管内电缆导体线圈滚弯成形的动态仿真

刘江波 吴杰峰 文 军 文 伟

中国科学院等离子体物理研究所，合肥，230031

0 引言

管内电缆导体（cable－in－conduit conductor，CICC）因具有冷却良好、高电压绝缘、电流大、损耗低、多股绞缆完全换位、工艺性能好等优点，广泛应用于制作超导托卡马克装置的线圈。采用这种导体制作线圈的方法主要有拉弯和滚弯，其中拉弯为张力绕制，是在导体上先加一个轴向拉力，然后依靠模具和拉力的作用，进行弯曲成形；滚弯为无张力绕制，不需要预加拉力，而是靠有动力的滚轮带动导体滚弯成形，一般采用三辊或四辊机构，其程序为预弯、滚圆、矫圆、入模。与拉弯相比，滚弯成形后产生的残余应力较小，较易满足预弯、连绕、成形的绕制要求［1－2］。

由中国科学院等离子体物理研究所研制的全超导托卡马克装置EAST在线圈制造过程中采用了滚弯成形技术，但在绕制过程中采用的是人工调整弯曲压下量的方法，这种方法适应性较差，所研制的绕线机不能实现线圈绕制过程的自动化。本文以EAST线圈绕制过程为基础，讨论了滚弯成形绕线机自动控制系统实现过程中的一些问题。

1 数学模型及动态仿真

1.1 线圈绕制过程的分析与简化

线圈绕制总体过程如图1所示，电动机带动放缆结构转动进行放缆，中间导体经过矫直、校正后，以线速度v到达线圈绕制部分进行连续绕制成形，在某一时刻绕线模相对初始位置的旋转角度为α，旋转角速度为ω。

图1 线圈绕制系统示意图

在连续绕制过程中任一时刻需要以导体与绕线模的切点即预弯点为支点对导体进行弯曲。因此需要对某一导体进给速度下预弯点的变化轨迹以及绕线模的旋转角度和角速度进行研究。

在EAST线圈绕制过程中，工程技术人员通过实验获得了弯曲成形后导体中心线曲率半径ρ′与弯曲时预弯机构压下量x之间的数学关系［3］：

式中，ρ为回弹前导体中心线的曲率半径，mm；k为材料因子；εs为弯曲应力，Pa；E 为材料弹性模量，Pa；t为导体沿压下方向的厚度，mm。

国际热核聚变实验堆ITER线圈绕制与EAST线圈绕制条件相似，式（1）经过实验进行验证调整后也可以运用。由于式（1）表达的是弯曲成形后导体中心线曲率半径与弯曲时预弯机构压下量之间的数学关系，因此在对线圈的整个绕制过程进行分析时，可以将矩形截面导体简化为其中心线。

此外，在图1中，由于L≫｜R－r｜，因此可以将某一时刻绕线模与沿水平方向进给导体的切点视为预弯点，而所需绕制线圈的各段中心线均为一次、二次曲线段，于是问题可以抽象为下述数学问题，即分析一次、二次曲线段以一定角速度旋转时，该曲线段与水平方向直线的切点的运动过程。从图2中可以直观看出任意一段曲线在旋转过程中与水平直线的切点的变化过程。

1.2 数学模型的建立

一般二次曲线段方程为

图2 一般二次曲线段与水平线的切点在旋转过程中的变化

式中，M、N、P、Q分别为所定义曲线段上所有点的横坐标、纵坐标的最小值和最大值。

下面求该曲线段绕任一点O（a，b）逆时针旋转α（α∈［θ1，θ2］）后的曲线方程。

假定旋转后的曲线上任一点（x，y），它对应原曲线上一点（x′，y′），由旋转变化公式可得

进一步得到

将式（4）代人式（2）整理得到

式中，M′、N′、P′、Q′分别为新曲线段上所有点的横坐标、纵坐标的最小值和最大值。

式（5）即为旋转后所得新曲线段的方程。［M′，N′］，［P′，Q′］要根据实际情况具体计算。

对式（5）令dy／dx＝0，并做极小点判断后求得极小点坐标（φ（α），ψ（α）），该点即为新曲线段与水平直线的切点。导体的进给速度即为切点沿水平方向的分速度：

1.3 角度、角速度随时间变化的关系

将角度、角速度随时间变化的关系转化为对常微分方程初值问题的求解：

由于微分方程f（α，t）的形式会比较复杂，因此难以得到甚至可能不存在解析解。此处考虑采用数值方法进行求解。

绕线模外形曲线封闭，绕线模旋转一周的时间t0可由下式求出：

等号左边的积分为线圈绕制一圈完成后的长度，由于线圈由许多分段曲线构成，具体求解时应进行分段积分。

取步长h＝t0／N，采用四阶Runge－Kutta法［4］对式（7）进行求解，求解公式如下：

由式（9）可以得到不同时刻绕线模旋转角度的离散值αk。利用两点法进行数值微分，即可得到角速度ω：

四阶Runge－Kutta方法是一种求解常微分方程的数值方法，比Euler和改进的Euler方法精确度高，但计算复杂度要大。由于此处对算法的实时性没有要求，而对精度要求更高，因此Runge－Kutta方法更加合适。

