槽道流转捩中发卡涡演化与波增长的关系

王新军，罗纪生

(天津大学机械工程学院，天津 300072)

槽道流转捩中发卡涡演化与波增长的关系

王新军，罗纪生

(天津大学机械工程学院，天津 300072)

通过对槽道流常规转捩的直接数值模拟，研究了转捩突变前后，发卡涡的演化与T-S波增长的对应关系，重点对占流场绝大多数、转捩前期增长缓慢的T-S波的急速增长在发卡涡演化中所处的阶段进行了分析．研究发现，在发卡涡头部形成阶段，流场中典型的未增长起来的波一直保持着缓慢的增长趋势；当发卡涡头部产生分离时，这些波的实际增长率开始爆发式增加，并在短时间内呈数量级增长，急速增长的过程一直延续到发卡涡头部混乱之后．

T-S波；发卡涡；尖峰结构；增长率；突变

近年来对转捩的研究更加深入．Kleiser等[1]对不可压缩平板边界层转捩进行了直接数值模拟，并对有关研究进行了较全面论述；Mack、Stetson、Bountin等[2-4]分别从理论、实验等不同角度对可压缩流的转捩以及不稳定模态进行了研究分析．对转捩的传统看法是，转捩开始于扰动的放大，由于非线性作用，随着扰动的增长，产生高次谐波，流动变得越来越复杂，最终导致湍流．虽然直接数值模拟可以较全面地展示转捩的各阶段的演化过程，但是前面的结果并没有对转捩突变发生的深层原因进行探讨．

最近，Wang等[5]对转捩中突变过程的机理研究从理论上解释了层流-湍流转捩的突变的内在机理．研究发现，在突变过程中，谐波尤其是高次谐波有一个急速增长的过程．各阶谐波急速增长是层流-湍流转捩突变发生的关键，而平均流剖面稳定性的改变是造成这一现象的根源．这一研究结果从理论上揭示了转捩的关键过程，为深入理解转捩这一复杂物理过程奠定了基础．文献[6-10]对不同情况转捩的研究都揭示了这一机理．根据以上研究，王新军等[11]对转捩中T-S的演化进行了研究，发现在转捩突变前，大多数已经增长起来的波停止了增长或者显著改变了原来快速增长的趋势；转捩突变过程中增长迅速的是此前未增长起来的波，从数量上看这些波远多于已经增长起来的波，这些波既包括高频波也包括不受初始不稳定波影响的低频波；最后，对未增长起来的波迅速增长的原因进行了分析．

三维扰动的产生、发展和演化在边界层的转捩中具有重要的意义．转捩初期快速增长的三维扰动逐渐形成Λ涡，Λ涡出现后其自诱导作用使得涡的强度不断增大，Λ涡头部逐渐合拢，两条涡腿向壁面靠近，头部向高速流区域延伸，形成发卡涡．发卡涡在自诱导及拉伸的作用下，靠近头部的涡腿不断靠近使头部产生分离，并伴随着尖峰结构的出现，有时产生环状涡．Klebanoff等[12]利用热线测量法首次在人工激发的转捩边界层中观测到转捩后期出现高频尖峰现象．Kachanov[13]对这一问题进行了深入研究．尖峰结构出现后流动开始紊乱，但是其物理机理并不清楚．Lian等[14]的实验证明尖峰结构是由发卡涡演化生成的环状涡的诱导，但是实验中并未直接观察到流动不稳定引起的发卡涡．郭辉等[15]通过实验证明尖峰结构是环状涡对其中心局部诱导引起的负向速度脉动，证明了Kachanov[13]对尖峰结构生成机制的推测．

流场中的三维结构是谱空间中各阶谐波的叠加结果．转捩中突变伴随着各阶谐波的迅速增长[5]，各阶谐波尤其是突变过程前未增长起来波的急速增长[11]既反映了转捩突变的剧烈变化过程，也是整个流场流动迅速紊乱的关键．将各阶波尤其是之前未能增长起来波的急速增长与转捩中主要的三维结构发卡涡的演化联系起来，对深入认识转捩的突变过程具有重要意义．为此，笔者通过对槽道流转捩的直接数值模拟，研究了占流场绝大多数的转捩突变前增长缓慢的T-S波的增长规律，重点对占绝流场大多数、转捩前期增长缓慢的T-S波的急速增长在发卡涡演化中所处的阶段进行了对比分析．

