一类二自由度并联机器人的动力学分析

李海虹，杨志永

(1. 天津大学机械工程学院，天津 300072；2. 太原科技大学机械电子工程学院，太原 030024)

天津大学拥有独立知识产权的二自由度并联机构 Diamond机器人目前已规模化应用在电子、医药、食品等工业领域中，为包装、移载等物流环节提供了高效、高质的保障[1]．为了满足不断提高的生产效率，需要进一步对机器人进行轻量化设计，从而减轻惯性负载，提高作业速度．随着质量的降低，构件的柔度增大，特别是类如 Diamond 机器人这种主要部件为柔性连杆的机构，尽管采用了轻质高强碳纤维材料，但是由于作业速度高，惯性负载大，很容易产生变形和振动，影响作业精度和疲劳寿命，必须进行机构的弹性动力学特性的研究，针对机器人的运动状态和受力状态，探索抑制弹性动力响应的措施．

随着有限元方法的完善和软件的普及，目前国内外大多弹性动力学研究都集中在理论建模的基础上，借助计算机仿真完成动力学分析和优化设计[2]．然而在初始建立有限元模型时，一般无法完全获悉物理模型的结构参数，只能利用试验模态分析完成模态参数的辨识．经过半个多世纪的发展，模态分析技术已经比较完善，成功地应用在结构性能评价、结构动态修改和动态优化设计等研究中[3-6]．但是高速机器人在运行时具有较为明显的时变模态特性，时变模态是复杂时变机械系统的研究难题，目前多集中在理论研究领域[7]．对于机器人方面的研究，文献[8]分析了一类平面并联机器人整机低阶固有频率分布与位姿变换的关系，而未报道适用于并联机器人时变特性研究的模态试验方法. 为此，笔者以Diamond并联机器人的时变模态研究为例，针对并联机器人机构特征，提出适用于时变模态研究的试验方法．

1 试验系统分析及试验方案制订

由于Diamond机构(如图1所示)在工作过程中是一个时变机构，而利用试验方法进行时变机构的模态分析的文章少有发表，所以本次研究将需要首先制订适用于时变机构的特定试验方案，并根据该方案搭建试验系统．

图1 Diamond机器人Fig.1 Diamond robot

根据 Diamond结构特征，不易选择柔性杆作为激励对象，只能对动平台进行激励，在柔性杆多测点处完成拾振．图 2为测点布置示意，图中矩形标记点即拾振点．鉴于传感器质量对柔性轻质杆件模态的影响，每次拾振只能安装一个传感器，即只能拾取一个方向的振动信号．

图2 模态试验所需测点布置示意Fig.2 Geometry with the nodes for modal test

图3显示了Diamond工作空间和典型门字型工作轨迹．为了研究该机构沿着该轨迹工作时动态特性的变化规律，需要选取 N个位姿点进行模态试验．位姿点越多越可以提高时变模态规律的准确性，但却显著增加了模态分析的工作量．其实，该机构的动态精度主要体现在动平台上，所以以动平台为观测对象时，该机构的模态可以划分为以影响动平台动态精度的模态和其他模态．即将动平台看作刚体，在xOy平面内，该刚体将体现为3个自由度的模态．如果只需完成三自由度简化模型的模态试验，不仅不会遗漏影响动平台精度的主要模态，还可以提高试验效率．

图3 Diamond机器人工作空间及轨迹示意Fig.3 Working space and moving platform trajectory of the Diamond robot

简化后的模型如图4所示．根据轨迹及机构的对称性，测得8个位姿的模态数据就可以得到整个轨迹中15个位姿点的模态参数，各位姿间距60,mm，为工作行程距离的14.3%，基本可以满足变化趋势分析的精度．

图4 简化模型及被测位姿示意Fig.4 Test configuration of the simplified model

由于简化模型的模态是诸多结构参数的综合体现，所以无法确定影响模态变化规律的结构因素，尚需要完成机构在典型位姿处的整体模型的模态，通过对比分析得出影响动平台动态精度的关键结构参数．对称位姿是衡量此类机构特性的主要位姿，同时起始点位姿是决定抓取机器人操作动态精度的关键位姿，所以本次试验将对以上2个典型位姿进行完整模型的模态试验．

根据以上分析，本次试验方案可以描述如下：分别进行工作轨迹中 8个特定位姿处机构的简化模型的模态测试，根据模态分析结果，即模态频率、模态振型、模态阻尼等模态参数，对样机进行直接的动态性能评估，确定该时变机构的模态参数变换规律，验证理论分析结果的正确性．其次，分析该机构在 2个典型位姿处的整体模型的模态．通过对比，寻找一阶或若干阶影响动平台精度的关键模态，确认决定性能缺陷的主要因素，为理论模型修正提供修正基准以及为进一步优化设计提供需要改进的结构性能参数．

