剖 析 高 等 代 数 的 课 堂 教 学

□魏慧敏

( 大同大学大同师范分校，山西 大同 037039)

高等代数作为数学专业基础课程之一,其教学目的在于培养学生抽象分析的思维能力和解决问题的能力,并为学生后续课程的学习提供必要的数学理论和数学知识。在教学中笔者发现,学生在学习高等代数的过程中并不是很轻松,这主要有以下几个方面的原因。

一、虽然高等代数知识是中学代数知识的继续,但是知识的难度提到了一个更高的层次,使很多学生一接触到“高等代数”课程,就对其产生了畏难情绪。

例如：对于多项式,中学代数中只浅显的讲到它的加、减、乘、除运算法则。但在高等代数中除了拓宽多项式的含义,严格定义多项式的次数及加法、乘法运算外,还进一步讲到多项式的整除理论及最大公因式理论。

对于多项式的因式分解, 中学只讲解了其分解的常用方法。而高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义,接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及其在有理数域、实数域和复数域内的判定。

对于方程来说, 中学代数中讲的更浅显，只涉及到方程的皮毛,如一元一次方程的求解、一元二次方程的求解和根与系数的关系以及二元一次、三元一次方程组的消元解法。而高等代数却更深入的对n元和n次方程分别进行了深入的研究，如讲到复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，并给出一元n次方程根的近似解法及公式解。再如讲到线性方程组的行列式解法和矩阵解法，而中学里只涉及到方程组得消元法，还讲到线性方程组解的判定及解与解之间的关系等。

中学数学里学习到的数、向量、内积、坐标、长度等都只是为高等代数里数环、数域、向量空间中的向量、欧式空间中向量的内积和长度提供了例子，线段在平面上的正射影为欧式空间中正交补提供模型。显然高等代数研究的代数系统不断抽象化，并且概念的抽象化程度不断提高，数学研究的对象急剧扩大。

二、学生的数学观念和思维有很强的局限性。高等代数的基本概念是由抽象的思想和公理化的方法建立起来的,具有较高程度的抽象化和严格性,学生对此感到难以理解。大量的符号运算代替了过去的数字运算,符号的内涵也随之扩展,这些都直接影响到学生的理解。

例如：中学代数中学习的数、方程、集合、元素以及几何中学习的向量、平面等都是现实世界中能看到的数量关系和空间形式，而在高等代数中就向量而言，就和学生旧日思维中向量的概念大相径庭，中学中的向量仅仅指的是带有方向的线段，而高等代数中的向量更加广义了，向量空间里的元素都可叫做向量，因此线性变换、矩阵都是向量。如果学生此时不打开思维，仍旧停留在过去向量的概念中，就很难理解高等代数中拓展了的向量。还有集合的包含关系，多项式的整除关系，矩阵的等价、相似、合同关系都已不再是传统意义的数量关系。

再如：向量空间、欧式空间虽然叫做“空间”，但绝不是和中学里的空间一样，是学生能感知到的空间形式，它们是一类抽象性极强的没有直观意义的空间形式。又对于 “坐标”，中学数学中学习到的坐标能看得见，能摸得着，能感知的到的东西，学生理解起来毫不费劲，而高等代数中任何向量都有坐标，而且依据不同的基会有不同的坐标，如果学生还把坐标的概念停留在直观上就很难接受新的坐标概念。这说明：高等代数是应用抽象量化方法来研究关系、结构和模式的。

三、课堂教学和教学内容的枯燥和乏味使学生找不到学习的乐趣,减少了学习的主动性。因此，教师在教学中的主导地位决定了其教学方法和学生学习的积极性密切相关,所以教师娴熟的教育技能、对教学内容的合理把握以及合理的语言艺术对启发学生的思维，培养智能，提高课堂效果有着至关重要的作用。

1.传统的数学教学模式是教师在台上讲,学生在台下听,教学的目的和功能只有一个,那就是传授书本知识。这种“注入式”已不适应现代教育的要求,不利于学生数学素质和创造性思维的培养，也已不适应现代化的教学要求，所以改进教学方法，培养学生自主学习能力刻不容缓。可以尝试多元化教学模式，如：启发式讲解法，在高等代数中讲到多项式的带余除法时,可引导学生回忆整数的带余除法,然后进行类比,再由他们自己导出多项式的带余除法,这样既达到了教学的目的,又培养了学生的开拓创造性思维,起到了良好的教学效果，要比单一的说教式好得多。讲到线性变换和矩阵时，可利用两个基之间的过渡矩阵来引导，启发学生找出它们之间的共同点，进行类比、归纳、总结性的学习，达到能把知识融会贯通的境地。