1.4 线圈绕制过程的MATLAB动态仿真

为了更加直观地理解线圈绕制过程中切点的变化过程，采用MATLAB语言编程对绕制过程进行了动态仿真，仿真算法结构如图3所示。

图3 动态仿真算法流程图

2 具体线圈绕制成形过程的计算及仿真

ITER矫正场线圈分为两种形式［5－6］：一种为SCC（side correction coil）， 呈瓦片状；一种为B／TCC（bottom／top correction coil），呈扇形状，其整体布局如图4所示。

上述两种线圈都由CICC滚弯成形。下面选取形状比较复杂的B／TCC线圈，运用以上数学模型和仿真方法进行分析计算。由于B／TCC线圈比较复杂，在运用上述方法之前需先进行必要的简化。

图4 ITER矫正场线圈布置图

对B／TCC线圈以不影响计算结果的准确性和有效性为前提条件进行数学抽象后，得到线圈的几何尺寸即绕线模轮廓曲线的几何尺寸，如图5所示（单位：mm）。以两段大圆弧的圆心为原点，线圈对称轴为Y轴，建立如图5所示的直角坐标系。

以图形几何中心O′（0，6466.1mm）为旋转中心，假定实际导体水平向右进给，绕线模总体旋转方向为逆时针方向，则在正圆弧段（该段圆弧段的圆心与旋转中心位于该圆弧段的同侧时称为正圆弧段，如图5中的圆弧段c3；反之则称为反圆弧段，如图5中的圆弧段c6）部分，绕线模应逆时针旋转，切点为该圆弧段的相应极小点；在反圆弧段部分，绕线模应顺时针旋转，切点为该圆弧段的极大点。当直线段部分与X轴平行时，该直线段上所有点都处于整条轮廓曲线的极小位置，这时取该直线段的左端点为极小点。于是可按按上述通用方法进行处理。

根据EAST线圈制造中的经验，导体进给速度为200～400mm／min时能得到比较高的精度和工作效率。在此取导体进给速度为恒定值250mm／min，即v（t）＝250mm／min。通过计算，可得到工作台的旋转角度和角速度曲线，如图6所示。线圈绕制过程中绕线模的位置变化，以及预弯点的运动轨迹如图7所示（图7中的坐标系与图5一致）。

图6 B／TCC绕线模的角度和角速度（v（t）＝250mm／min）

从图6可以看出，在导体均匀进给的条件下，绕线模在转动过程中的角速度会存在突变，会产生刚性冲击，对绕线机的控制过程不利，因此必须对导体进给速度函数进一步优化。

3 结束语

本文建立了管内电缆导体滚弯成形的数学模型与动态仿真方法。该数学模型与仿真方法具有一定的通用性，对最终实现线圈绕制过程的精确自动控制可以起到很好的指导作用，但还需要结合实验结果进行进一步的调整与改进。

图7 B／TCC绕线模的变化过程以及预弯点的运动轨迹（v（t）＝250mm／min）

［1］ 郁杰.HT－7U超导托卡马克装置CICC纵场实验线圈的研制［D］.合肥：中国科学院等离子体物理研究所，1999.

［2］ 郁杰，高大明，文军，等.HT－7U超导专用绕线机预弯成形功能的设计及实现［J］.机电工程，1999，16（5）：181－183.

［3］ Gao Daming，Yu Jie，Zhu Wenhua，et al.Development of Special Winding Machine for HT－7USuperconducting Tokamak［J］.Plasma Science and Technology，2000，2（1）：133－140.

［4］ 程正兴，李水根.数值逼近与常微分方程［M］.西安：西安交通大学出版社，2000.

［5］ Foussat A.Update on Correction Coil Design［R］.Hefei：Task Meeting at ASIPP，2008.

［6］ 曾文彬，吴维越.ITER校正场线圈的结构分析［J］.核聚变与等离子体物理，2009，29（3）：264－269.