框架式高层房屋建筑模态分析

黄勤 陈笛

1 模态分析理论

1.1 模态分析简介

所谓的模态分析就是确定结构系统的振动特性，得到结构的固有频率和各阶振型，它们是结构承受动力荷载设计中的重要参数。它的主要优势在于计算一组正交向量之后，可以将大型整体平衡方程组缩减为数量相对较少的解耦的二阶微分方程，这样能有效的节省时间。而且计算结果能帮助我们对结构响应进行定性的判断，并提供相关结构概念设计需求。对于结构体系而言，共振会造成结构系统破坏。因此为了防止共振现象的发生，就要了解系统的固有振动频率及各阶振型，进而避免外力频率和结构系统的固有频率相同或接近。

1.2 模态分析基本原理[1，2]

在结构动力分析中，结构动力响应的求解是基于结构中质量系统的动力平衡方程来完成的，基于经典的物理定律，式(1)给出了一个N自由度线形系统的动力平衡方程，它是一个关于时间的函数:

其中，[M]，[C]，[K]分别为系统的质量、阻尼、刚度矩阵;[x]，[F]分别为系统各点的位移响应向量和激励力向量。式(1)是一组耦合方程，当系统自由度很大时，求解十分困难。将耦合方程变化为非耦合的独立方程组，这就是模态分析必须解决的问题。模态分析方法就是以无阻尼的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使微分方程解耦，变成各个独立的微分方程。对式(1)两边进行拉式变换，得:

令 s=jω，则式(2)变为:

引入模态坐标，令{x}=[φ]{q}，其中，[φ]为振型矩阵;[q]为模态坐标，代入式(3)有:

根据振型矩阵对于质量、刚度矩阵的正交性关系，有:

若阻尼矩阵也近似被对角化，即有:

对式(1)乘[φ]T得:

这样相互耦合的N自由度系统的方程组经正交变换，成为在模态坐标下相互独立的N自由度系统的方程组，解耦后的第 i个方程为:

其中，Ki，Mi，Ci分别为模态刚度、模态质量、模态阻尼;φij为模态振型。

从式(8)中可知，采用模态坐标后，N自由度系统的响应相当于在N个模态坐标下单自由度系统的响应之和。采用归一化方法，使模态质量归一，记模态质量归一化振型为 Φ，即:

可知，Ki为模态固有频率;N自由度系统有N个固有频率。

2 计算模型的建立

2.1 工程背景

某一框架式结构建筑，总高 45 m，14层，底层高 6 m，其余层高3 m。结构平面图如图1所示。

其主要承重构件的截面尺寸及材料属性如表1所示。为了计算方便钢筋混凝土的密度统一为2 500 kg/m3。

表1 构件参数

2.2 有限元模型

建模过程中，本文采用了两种单元类型:Beam4和Shell63。Beam4是一种可用于承受拉、压、弯、扭的三维弹性梁单元。这种单元在每个节点上有6个自由度:x，y，z三个方向的线位移和绕x，y，z三个轴的角位移。Shell63单元可以同时承受壳面内、外的荷载，具有壳单元算法和膜单元算法，而且还考虑了应力刚化效应以及大变形效应。用其模拟本结构中的楼层板。划分后的模型共有47 330个节点、52 952个单元。模型及划分单元见图2。

3 边界条件及荷载

3.1 边界条件

对与地面接触的框架柱施加 x，y，z方向的零位移约束，如图3所示。本例采用 Block Lanzcos模态法提取前 6阶模态，模态分析采用扩展模态法。

3.2 计算荷载

模态分析考虑整体结构的固有频率，频率大小的变化直接反映结构刚度的变化。模态分析计算时只需考虑结构自重下的荷载工况，各构件自重均在有限元软件中设置参数自动施加，结构密度2 500 kg/m3，重力加速度取9.8 m/s2。

4 计算结果

采用有限元软件对结构的空间刚架模型进行模态分析计算，得到结构前8阶模态分析的固有频率及振型贡献率(见表2)。由计算结果可以看出结构在x，y，z方向的振型贡献率均已超过了90%，所以采用前面8阶振型的模态分析已满足分析的要求。各阶模态振型见图4～图 11。

由表 2分析可以看出 Ux，Uy，Uz前8阶振型总贡献率都大于90%，说明截取前8阶振型已经满足分析要求了。第1阶振型贡献率 Ux=0.865 9，说明第1阶振型属于 x方向的平动，且为该码头 x方向的主要振型;第2阶振型属于y方向的平动，为该房屋的y方向的主要振型;第3阶振型为 xy平面的转动;从第6阶振型开始竖向的振动加强，且产生平扭耦合效应。计算得出的前3阶振型的固有频率比较相近，在实际使用过程中最容易引起结构的共振。在使用过程中，无论是结构纵向还是横向都应避免使用与前3阶振型固有频率相近的频率。

表2 结构自振频率及振型贡献率

5 结语

由以上分析可以得到以下结论:

1)第1阶～第3阶频率从0.376 6 Hz～0.457 7 Hz，振型为平面内的水平运动，没有垂直方向的运动，楼板四周边缘对位移没有明显的约束，位移最大，第1阶～第3阶振型不同，但接近的频率和振型表示它们有类似的成因，可认为是同一族模态。第1阶、第2阶的振型贡献率较大将近达到90%，较容易被激发，如果有荷载的水平激励时，第1阶、第2阶在振动响应中占有主导性作用。

2)第4阶～第8阶频率从1.195 9 Hz～2.292 7 Hz，振型主要为以底层梁柱嵌固点为对称点的反对称弯曲模态，在对称点的两侧形成以嵌固点为结点的波浪形状，同时在水平方向也有小幅运动。以嵌固点为对称点的反对称的水平运动模态，在对称点的两侧形成以嵌固点为结点的波浪形状和垂直方向的弯曲一起构成了一个空间运动模态。该阶模态如果有荷载的垂直激励时，在振动响应中占有主导性作用。

3)由于框架结构复杂，不能采用一般的传统计算方法进行模态分析，而应采用结构专业软件进行分析。本文分析结果表明，有限元法是一种比较合适的分析方法。

4)ANSYS是成熟的工程分析软件，具有丰富的单元库和完善的计算工具。在进行高层建筑模态分析时，只要建模正确，单元及模态分析法选择适当，所得到的计算结果准确性就很高。通过ANSYS模态分析获得了本高层结构的自主振动周期，从而避免了由于场地主振动周期相同或相近造成的共振问题。

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