学生登台讲解法，有选择的将一些较简单的内容拿出来，将学生分成若干小组进行自学和讨论，然后让每个小组的代表登台讲解，即调动了学生学习的主动性，锻炼了他们的语言表达能力，还能加深他们对基本概念和公式的理解，活跃了课堂气氛，一举多得。

提问法，对有些内容设计一些问题，先把问题布置下去，再上课时就这些问题提问学生，如讲到L(V)时，设计的问题如下：①L(V)是由什么元素做成的集合？②L(V)中定义的加法是什么？③关于它所定义的加法封闭吗？给出证明。④L(V)中定义的纯量乘法是什么？⑤关于它所定义的纯量乘法封闭吗？给出证明。⑥L(V)是向量空间吗？这样提问下来，学生就把L(V)理解得很清楚了。

总之，教学模式可以多元化，这需要教师在教学中依据具体情况、具体学生进行可行性的发挥，达到教育的目的。

2.语言是教师向学生进行思想教育，传授知识的重要工具，在教学中对教学内容的把握，并如何用生动形象、通俗易懂的语言把知识传播给学生直接影响着学生的接受程度。

首先教师本人要做到吃透教材，看到本质，进得去，出得来，游刃有余。如高等代数中在讲到向量空间的时候,由于这个概念本身很抽象,如果直接从定义讲起, 学生很难理解。此时不如先把这个抽象的概念具体化,告诉学生其本质就是一个集合，然后引导学生逐层深入地进行挖掘,这样就降低了学生理解的难度,更便于对知识的掌握。再如讲到矩阵,矩阵对于学生来说是一个全新的概念,理解起来颇有困难,但只要把它和中学中的数联系起来,告诉学生其实可以把矩阵看成是一种数,所以有和数一样的内容,如存在“1”,“0”及“负数”等,然后再引入:矩阵里的“1”就是单位矩阵, 矩阵里的“0”就是零矩阵, 矩阵里的“负数”就是负矩阵,而它们和数里的“1”,“0”及“负数”有相似的性质:任意n阶矩阵与n阶单位矩阵之积仍是n阶矩阵，任意n阶矩阵与零矩阵之和仍是n阶矩阵，任意n阶矩阵与其负矩阵之和是零矩阵，矩阵的运算满足加法的交换律、结合律，加法和乘法的分配律。但是也有不同的性质，即不满足乘法的交换律以及两个非零矩阵的积可以是零等。通过这样的讲解，学生很容易就理解了矩阵，并记忆深刻，再后面的知识就迎刃而解了。

其次，要注意教学语言的准确性，生动性，语音、语调的抑扬顿挫性，从语言上抓住学生的注意力，激发他们的兴趣，产生学习的动力。如在讲到线性变换中的零变换、单位便换、负变换时，可设置悬念，问学生若把线性变换看作数的话，它的“1”,“0”及“负数”是什么？然后通过学习让他们从中找到答案，这样就通过巧设悬念增加了语言的生动性，丰富了学生的想象力，深化了他们的思维。而使得课堂教学也不再那么枯燥、乏味。再如可适当在教学中穿插一些幽默，运用一些比喻来活跃课堂气氛，达到以情动人，使学生从情感中受到启发，受到感染，这对帮助他们理解题意，正确理清思路极为重要。

最后，要想使学生感兴趣，还得让它们了解高等代数这门课程的魅力，而在高等代数中体现出来的将杂乱无序整理为有序，使经验升华为规律，追求物质运动的简洁统一的数学表达式等都是数学美的具体表现，也是人类对美感的追求。如向量的广义，就可以让我们的思维插上翅膀，任意的在想象的空间里驰骋。通过开发学生对高等代数美感的认识，既提高了教师的品味，也使学生在学习中获得一种美的享受，产生浓厚的兴趣。

参考文献：

[1]侯维民.从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系[J].数学教育学报,2003,(8).

[2]杨宏林.关于高等数学课程教学改革的几点思考[J].数学教育学报,2004 ,(5).

[3]刘荣英.高等数学课程教学之我见[J].郧阳师范高等专科学校学报，2002，(12).