离心力对高速主轴轴承内环过盈配合特性的影响

张 霞 路长厚

（山东大学机械工程学院，山东 济南 250061）

机床主轴是高速机床的核心部件，其性能好坏在很大程度上决定了整台机床的加工精度和生产效率［1］。主轴组件中，滚动轴承内圈与主轴通常以过盈配合联接，过盈量的大小会影响轴承工作游隙，继而影响主轴的刚度、旋转精度以及主轴和轴承的使用寿命。过盈量过大会使轴承装配困难，甚至破坏配合表面；过盈量过小则会造成配合面打滑，加剧主轴、轴承的磨损和温升。因此，机床主轴与轴承内圈间的过盈配合特性是影响主轴性能的重要因素之一。

高速机床主轴的工作转速较高，其DN 值甚至超过了1.0 ×106mm·r/min。轴承内圈和主轴在很大的离心力作用下，会在径向产生不同程度的膨胀，使内圈与主轴之间的配合过盈量发生变化。传统的过盈配合设计是以拉美（Lame）方程为基础，并在俄罗斯学者加道林院士提出的组合圆筒理论基础上进行的［2］。基于拉美方程和厚壁筒原理的传统方法存在着一定局限性，只停留在满足静态扭矩传递需求上，而没有考虑主轴高速旋转时离心力对联结状态的影响，因此只适用于较低转速下。近年来国内外一些学者基于非线性有限元方法对高速主轴与转子之间的过盈配合特性作了研究，将两者均简化为厚壁圆筒［3-4］。由于轴承与转子存在外形尺寸及结构的较大差异，所以不能将这两种情况完全等效。因此有必要采用适合轴承内圈的更加合理的假设，在离心力成为主要载荷的情况下，分析过盈量与转速、接触应力与转速间的关系，为高速主轴与轴承间过盈配合的设计提供理论依据。

高速离心力对轴承的内环与轴、外环与孔及滚动体与内外环的配合特性均有重要影响。本文仅就离心力对内环与轴的配合特性的影响进行研究。

1 初始过盈量的确定

高速主轴与轴承内环间常采用过盈配合，因此正确地确定过盈量，并从工作的可靠性和经济性的原则出发，合理地运用标准，选择相应的配合，是高速主轴过盈配合设计的基本工作［2］。工作于高速旋转状态下主轴与轴承内圈的配合，其接触面上的变形和接触应力由于离心力的作用而变化，这种变化在通常使用的转速下一般忽略不计。但在研究转速较高的联结时，必须分析变形、接触应力与转速间的关系，为主轴/轴承联结的设计和优化提供理论依据［5］。

假设高速主轴与轴承的结构如图1 呈轴对称，以等角速度ω 绕其轴线旋转，离心力为ρω2r，应力沿厚度方向没有变化。将离心力作为径向单位体积力作用于主轴和轴承内圈上，轴承内圈宽度和壁厚远小于其直径，将其简化为薄壁圆环，按平面应力问题求解；而空心主轴简化为厚壁圆筒，按平面应变问题求解。在分析中，不考虑由于转动所引起的切向刚性位移分量，仅考虑其相对变形部分。所作的分析是以远离封闭端的中间截面为对象，且相同半径处的所有点将产生同样大小的位移。

1.1 轴承内径径向位移

由于轴承内环是轴对称的，因此在极坐标系中，应力与位移是轴对称的，配合件的切向位移和剪应力为零。根据弹性力学原理，应力函数只是径向尺寸r 的函数，与极角无关。由几何方程可得应变分量为

平面应力下的物理方程为

式中：εr、εθ分别代表径向和环向应变分量；σr，σθ分别代表径向和环向应力；u 为径向位移；E 为轴承内圈材料的弹性模量；μ 为轴承内圈材料的泊松比。

高速旋转的轴承内圈因离心力引起径向位移，其在极坐标系的平衡微分方程简化为［6］

式中：ρ 为轴承内圈材料密度；ω 为旋转角速度；r 为径向半径。

联立式（1）、（2）、（3）得

其一般解为

并代入式（1）、（2）有

如图2 所示，对于高速旋转的轴承内圈，假设其沟道和内圈外径表面不受力，内径表面过盈安装于主轴上，且承受均匀压力p。内圈尺寸为2b，用内沟尺寸2c近似模型中的外环尺寸，将该内圈的边界条件r=b，σr=-p；r=c，σr=0，代入式（6）可得C1和C2，再将C1和C2代入式（5），令r=b，可得到内圈内径的径向位移为