2 搭建试验系统

目前模态分析技术在结构性能评价、结构动态修改和优化设计等研究中的重要性日益显现，国内外都研发了很多硬件及软件系统，此次研究采用 B&K传感器及LMS-Lab系统试验平台完成模态试验．

由于该机构动平台设计时为手抓安装留有安装孔，无法实现准确点的激励，所以特别设计了安装试验传感器的夹具，如图 5(a)所示．该夹具不仅可以实现准确点的铅垂激励及水平激励，同时可以实现3个自由度的模态识别，即通过 1号传感器识别水平模态、1号及 2号传感器的信号异步识别转角模态，以及通过 3号传感器识别铅垂方向的模态，如图 5(b)所示．各传感器及试验用力锤参数如表1所示．根据试验方案搭建测试系统如图6所示．

图5 试验夹具及传感器安装示意Fig.5 Clamp and installation of the sensors

表1 模态试验用仪器参数Tab.1 Parameters of the instruments in the modal test

图6 试验系统Fig.6 Test system

3 模态试验

根据试验方案，进行时变模态变化规律的研究和典型位姿下的模态分析．

3.1 模态参数沿轨迹变化趋势的试验研究

机构在如图4所示8个位姿处，分别通过水平及铅垂激励动平台，三通道同时拾振完成模态测试．图7和图 8分别是铅垂方向以及水平方向本点激励本点响应的8个实时传递函数．其中水平方向由S-1传感器进行拾振．

汇总各路频响函数的频率峰值如表2所列，值得说明的是，水平激励时，20,Hz左右出现峰值，经模态试验初测，动平台沿铅垂轴扭转模态为 20,Hz左右，其产生原因是由于水平激励时，力锤未能准确敲击在铅垂轴线上，从而造成动平台扭转．由于扭转模态影响动平台动态精度程度有限，所以该频段处的扭转模态不予考虑．

利用MATLAB中CFTOOL中的拟合工具，选用样条曲线做数据拟合得到铅垂模态及水平模态沿位姿变换规律，如图 9所示．由于 S-1传感器和 S-2传感器测定的频率峰值接近，所以只将 S-1传感器数据进行拟合分析．

图7 动平台铅垂方向本点激励本点响应测得频响函数Fig.7 FRFs of the moving platform along the vertical direction while the response point is the excitation point

表2 8个位姿处测得的频响函数频率峰值Tab.2 Peaks of the FRFs tested in 8 configurations Hz

通过动平台铅垂模态及水平模态的轨迹变化规律，可以认为该机构在水平方向的固有频率比铅垂方向的固有频率普遍低些，而两个方向模态沿位姿变化基本浮动在几赫兹内，无明显奇变．

图8 动平台水平方向本点激励本点响应测得频响函数Fig.8 FRFs of the moving platform along the horizontal direction while the response point is the excitation point

利用 LMS模态参数识别模块，可以识别出 8个位姿的模态，限于篇幅，只列出用于对比的 2个典型位姿的简化模态的分析结果．图 10(a)为中间位姿处的动平台模态，分别对应 36.372,Hz(阻尼率 3.05%)、45.129,Hz(阻尼率 4.23%)和 78.850,Hz(阻尼率8.74%)．图 10(b)为起始点位姿处的动平台模态，分别对应26.932,Hz(阻尼率7.74%)、40.123,Hz(阻尼率2.03%)、49.716,Hz(阻尼率 2.21%)和 81.525,Hz(阻尼率 8.46%)，可见机构的水平平动模态的固有频率比转角模态的固有频率低．

值得注意的是，起始点位姿处，动平台模态分析结果显示在 49,Hz左右，转角模态已经出现，实际从8个位姿的简化模型可见，该现象只出现在距离对称位姿水平距离 300,mm处的两个位姿，即最早出现50,Hz左右的转角模态位于距离对称点偏移 240～300,mm 之间，这一变化的具体原因需要通过完整模 型的模态分析才能得到解释．

图9 模态频率变换规律曲线Fig.9 Curve of the change of modal frequency

图10 简化模型的模态Fig.10 Mode shapes of the simplified model

3.2 典型位姿下模态试验分析

为了确定机构中影响动平台主导模态的因素，分别对对称位姿和起始点位姿做完整模型的模态试验，得到模态分别如图11所示．

图 11(a)中前 4阶模态分别对应固有频率为35.830,Hz(阻尼率 4.24%)、43.560,Hz(阻尼率5.15%)、52.130,Hz(阻尼率 3.56%)和 81.256,Hz(阻尼率 9.49%)．图 11(b)中前 5阶模态分别对应固有频率为 26.750,Hz(阻尼率 13.43%)、36.639,Hz(阻尼率 4.94%)、41.898,Hz(阻尼率 9.97%)、51.018,Hz(阻尼率9.32%)和80.991,Hz(阻尼率5.67%)．

