容纳矛盾的逻辑何以可能？

杨武金

(中国人民大学，北京1008 72)

容纳矛盾的逻辑何以可能？

杨武金

(中国人民大学，北京1008 72)

经典逻辑否定矛盾存在，坚持矛盾律的至上性。弗协调逻辑限制矛盾律的作用。相干弗协调逻辑主张存在真矛盾，这和辩证逻辑是一致的，否定逻辑矛盾但承认辩证矛盾。在有穷域中，矛盾律还是有用的，但对于整体性、辩证性、复杂性问题的把握，就需要限制矛盾律的作用，承认辩证矛盾。

矛盾；弗协调逻辑；经典逻辑；辩证逻辑

在传统逻辑或经典逻辑视野里，矛盾律是最为重要的原则，逻辑矛盾必须被排除。所以，一切能容纳矛盾的逻辑都必然是对传统逻辑或经典逻辑的否定，是对矛盾律的批评、批判、否定或超越。

一、经典逻辑对矛盾的拒斥

弗协调逻辑（paraconsistent logic）作为一种非经典逻辑，从根本上是对经典逻辑中不可动摇的矛盾律加以限制的结果。如果说直觉主义逻辑从根本上对排中律进行了限制，那么弗协调逻辑也可以说是从根本上对矛盾律进行了否定。可以这样讲，对于任何逻辑系统，如果我们限制了矛盾律在其中的作用范围，那么这个系统就属于弗协调逻辑。

什么是矛盾律呢？从对象语言的角度看，矛盾律是指同一个对象不能同时既是又不是，不能既具有又不具有某个性质。准确地说，在一个给定的可能世界w中，对于任一命题A，或者A不能成立，或者，-A不能成立，即在给定的可能世界w中，序对A和-A至多有一个是成立的。从元语言的角度看，矛盾律是指，相互否定的两个命题不能都是真的，其中必有一个是假的。矛盾律用公式来表示，就是-(A Λ-A)，其中-A表示与A相矛盾或者相反对的断定。根据矛盾律，如果同时对互相否定的两个命题加以肯定，没有从中否定一个，就会出现“自相矛盾”的错误。在经典逻辑看来，矛盾是不可能的，必须从我们的思维中排除出去，当然也就必须从一个逻辑系统中排除出去。所以，一个经典逻辑系统必然具有协调性即不矛盾性。协调性即不矛盾性定理是经典逻辑系统的一个基本元定理。

在西方逻辑发展史上，存在两种根本对立的逻辑传统：一是赫拉克利特传统，使用流变范畴，在逻辑中允许有意义的真矛盾，并依靠有意义的真矛盾。赫拉克利特（Heraclitus）说：“我们踏入又不踏入同一条河流，我们存在又不存在。”[1]“组合是整体又不是整体，是聚集又是分散，是协调又相抵触。一出于万物，万物出于一。”[2]认为世界不是一个协调的系统，于是，人们不能从中获得一致的知识。赫拉克利特传统通常又称为辩证法传统，近代的黑格尔是其中最为杰出的代表人物。二是亚里士多德传统，使用固定范畴，在逻辑中禁止矛盾，认为矛盾律是一切原理中最为根本的原理（也称“无矛盾原理”）。亚里士多德说：“一切意见中最为确实的是，对立的陈述不能同时为真。”[3]亚里士多德的这一思想在整个现代经典逻辑中普遍得到了认同，认为逻辑就是协调的、一致的、不矛盾的，而包含矛盾的逻辑是不可能的。亚里士多德传统最早可追朔到巴门尼德（Parmenidean），他坚持认为世界是协调的，并且人们关于世界的知识也必须相应地是一致的，所以，所有矛盾都必须被排除。[4]亚里士多德传统后来基本上成为整个西方思想的主流。在现代，坚持“无矛盾原理”最突出的代表人物是波普尔（Popper），他说：“科学是按照矛盾不能被允许和可以避免这一假设而推进的，因而发现矛盾就会迫使科学家尽一切努力去消除它；不错，一旦承认了矛盾，所有的科学就必然瓦解。”[5]“千万不要认可一种矛盾。”“如果我们准备容忍矛盾，那么批判以及一切人类智力进步都必定同归于尽。”[6]矛盾被看成是洪水猛兽，必须加以排除。

