkνi)=xk-νi表示第k个月到第i个聚类中心的距离，xk到类中心νi(i=1,2,…,c)的最短距离记为dk==．

(3)若对任何的dik,i=1,2,…,c(i≠i1)，若dik-dk＞ε,i =1,2,…,c；ε 为阈值，则有xk∈；若存在djk，使djk-dk≤ε,i=1,2,…,c ，则有xk∈UBj，xk∈UBi1

，而且kx不在任何聚类族的下近似中．

(4)重复步骤(2)和步骤(3)，直到所有的月份划分完毕．

为提高市政公用工程监理工作的质量，在监理工作中需要考虑多重影响因素。在实际监管中可采取多种积极有效的方式确保监理工作的正常进行，并认真分析监理工作中存在的不足，然后采取针对性的策略加以改进，最终让工程建设高质量竣工。

RCM的聚类中心调整公式可以表示[26]为

式中wlow、wup和ε为权值. 权值是由经验预先设定，然后再由试验逐步调整确定，一般取0.5＜wlow＜1．

上海12个月的月最高气温聚类(A)、月最低气温聚类(B)和月平均气温聚类(C)结果见表1．

表1 上海3类气温的聚类结果Tab.1 Clustering results of the three kinds of temperature in Shanghai

由表1可知，3类气温均被划分为冬季型气温(Ⅰ型)、春秋季型气温(Ⅱ型)、气候更替期(本文特指日温差较大的春夏和夏秋更替期)型气温(Ⅲ型)以及夏季型气温(Ⅳ型)4类．

2.3平稳性分析

2.3.1 平稳性自相关函数图分析

类似2.1节中的自相关函数图分析，对上述3类气温的4种类型进行平稳性分析，观察分类后的序列是否具有平稳性．经过自相关函数图的检验，结果有3个类不存在周期性质；随着自相关阶数的增大，序列的自相关系数越来越小，可初步判断这3个时间序列是平稳序列，如图2所示．

图2 不存在周期性的3类月份自相关函数Fig.2 Autocorrelograms without periodicity of three types of months

2.3.2 平稳性严格分析——ADF检验

对于某一时间序列xt,t=1,2,…,n ，ADF检验是检验时序平稳性的一种十分有效的方法[25-26]．因此，应用ADF检验AⅠ型(1月，2月)、AⅣ型(7月，8月)和BⅣ型(7月，8月)序列，通过计算可知，在显著性水平1%下，3个序列都具有平稳性[27-28]． T→∞时，D(MT)是否趋于0．图3和图4分别是3类平稳序列的MT、D(MT)随T变化的曲线．

由图4可以看出，由于样本量的有限性，所以D(MT)的变化趋势尚不能够完全确定，需对D(MT)拟合并进行预测．由于气温观测数据在获取过程中存在不确定性，在此，可认为精确值和观测值之间的误差是由系统的模糊性引起的，所以采用模糊最小二乘回归模型[29]预测D(MT)的变化趋势．

预测的步骤设计如下：①将原始数据进行模糊化，用三角模糊数表示其隶属函数；②建立模糊非线性最小二乘回归模型，得到关于D(MT)的回归曲线；③对D(MT)回归曲线去模糊化，得到D(MT)的预测曲线．

预测结果如图5所示．

2.4遍历性分析

在平稳性的基础上，根据遍历性的定义，序列遍历性的研究可分为两个部分——均值遍历性分析和协方差遍历性分析．应在序列均值遍历性分析的基础上，研究其协方差遍历性，从而推出其是否具有过程遍历性特征．

2.4.1 均值遍历性分析

利用均值遍历性定义中的计算式(1)和式(2)，计算上述分类后的平稳序列的MT和D(MT)值，并预测

图3 3类月份的MT变化曲线Fig.3 Graphs of MTof three types of months

图4 3类月份D(MT)的变化曲线Fig.4 Graphs of D(MT)of three types of months

图5 3类月份序列D(MT)预测曲线Fig.5 Forecast of D(MT) for three types of month series

由图5可知，AⅣ型月份(7月，8月)和BⅣ型月份(7月，8月)的D(MT)随时间推移趋向于0，即7月份和8月份最高气温与最低气温具有均值遍历特征；而AⅠ型月份(1月，2月)的D(MT)随时间推移未趋向于0，即冬季型最高气温不具有均值遍历性．

2.4.2 协方差遍历性分析

对有均值遍历的AⅣ型月份(7月，8月)和BⅣ型月份(7月，8月)的气温，继续考察它们的协方差遍历性．与均值遍历性的研究步骤类似，RT的趋势图和D(RT)预测结果如图6所示．

由此可知，具有较平稳的均值序列MT(见图3(b)和图3(c))，也具有较平稳的协方差RT序列(图6)，但不能做一般意义上的推广，因为并没有理论保证均值序列和协方差序列具有同样的平稳性，二者反映了原序列不同的属性，不能相互等价．

图6 2类月份RT曲线及D(RT)预测曲线Fig.6 Graphs of RTand forecast of D(RT) for two types of months

由图6可知，AⅣ型月份(7月，8月)的D(RT)和BⅣ型月份(7月，8月)都随着T→∞趋向于0，这说明上海7月份和8月份最高气温和最低气温都是协方差遍历的，因此其气温变化过程具有遍历特征．图7显示出上海夏季最高气温和最低气温的年变化大体呈上升趋势，虽然近些年来也时有高温等灾害性天气出现，但上海夏季气候总体还是逐渐趋于温和[30-31]，上述研究也表明从长时间尺度来看，它们的变化会围绕其均值波动，不会长期持续上升．

图7 上海历年7月份和8月份极端气温变化及趋势Fig.7 Variation and changing trend of extreme temperature in July and August of Shanghai in past years

上海气温遍历性分析计算流程如图8所示.

