载流长直螺线管和螺绕环的磁场对称性分析

余仕成,周金华

(武汉工程大学理学院，湖北 武汉 430074)

0 引 言

在很多应用问题中会涉及到磁场分布[1]，而均匀密绕的载流长直螺线管和螺绕环的磁场分布既是技术应用中常见的磁场分布，又是大学物理中磁场理论的典型问题.在一般大学物理教材[2-5]中，都是根据磁场分布的对称性利用磁场的安培环路定理来求解，而在有关对称性的讨论中，其方向对称性都没有给出严格的证明,本文利用毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理对载流长直螺线管的磁场方向对称性和载流螺绕环的磁场方向对称性进行了分析与证明.

1 载流长直螺线管的磁场方向

长直螺线管是一个理想模型，其长度当作无限长，通电导线是均匀密绕的.在理论分析时可看作是有很多的圆电流所构成的.因为电流具有轴对称，所以，磁场方向也具有对称性：螺线管内任意点的磁场方向都与管轴平行.

图1 载流长直螺线管的磁场方向

如图1所示，任取一点P，到轴线的距离为r.建立直角坐标系，z轴沿螺线管的中心轴线，y轴过P点，则P点坐标为P(0,r,0).取两个圆电流O′和O″，它们到O点的距离都为z；在圆电流O′和O″的对应位置A′和A″处各取一相同的电流元Idl，I是圆电流的强度.A′和A″的坐标可表示为A′(Rcosθ,Rsinθ,-z)和A″(Rcosθ,Rsinθ,z)，而Idl=Idl(-sinθi+cosθj).根据毕奥-萨伐尔定律，A′处的电流元Idl在P点产生的磁感应强度为

(1)

其中μ0为真空磁导率,r′=-Rcosθi+(r-Rsinθ)j+zk为由A′指向P的矢量，r′为A′点到P点的距离.而A″处的电流元Idl在P点产生的磁感应强度为

(2)

其中r″=-Rcosθi+(r-Rsinθ)j-zk为由A″指向P的矢量，r″为A″点到P点的距离，且r″=r′.由磁场的叠加原理，可得两电流元在P处产生的磁感应强度为

(3)

而r′+r″=-2Rcosθi+2(r-Rsinθ)j

Idl×(r′+r″)=

代入(3)式得

(4)

即dB的方向沿螺线管的轴线方向.对于长直螺线管来说，圆电流是成对的，电流元也是成对的，所以P处的磁场方向必平行于螺线管的轴线方向.

2 载流螺绕环的磁场方向

均匀密绕的螺绕环的结构如图2所示，也可看作是有很多的圆电流所构成的.设螺绕环的中心轴线圆的半径为R，环管截面圆的半径(即圆电流的半径)为r.如图3所示，建立直角坐标系，坐标原点O在螺绕环的几何对称中心点，z轴竖直向上；任取一P点，使xoz平面通过P点(P点即可以在环管内部，也可以在环管外部)，设P点坐标为P(x,0,z).任取两个关于xoz平面对称的圆电流O1和O2，其圆平面与xoz平面的夹角都为θ；作P点与圆O1和O2的垂直线，垂直线与O1和O2圆平面的交点分别为P1和P2，设直线O1P1与直线OO1的夹角为α，则直线O2P2与直线OO2的夹角也为α；在圆电流O1、O2的对应位置A1、A2分别取大小相等的电流元Idl1、Idl2，半径O1A1与O1P1的夹角为φ，半径O2A2与O2P2的夹角也为φ.A1、A2的位置坐标分别为A1(x1,-y1,z1)、A2(x1,y1,z1)，其中x1=(R+rcos(α+φ))cosθ、y1=(R+rcos(α+φ))sinθ、z1=rsin(α+φ)；电流元Idl1、Idl2分别表示为Idl1=a1i+b1j+c1k、Idl2=a1i-b1j+c1k，其中a1=-Idlsin(α+φ)×cosθ、b1=-Idlsin(α+φ)sinθ、c1=Idlcos(α+φ).根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl1在P点产生的磁感应强度为

图2 螺绕环

图3 载流螺绕环的磁场方向

(5)

其中r1=a2i+b2j+c2k为由A1指向P的矢量，r1为A1点到P点的距离，而a2=x-x1、b2=y1、c2=z-z1.而电流元Idl2在P点产生的磁感应强度为

(6)

其中r2=a2i-b2j+c2k为由A2指向P的矢量，r2为A2点到P点的距离，且r2=r1.由磁场的叠加原理，可得两电流元Idl1和Idl2在P点产生的磁感应强度为

(7)

而

(a1c2-a2c1)j+(a1b2-a2b1)k

则Idl1×r1+Idl2×r2=-2(a1c2-a2c1)j

将上式代入(7)式得

(8)

由于螺绕环结构的对称性，上述电流元和圆电流都是成对出现的，所以P的磁场方向沿着通过P点的圆(圆心在z轴上且圆平面与 轴垂直)的切线方向.

参考文献：

[1]余仕成.一个电磁感应演示实验的分析与计算[J].武汉工程大学学报，2007，29(2):94-96.

[2]吴锡珑.大学物理教程(第二册)[M].北京：高等教育出版社，1999:258-259.

[3]黄祝明，吴锋.大学物理学(上册)[M].北京：化学工业出版社，2008:214-214.

[4]程守洙，江之永.普通物理学(第二册)[M].北京：高等教育出版社，1998:231-232.

[5]张三慧.电磁学[M].北京：清华大学出版社，1999:261-262.