1.2 主轴外径径向位移

将空心主轴简化为厚壁圆筒，按平面应变问题求解，可得平面应变下的物理方程为

联立以上式（1）、（3）、（8）可得：

其一般解为

代入式（1）、（8）有

如图2，空心主轴外径受配合压力p，内径表面自由，由边界条件r=b，σr=-p；r=a，σr=0 代入式（10）可以求得C1、C2，再将C1和C2代入式（9），并令r=b，可以得到主轴外径的径向位移为

1.3 考虑离心力时所需要的过盈量

机床主轴与轴承内圈过盈配合，当主轴高速旋转时，一方面由于离心力的作用，会引起轴承内圈内径扩张，主轴外径膨胀，从而引起过盈量变化；另一方面，轴承内圈内径尺寸因受配合压力的作用而增大，主轴外径尺寸因配合压力的作用而减小。此时，内圈与主轴配合所需的过盈量可按下式计算：

其中，式（12）前一项Is与转速无关，它与配合面间的压力成正比，后一项Ii是内圈和主轴由于离心力的作用而需要的过盈量，在主轴轴承结构尺寸一定的情况下与主轴转速的平方成正比。另外，所确定的过盈量应满足主轴及轴承内圈的强度。

2 高速旋转主轴过盈配合的仿真模拟

近年来，随着计算机软硬件技术和非线性有限元技术的发展，人们开始借助于非线性有限元法来分析、仿真模拟过盈配合面间的应力、位移变化规律。高速旋转时，主轴与轴承内圈均受到过盈配合引起的应力和离心力产生的应力作用。从力学角度看，过盈配合是接触问题的一种，属于边界条件高度非线性的复杂问题，配合面间呈现出很复杂的接触状态和应力状态［7］。用有限元法求解接触问题时以往常采用的物理模型是节点接触对模型，即将两接触物体的接触面划分成相同的网格，组成一一对应的节点对，并假定两接触体间的力是通过节点对传递的。这种模型必须预先知道接触发生的明确部位，以便建立接触节点对和施加单位虚拟载荷，对于结构复杂问题和考虑摩擦的动态接触问题，节点对模型将给结构离散和方程求解带来极大困难，从而难以解决［8］。本文中采用了面面接触模型，把两接触面分为目标面和接触面，这种模型能有效地处理复杂接触表面和动态接触问题［9］。

为适应高速主轴高速、较高刚度运转的需求，高速主轴轴承模型采用了如图1 的支撑结构形式。所选用高速主轴前轴承处配合面的基本尺寸为：外径2b=70 mm，内孔直径为2a=25 mm；后轴承处配合面的基本尺寸为：外径2b′=60 mm，内孔直径为2a′=25 mm。主轴和轴承内圈都为钢质材料，材料的弹性模量E=2.1 ×1011N/m2，泊松比ν=0.3，主轴与轴承内圈配合面间的摩擦系数μ=0.09，主轴材料的许用应力σ 为567 N/mm2，轴承材料的许用应力［σ］为628 N/mm2。轴承选用接触角为15°的特轻系列角接触混合陶瓷球轴承，轻预紧，代号为7000CD/HCP4DBA，其技术参数见表1。

表1 混合陶瓷球轴承的主要参数

由于轴对称，进行有限元分析时，为减小运算规模提高运算速度，采用1/4 实体建模。实体单元采用带中间节点的SOLID186 单元，利用扫略法划分网格，三维有限元模型见图3。该有限元模型包含4276 个单元，19375 个节点，把轴承内圈的内表面定义为目标面，把主轴的外圆柱面定义为接触面，把接触表面过盈量以及旋转速度产生的惯性力视为作用在主轴与轴承内圈上的载荷。