图8 上海气温遍历特征计算流程Fig.8 Flow chart of ergodic analysis of temperature in Shanghai

3 印证性分析

随机变量分布愈是集中，其规律性愈是明显；反之，则较差．现利用标准差C[5](衡量随机变量离散程度的一个重要指标)作印证讨论(C=s/×100%，s为样本标准差，x为样本均值)．上海各类气温分类后样本标准差的计算结果如表2所示．

由表2可以看出，总体而言，有平稳性的月份类型较无平稳性的月份类型有较小的标准差．由此说明，标准差较小的各类月份更可能具有平稳性，即具有更好的规律性，这与笔者的预测结果吻合．同时也发现，CⅠ型虽也具有较小的标准差，可是它不平稳，更不具有遍历性，由此反映了气温标准差所体现的序列规律性并不能完全涵盖遍历性所反映的规律．因此，基于标准差讨论的均值遍历性研究是对气温序列规律更深刻的挖掘．

表2 上海3类气温的标准差Tab.2 Standard deviation of the three kinds of temperature in Shanghai

4 挖掘分析

虽然经过FRCM分析，许多类型的月份不具有平稳性，但是依然可以利用遍历性定义获得每一类型月份的均值序列TM随T的变化情况，以挖掘上海气温变化的其他信息．

图9～图11为上海月最高气温、最低气温各类月份MT随T的变化曲线．可以看出，在20世纪30年代左右和80年代左右，上海各类气温均值序列TM曲线出现拐点，这两个时期恰恰是上海气候出现明显增暖的2个时期，这与文献[30]的结论不谋而合．自这两个时期开始，上海各类月最低气温、平均气温都有相对明显的上升趋势出现，这从MT遍历性佐证了文献[32]的研究成果.

图9 上海月最高气温(A)4类月份的MT变化曲线Fig.9 Graphs of MTof monthly highest temperature(A) of four types of months

图10 上海月最低气温(B)4类月份的MT变化的曲线Fig.10 Graphs of MTof monthly lowest temperature(B) of four types of months

图11 上海月平均气温(C)4类月份的MT变化的曲线Fig.11 Graphs of MTof monthly mean temperature(C) of four types of months

5 结 语

本文基于上海125年(1873—1997年)的月最低气温、月最高气温及月平均气温3个序列的基本分析，建立了研究气温遍历性的模型：①用模糊粗糙聚类的方法分别细化3类气温数据；②通过自相关函数图排除了非平稳气温类型；③计算平稳序列MT和D(MT)值，通过ADF的平稳性检验剔除不平稳的序列；④利用模糊最小二乘回归预测平稳序列的D(MT)的变化趋势，得到具有均值遍历性的序列；⑤计算具有遍历性的序列的RT和D(RT)，利用模糊最小二乘回归预测它们的变化趋势，考察其是否具有过程遍历性．展开了印证性讨论和进一步的挖掘分析，佐证了前人的一些研究成果．研究结果表明，上海7月、8月份最高气温(AⅣ型)和最低气温(BⅣ型)均具有过程遍历性，说明上海的夏季极端气温时序变化具有一定的规律性和稳定性．上海的夏季极端气温，目前虽然呈上升趋势，但从长时间尺度来看，它们的变化会围绕其均值波动，不会持续上升．

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Ergodicity Analysis of Air Temperature Variation Process of Shanghai

WANG Hong-rui1，FENG Qi-lei2，LIN Xin3，ZENG Wen-yi4
(1. Key Laboratory for Water and Sediment Sciences of Ministry of Education，College of Water Science，Beijing Normal University，Beijing 100875，China； 2. School of Science， Beijing Institute of Education，Beijing100011，China；3. School of Mathematical Sciences，Beijing Normal University，Beijing 100875，China；4. College of Information Science and Technology，Beijing Normal University，Beijing 100875，China)

Estimation of statistic properties of infinite air temperature processwith finite temperature materials is significant and fundamental to mid-term and long term climate forecast and global climate change studies. Therefore，ergodicity analysis of air temperature is an important research topic. In this paper，a commonly applicable ergodic property analysis model based on fuzzy-rough C-means clustering method (FRCM)，autocorrelogram，advanced Dickey and Fuller(ADF) and fuzzy least square regression (FLSR) has been proposed. The air temperature time series (1873—1997) from Shanghai hydrology station has been calculated and analyzed according to the proposed model. Results show that month-highest and month-lowest air temperatures in July and August have not only mean ergodic properties but also covariance ergodic properties. Thus the air temperature variation process is ergodic. In the long run，month-highest and month-lowest air temperatures in July and August will not keep on rising. Instead，they will fluctuate around the mean value. In the last section，the above conclusion has been confirmed by further analysis and temperature variations in Shanghai are further discussed，which corroborates some previous studies from the point of ergodicity.

air temperature of Shanghai；ergodicity；fuzzy-rough C-means clustering method(FRCM)；stationary test；fuzzy least square regression(FLSR)

P423

A

0493-2137(2010)01-0055-09

2009-04-10；

2009-09-24.

国家科技支撑计划资助项目(2006BAB04A08).

王红瑞（1963— ），男，博士，副教授.

王红瑞，henrywang@bnu.edu.cn.