1 计算参数及初始T-S波的选择

用槽道流来研究转捩过程，采用的数值方法是伪谱方法，即在流向和展向采用傅里叶变换，而在法向采用两点四阶精度的紧致差分格式来解傅里叶展开所产生的方程．计算起始于具有抛物线型平均速度剖面的层流，然后引入扰动．扰动由3个T-S 波组成，形式为式中：x是流向坐标；z是展向坐标；y是法向坐标；αi、βi(i=1，2，3)分别是x和z向的波数；ui(i=1，2，3)是由层流剖面的Orr-Sommerfeld方程特征值问题得到的速度；ai( i=1,2,3)是扰动幅值．雷诺数Re= 12 000是参照槽道层流速度剖面的中心速度和半槽宽得出的．本文计算了3种情况，式(1)的具体参数见表1，其中α0和β0是基本波数．

表1 公式(1)的参数Tab.1 Parameters of Eq.(1)

下面重点以第1种情况进行讨论．前两个波是不稳定的，其特征值如表2所示．

表2 特征值Tab.2 Eigen values

本文采用了时间模式，所以流向波数、展向波数的虚部为零．表2中的rω、iω分别是第1种情况频率的实、虚部，频率的虚部对应着T-S波的增长率．

文献[13]结果显示发卡涡多次分离之后转捩迅速完成，可见发卡涡的演化发展离转捩突变过程非常接近；但是在转捩突变过程前，大多数已经增长起来的波已经停止增长或者显著改变了原来快速增长的规律[11]，因此，转捩中变化最激烈的突变过程与流场中未增长起来的波的演化有更直接的关系．为此，本文选择初始波的原则是在转捩前不稳定波对大多数T-S波的影响较小，以便在发卡涡演化阶段观察这些占流场大多数的波的变化．

对于第1种情况，由于初始不稳定波为(02α， 0β0)、(2α0，1β0)，其相互作用直接产生(0α0，1β0)、(0α0，-1β0)、(4α0，1β0)的波，这些波与初始波相互作用产生沿β方向连续发展、在α方向为偶数的波．另外，初始稳定波(5α0，2β0)与前两个波相互作用可产生α方向为奇数的波，这样就产生所有的波，但是由于其本身衰减得非常快，可以认为在α方向为奇数的波将不受初始不稳定波以及已经增长起来的波的直接支持．这些波迅速增长将直接反映转捩突变前各阶波快速增长的事实，选取这几个初始扰动波可为后面研究层流-湍流转捩突变过程中大多数未增长起来的波的演化带来方便．

2 计算结果及分析

2.1 发卡涡演化过程

研究发卡涡，主要观察速度梯度张量第二不变量的等值面，它是流向涡和展向涡的综合体现．本文用壁面摩擦速度*u和半槽宽h(h=1)对速度梯度张量第二不变量进行无量纲化处理，即

式中Q为速度梯度张量的第二不变量，其表达式为

图1直观显示了第1种情况槽道流流场中发卡涡的演化，其无量纲速度梯度张量第二不变量2I的值均为1 000．

图1(a)显示了在所研究的2I值情况下形成的完整发卡涡；2个无量纲时间t后，发卡涡头部开始分离，如图1(b)所示；图1(c)反映了发卡涡头部多次分离的情况，此时与图1(b)仅仅相差4个无量纲时间．对于本文所研究的槽道流，由于受到上下平板的限制，发卡涡头部抬升并很快进入槽道中部，受到另一壁面的影响．虽然两条涡腿也在不断靠拢，但是并没有形成明显的环状涡．尽管没有形成明显的环状涡，但是发卡涡头以及靠得很近的涡腿必然诱导形成使其中部较大的负向脉动速度，即对应文献[13]的尖峰现象，因此头部多次分离阶段对应着多个尖峰结构阶段．头部多次分离之后，流场很快开始混乱，如图1(d)所示．从发卡涡头形成到紊乱仅仅经历了十几个无量纲时间．其他两种情况与第1种情况一致．