2.1 旋转速度对配合过盈量的影响

当主轴高速旋转时，在离心力的作用下，主轴外径与轴承内圈内径表面发生不同程度的膨胀，影响两者之间的过盈配合特性。当速度低于松脱转速时两者之间仍然处于非线性接触状态，离心力的影响仅仅是减小了过盈量，当速度高于松脱转速时，两者将处于分离状态。

图4 显示了旋转速度分别为2500 r/min、5000 r/min、10000 r/min、15000 r/min、20000 r/min、30000 r/min、40000 r/min、50000 r/min 时主轴外圆柱面径向位移、轴承内圈内圆柱面径向位移以及过盈减小量的变化情况（半径方向）。

对于旋转速度较低的机床主轴而言，由于离心力对过盈配合量影响较小，因此分析时一般忽略不计，仅把传递最大扭矩作为计算有效过盈量的依据即可满足设计需要。但对于高速旋转的主轴而言，则必须考虑离心力对过盈量的减小效应，并将这种影响给予补偿；否则，当转速超过一定极限值时，就会出现松脱现象，造成配合面打滑，加剧主轴、轴承的磨损和温升，缩短轴承的使用寿命。因此，必须研究转速对过盈配合的影响。如图4a 所示，当旋转速度为2500 r/min 时，半径方向过盈减小量仅为0.11 μm，可以忽略不计；当旋转速度为30000 r/min 时，半径方向的过盈减小量上升为16.14 μm ；当旋转速度为50000 r/min 时，半径方向过盈减小量高达44.85 μm，就需要增加初始过盈量，以补偿离心力对过盈量的影响。该补偿值极有可能远远大于静态过盈量，从而成为影响过盈配合设计的主要因素。图4a 为前轴承处接触面径向位移，图4b 为后轴承处接触面径向位移，由图4 可得，主轴与轴承内圈之间的过盈量会随速度的增大而减小，并与转速的平方成正比；由4a、b 两图可得，当配合面的基本尺寸增大时，这种影响更加明显。

对本文上述所采用的模型，取ω=4186.67 rad/s（40000 r/min），代入式（12）中，可得考虑离心力时的过盈量I=58.89 μm。当初始过盈量为60 μm 时，考虑过盈配合产生的端部效应，最大等效应力为184 MPa，小于轴承内圈及主轴材料的许用应力，所以可以取初始过盈量为60 μm（直径方向）。

图5 是当以上有限元模型主轴与前轴承内圈之间存在60 μm 的过盈量时，旋转速度分别为2500 r/min、5000 r/min、10000 r/min、15000 r/min、20000 r/min、30000 r/min、40000 r/min、50000 r/min 时前轴承处主轴外圆柱面径向位移、轴承内圈内圆柱面径向位移及过盈量减小值的变化关系（半径方向）。比较图4a 和图5，可看出增加初始过盈量后，当转速小于40000 r/min 时，曲线斜率变化缓慢，即采用提高初始过盈量的方法能较好的补偿离心力对过盈量的影响。

2.2 旋转速度对接触应力的影响

在高速旋转工作中，主轴与轴承内圈均受到过盈配合引起的应力和离心力产生的应力作用。由力的叠加原理可知，接触面间各点应力均为上述两方面应力叠加而成。离心力所产生的拉应力抵消部分过盈产生的压应力，从而减小了接触应力。图6 为前轴承配合面处的接触应力与转速的关系。从图6 可以看出，接触应力随着转速的提高而逐渐减小。对本文上述所采用的模型，在过盈量为60 μm 的情况下，当主轴转速达到40000 r/ min 时，主轴与轴承内环间的接触应力接近为零。

3 结语

研究表明，处于高速旋转状态下的主轴与轴承内环间的过盈联接特性会受到旋转速度的影响，尤其当旋转速度很高时，这种影响较大，有可能成为影响过盈配合特性的主要因素。高速旋转的轴承内圈和空心主轴可简化为薄壁圆环和厚壁圆筒，将径向离心力作为径向单位体积力作用于主轴和轴承内圈上，建立高速主轴轴承内圈与转轴配合过盈量的计算公式。由该公式及模拟仿真均可得出主轴与轴承间的过盈量与接触应力随着转速的提高而逐渐减小，且按转速的平方关系衰减。为补偿离心力对联接特性的影响，可以采用该公式确定初始过盈量。

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