二、弗协调逻辑能够容纳真矛盾

亚里士多德传统在逻辑史上几乎一直占据着统治地位，协调性或者不矛盾性原理成为许多逻辑学家不可置疑的信条，但这却未必符合实际情况。从经典逻辑系统来看，证明矛盾律时假设了邓斯·司各脱规则（从矛盾能够推出一切），即如果矛盾律不成立（互相矛盾的命题可以同时为真），则矛盾就会推出一切，于是逻辑系统就会失去意义，所以，互相矛盾的命题不能都真，矛盾律必须成立。但是，凭什么假设矛盾就能推出一切呢？凭什么互相矛盾的命题就不能都真呢？当代分析哲学家维特根斯坦曾经说：“事实上，即使在目前阶段，我也要预言，总有一天会出现包含矛盾的数学演算研究，那时，人们将会真正感到自豪，因为他们已经从协调性的束缚下解放出来了。”[7]认为存在着能够容纳矛盾的逻辑系统。

雷歇尔（Rescher）利布兰登（Brandom）在《不协调逻辑》一书中，首先肯定了矛盾在逻辑系统中的地位，对矛盾律在逻辑中的地位表示怀疑。他们说：“自亚里士多德时代以来，在西方传统思想主流中，差不多所有逻辑学家和相关的哲学家都存在着对不协调性的恐惧。他们几乎一致地拒斥本体论和逻辑推理范围内的矛盾，坚持认为如果容忍不协调将必然带来认识上的灾难。”[8]但是这种见解是缺乏根据的。实际上，“对本体论上的矛盾加以断然排斥，在事物的系统描述中决不是必要的，甚至也许是不需要的。”[9]肯定客观世界本身可以是矛盾的，而人们的思维却可以是不矛盾的。“假定有这样一种（不协调的）世界的存在，决不会引起逻辑上的混乱。对于不协调的世界，人们的推理可以是完全有说服力的和有条理的。思想不必带上其对象的性质：对于醉酒者精神状态的研究，可以是清醒的，对于不协调性的研究同样也可以是协调的。”[10]

科斯塔在1958年就开始阐述研究矛盾理论的重要性。他认为，矛盾理论不能片面排除，因为一个理论对公理的选择是自由的，而且许多理论在其初始假设中本来就含有矛盾。他认为，协调理论和不协调理论有同样的逻辑地位。不协调理论的惟一不同点就是，不协调理论必须建立在不同于经典逻辑的逻辑系统的基础之上，否则它们就会变成不足道的。通过对希尔伯特数学上的存在概念的思考，科斯塔提出了数学上的容忍理论：“从语法和语义的角度来说，任何理论都是可允许的，因为它不是不足道的。广义地说，在数学上存在着并非不足道的系统。”[11]

在弗协调逻辑看来，矛盾虽然是可以容纳的，但是，并非矛盾就能推出一切，即从A和-A两个互相矛盾的命题，一般不能推出任意命题B。

我们知道，在经典逻辑看来，矛盾可以推出一切。因为在经典逻辑看来，矛盾是不可能的，矛盾必假，包含着矛盾的系统必然是有问题的。经典逻辑把推理关系看成是一种充分条件关系，又把充分条件关系看成是一种蕴涵关系。即一个充分条件的命题只有当其前件为真并且后件为假时才是假的，否则都是真的。一个推理只有当前提真实并且结论虚假时才是不成立的，否则都是正确的推理。所以，一个充分条件命题当其前提为假时必然是真的，一个推理当其前提虚假时也必然是正确的。既然矛盾必假，所以，从相互矛盾的两个命题A和-A，可以推出一切命题B。用公式来表示就是：{A，-A}是|=pB，也可以表示为：AΛ-A→B。该公式又称为邓斯·司各脱（Duns Scotus）规则，因为经卢卡西维茨证明，中世纪逻辑学家邓斯·司各脱（1266～1308年）已经知道该规则。

对于经典逻辑来说，如果矛盾律在其中不普遍有效，而矛盾又能推出一切，那么任何公式都可以说是一个系统中的定理，这样的系统通常被称为“扩散性的”，其中，AΛ-A→B被称为“扩散性的”推导，它使整个逻辑系统变得没有意义，即不足道的。所以，对于经典逻辑来说，既然矛盾能够推出一切，所以，矛盾律在其中必须普遍有效。但是对于弗协调逻辑来说，由于矛盾律在其中不普遍有效，所以，从矛盾不能推出一切。

波普尔认为，矛盾是不可能被容纳的，因为“如果承认了两个互相矛盾的陈述，那就一定要承认任何一个陈述；因为从一对矛盾陈述中可以有效地推导出任何一个陈述来。”[12]固守从矛盾能够推出一切这个邓斯·司各脱规则，是波普尔否定矛盾存在甚至否定辩证法的科学性的根本性论据。