2.2 发卡涡生成及演化前后流场中部分参数

图2是转捩突变前后壁面摩擦系数fc曲线以及流场平均脉动动能ke的演化情况，其中

式中xL、yL、zL分别为计算域流向、法向和展向的长度．

图1 第1种情况发卡涡演化Fig.1 Evolution of hairpin vortex of case 1

所研究的3种情况均显示，发卡涡在fc曲线开始缓慢抬升阶段产生，头部混乱时对应fc曲线开始迅速升起阶段，大约是10～15个无量纲时间．

图2 第1种情况的壁面摩擦系数与平均脉动动能演化Fig.2 Evolution of friction coefficient of wall and average kinetics energy of fluctuating velocity of case 1

图3 为转捩过程中部分典型的增长较快的波与典型未增长起来的波的幅值演化情况．图3(a)显示，两排T-S波相邻，但是对于α=0.90(流向波数为02α)的波，本身是不稳定波或是不稳定波直接影响的波，在转捩突变过程前就已经具有较大幅值；对于α=1.35(流向波数为03α)的波，由于几乎不受初始不稳定波的影响，直到t=1 120左右才具有一定的幅值，这时如果以fc曲线的快速增长为参考，转捩开始进入突变阶段，可见这些波的增长与突变前流场的状态密切相关，与图1所示的转捩突变前流场中最突出的三维结构发卡涡的演化直接相关．图3(b)与图3(a)相似，α=1.80(流向波数为04α)的波是不稳定波直接影响的波，增长起来较快；α=2.25(流向波数为05α)的波，与α=1.35(流向波数为03α)的波一致．流场中其他波的演化以及另外两种情况的波的演化与以上描述类似．

图3 第1种情况转捩中增长较快波与增长较慢波的幅值对比Fig.3 Comparison of amplitude between waves increasing fast and the waves increasing slowly in the transition process of case 1

2.3 发卡涡生成及演化前后典型波的增长率

针对图1发卡涡的演化，图4给出了第1种情况以上几个无量纲时间前后两组典型未增长起来T-S波的实际增长率的变化情况，这些波的流向波数分别为03α和05α．笔者对其他一些流向波数为奇数的波也进行了分析，结果相近；第2、3种情况与第1种情况类似，均不再列出．图4中研究的波的选取依据有2个．①不受初始不稳定波的影响．本文重点研究突变前未增长起来的T-S波，对于第1种情况，α方向奇数波不受初始不稳定波的直接作用，其增长率与整个流场密切相关，或者说与平均流当时的状态密切相关，这些波的明显变化将直接反映流场状态的变化．②属于低波数波．在转捩之后达到湍流阶段，根据能谱分布可知低波数的波幅值相对较大，对流场的影响较大，因此本文选取未增长起来的流向波数均为3α0、5α0的低波数波进行研究，这些波的展向波数则是从β0=0开始连续分布的，其幅值在转捩突变过程中都有相对较大的增长．

对比图1(a)，从图4(a)、4(b)可以看出，在发卡涡头部形成之前即t=1 102之前，包括Λ涡的演化阶段，流场中典型的未增长起来的波一直保持着原来的极其缓慢的变化趋势．即从Λ涡的生成演化直到形成完整的发卡涡，并没有显著改变流场中占大多数的未增长起来的T-S波的演化规律．Λ涡的演化并形成发卡涡是最终转捩的一个重要环节，但并不是促使流场中典型的未增长起来的波迅速增长的关键．结合图3可以看出，在t=1 100前Λ涡演化的阶段正是流场中增长较快的波迅速增长阶段，其中部分波的实际增长率如图5所示，图2也显示这时是流场平均脉动动能从缓慢增长到快速增长的过渡阶段．