图11 完整模型的模态Fig.11 Mode shapes of the full model

3.3 对比分析

通过对比对称位姿处两类模型的模态分析，可以看出：第一阶固有频率大概位于 35,Hz处，该阶模态主要表现在主动臂交错上下，从而带动整个机构变形，动平台则相应表现为基本沿水平位移；第二阶固有频率大概位于43,Hz处，该阶模态主要表现为主动臂的同步上下，从而带动整个机构基本保持铅垂方向位移；第三阶固有频率大概位于 52,Hz处，主要表现为从动臂的变形，而动平台基本不变，所以在简化模型的模态试验，未能识别出该模态，也可以认为简化模型的模态分析可以剔除与动平台精度无关的模态，从而提高了模态分析效率；第四阶固有频率大概位于 81,Hz处，主要表现为完全由于从动臂摆动，造成动平台在xOy面内的扭转．

根据以上分析，主动臂刚度是影响动平台水平以及铅垂位移精度的主要因素，而从动臂刚度则主要影响动平台扭转刚度．且只有当从动臂同步变形时，才会造成动平台的扭转．

通过对比起始点位姿处两类简单模型的模态分析，可以看出，第一阶固有频率大概位于26,Hz处，该阶模态主要表现在主动臂交错上下，从而带动整个机构变形，动平台则相应表现为基本沿水平位移；第二阶固有频率大概位于 36,Hz处，主要表现为从动臂的变形，但对动平台位移影响不大，所以在简化模型中未能识别出该模态；第三阶固有频率大概位于 41,Hz处，该阶模态主要表现为主动臂的同步上下，从而带动整个机构基本保持铅垂方向位移；第四阶固有频率大概位于 51,Hz处，主要表现为从动臂的变形，此时与对称位姿不同的是，由于机构不对称，近水平的从动臂振动使得动平台产生了转角位移，所以在简化模型中识别出了转角模态；第五阶固有频率大概位于81,Hz处，主要表现为完全由于两边从动臂摆动，造成动平台转动．

通过位姿对比结果得出主动臂的刚度影响动平台水平及铅垂刚度的结论与对称位姿是一致的，所不同的是，由于受力情况的改变，即从动杆单元的约束条件变化，受从动杆刚度影响的动平台的转角模态变化比较大，尤其是处于远离对称位姿的工况．但是考虑到实际机构工作方式是通过吸盘或手抓完成抓取放置操作，同时衡量机构动态精度的主要是动平台的水平及铅垂精度，虽然转角动刚度随位姿发生较大变化，但其对应固有频率比较高，所以在改善机构动态特性的方案中将主要以提高水平动刚度和铅垂动刚度为主要研究内容．根据分析主动臂装配体确定为改进的关键部件．

4 结果分析

通过第 3.3节的分析，影响机构动刚度的薄弱环节确认为主动臂，但是比较从动臂装配体和主动臂装配体可知，单一主动臂装配体刚度要远远高于从动臂刚度，而且从模态图中可以显示，主动臂局部的模态变形在分析的频域内并未出现．通过观察机构与减速器及电机装配体，可以判定，造成以上两种判断矛盾的真正原因是联接轴，即造成动平台动刚度下降的主要原因应该是联接主动臂和减速器的轴，轴的刚度才是最终影响机构动平台平动位移动刚度的主要因素，是真正影响机构动刚度的薄弱环节和改进对象．

在理论计算模型和仿真模型中，均认为轴的材料为钢，且约束条件为固定联接方式，所以模态分析结果与试验出现不一致，图 12(a)中是理论模型得出该实变机构的模态频率变化规律曲线，与图9的试验数据拟合曲线有较大差异，图 12(b)是降低轴的弹性模量 50%后的频率变化规律曲线，则与图 9的试验曲线更为相似．

综上，减速器轴的弹性模量只是假定值，在今后的研究中，将围绕轴单元的准确修正量，借助动力修改判据进行确定，同时改进理论模型与仿真模型，修正后的理论模型才能够用于优化设计．

图12 材料参数修正前后的仿真结果Fig.12 Simulation result calculated with the initial parameters and the modified parameters

5 结 语

针对并联机器人的结构特点和工作方式，提出了研究一类时变机构模态变化规律的试验方法，该方法通过同一机构两类模型的模态试验及对比分析，以简洁高效的方式研究了模态的时变规律，为理论模型提供了修正参照．该方法适用于在结构及运行轨迹方面具有空间对称性的时变机构的动态特性试验研究．

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