发卡涡头部的分离是促使流场中典型的未增长起来的波迅速增长的关键．发卡涡头部开始分离到分离出多个头部结构的阶段，即对应1个到多个尖峰结构出现的阶段，原来未能增长起来的典型T-S波的增长率开始急速增长．图4(c)、4(d)显示，t=1,104前后，这些波的增长率明显改变了原来缓慢的增长方式，开始急速增长，并且短时间内就有数量级的增长；随后如图4(e)、4(f)，两列波的实际增长率开始稳定、快速地增长，在t=1,114前后，即发卡涡头部开始混乱的时候，又开始急速增长，这与图4(a)、4(b)所显示的发卡涡头部开始分离之前的缓慢发展趋势形成鲜明对比．另外，与未增长起来的波的增长率迅速增加相反，如图5所示，第1种情况中最先增长起来、并且是突变前增长最快的一列T-S波的增长率却开始减小．可见，发卡涡头部的分离到混乱在谱空间中表现最明显的特征是，原来未能增长起来的占流场大多数的T-S波的急速增长．

图4 波的实际增长率Fig.4 Real increasing rate of wave

图5 部分已经增长起来的波的实际增长率Fig.5 Real increasing rate of some developed waves

3 结 论

本文用直接数值模拟方法对槽道流常规转捩进行了研究．首先对发卡涡的演化进行了分析，并比较了发卡涡形成、分离及随后头部混乱与fc曲线的关系；研究了占流场绝大多数的转捩突变前增长缓慢的T-S波的增长规律，重点对典型的未增长起来波的急速增长与转捩中主要的三维结构发卡涡的演化进行对比，得到以下结论．

(1)发卡涡的生成及头部分离过程中，壁面摩擦系数fc曲线开始缓慢抬升；随着发卡涡头部混乱，fc曲线开始迅速升起；发卡涡的演化过程约持续10～15个无量纲时间．

(2)发卡涡头部形成之前，包括Λ涡演化的阶段，占流场绝大多数的未增长起来的波一直保持着原来缓慢的增长趋势；发卡涡头部的分离阶段，在谱空间中表现为占流场绝大多数的未增长起来的波开始了急速增长，其中不受初始不稳定波直接影响的幅值较小的波的增长更为明显．这一急速增长的过程一直持续到发卡涡头部紊乱以后．

(3)谱空间T-S波的叠加生成了流场中的三维结构，谱空间中数量上占绝大多数的T-S波的爆发式增长必然反映了流场中的重要变化，即经过不断拉伸和自诱导作用的发卡涡头部的分离．伴随着发卡涡头部的分离，占流场绝大多数的未增长起来的波都开始急速增长，并在短时间内积累相对较大的幅值，使转捩突变迅速完成．

(4)根据以上结果，通常可以做这样的推测：发卡涡头部分离，即从1个到多个尖峰结构的过渡，显著改变了流场的稳定性，使转捩突变过程产生并迅速完成．但是，近期对转捩突变前后平均流剖面稳定性的研究显示[5-6]，平均流剖面稳定性显著改变的过程均发生在fc曲线迅速升起之后，也就是发卡涡头部混乱之后，这时的平均流剖面的不稳定区域以及不稳定波的增长率都比初始流场增加了1个数量级以上．流场中占绝大多数的波的急速增长比平均流剖面稳定性显著改变提前了约15～20个无量纲时间．因此，发卡涡头部的演化与平均流稳定性的关系还有待从理论角度进行进一步研究．

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Relationship Between Evolution of Hairpin Vortex and Increase of Waves in Channel Flow Transition

WANG Xin-jun，LUO Ji-sheng
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Laminar-turbulent transition has been studied by means of DNS of channel flow and the relationship between the evolution of hairpin vortex and the increase of T-S waves in channel flow transition has been discussed，with the rapid increase of the undeveloped T-S waves，which constitute the majority of all waves in the flow，in the stages of hairpin evolution as focus of the analysis. Results show that the typical undeveloped waves keep the original low increasing rate during the forming stage of the head of hairpin vortex，and when the head of hairpin vortex begins to split the real increasing rate of these typical undeveloped waves starts to rise rapidly and achieves orders of magnitude increase in a short time until the head of hairpin vortex is in disorder.

T-S wave；hairpin vortex；spike structure；increase rate；breakdown

O357.5

A

0493-2137(2010)02-0126-06

2009-01-08；

2009-02-27.

国家自然科学重点基金资助项目(10632050)；国家自然科学基金资助项目(10802058).

王新军（1967— ），男，博士，讲师．

王新军，wangxinjun@sohu.com.