波普尔首先用析取附加律（p→pvq)和选言推理的否定肯定式（（pvq）Λ-p→q)来证明邓斯·司各脱规则。假定我们有两个互相矛盾的前提：

（a）现在太阳高照。

（b）现在没有太阳。

从这两个前提出发，可以推出任何一个陈述，如“恺撒是叛徒”。

我们从前提(a)，按照析取附加律，可推出结论：

（C）现在太刚高照v恺撒是叛徒。

然后取(b)和(c)为前提，按照选言推理的否定肯定式，可推出结论：

（d）恺撒是叛徒。

波普尔还用另外一种方式来证明邓斯·司各脱规则的正确性。一个规则是联言推理的分解式：p Λ q→p。另一个规则是“间接还原规则”，即如果a Λ b→c成立，则a Λ-c→b也成立。该规则的变形为：如果a Λ-b→c成立，则aΛ-c→b成立。该变形在c碰巧等同于a时，有以下规则：如果aΛ-b→a成立，则aΛ-a→b成立。根据联言推理的分解式，显然a Λ-b→a是成立的。所以，显然，aΛ-a→b必然成立，即邓斯·司各脱规则是成立的。总之，从互相矛盾的两个前提可以演绎出任何一个结论来。

波普尔通过分析指出，构造一个邓斯·司各脱规则在其中不成立的逻辑系统是可以的。但是他认为，这样的系统只能是一种极弱的系统，在其中只剩下很少几条普通推理规则，甚至连分离规则（从A成立和A→B成立，可以推出B成立）在其中都不能成立。他说：“在我看来，这样一种系统对于那些特别热衷于构造形式系统的人们来说也许会有某种兴趣，但对于引出推论来却毫无作用。”[13]这里，波普尔所考虑的逻辑系统是不能容纳矛盾而且邓斯·司各脱规则在其中又不能成立的系统，显然，这样的系统对于推论来说没有什么意义：不过，虽然邓斯·司各脱规则在其中不能够成立，但是能够容纳矛盾的逻辑系统即弗协调逻辑系统却是有重要意义的。

根据矛盾不能推出一切，经典命题逻辑中的有些蕴涵怪论如AΛ-A→B就不再是弗协调逻辑系统中的定理。既然矛盾也可能是真的，即AΛ-A不常假，所以，公式AΛ-A→B不是永真式，不是重言式。

但是，有些蕴涵怪论如A→（B→A）却可以是弗协调逻辑系统中的定理。这个怪论意味着，如果一个命题是真的，那么任何命题都蕴涵这个命题，即真命题为任何命题所蕴涵。该公式通过求范式可以得到如下变换：

(1)-Av（-BvA)(运用公式(A→B)←→-BvA)

(2)（-AvA)v-B(运用交换律、结合律)

(3)---(-AvA)-B(运用公式--A←→A)

(4)-(Av-A)vB(运用公式-(-AvA)←→AΛ-A)

(5)(AΛ-A)→-B(运用公式(A→B)←→BvA)

最后结果好像意味着，又回到了矛盾推出一切的这个怪论上去了。但是，也应该看到，我们在变换中所用到的公式，如--A←→A，这一公式本身在弗协调逻辑系统中都不一定成立，因为A→--A不一定是弗协调逻辑系统中的定理。

所以，在弗协调逻辑看来，矛盾律不普遍有效，矛盾是可以容纳的，但是，从矛盾并不能推出一切。否则，一个逻辑系统就是扩散性的，没有意义的或者说是平庸的、平凡的。雅斯可夫斯基指出，弗协调逻辑在本质上是“并非过完备的矛盾系统”。首先，弗协调逻辑系统是“矛盾系统”，因为它包含了两个互相矛盾的命题。但是，弗协调逻辑系统却不是“过完备系统”，因为过完备系统是指那些其中所有公式都能成立的系统。对于弗协调逻辑系统来说，如果所有公式都是其中的定理，那么这样的系统就是不足道的、无意义的。而弗协调逻辑则是研究那些足道的、有意义的逻辑系统，所以并非所有公式都是其中的定理。所以，弗协调逻辑系统是不协调的但却是有意义的系统。

这就是说，弗协调逻辑能够容纳矛盾，而且能够容纳真矛盾，但并不是说它就能够容纳任何意义上的矛盾，它不能容纳会导致一个逻辑系统扩散或变得没有意义的矛盾。就科斯塔所建立的弗协调逻辑系统Cn(1≤n≤ω)来说，C1能够容纳经典逻辑系统C0所不能容纳的矛盾AΛ-A，C1相对于C0来说是不协调的，但是系统C1就其本身来说，它还是协调的，系统Cn(2≤n≤ω)的情况也是这样。

总之，弗协调逻辑能够容纳矛盾，但是否认从矛盾可以推出一切。所以，弗协调逻辑系统是能够容纳矛盾的系统但同时也是足道的即有意义的系统。

三、辩证逻辑的基本性质

科斯塔所发展起来的弗协调逻辑属于一种弱的弗协调逻辑。二十世纪七、八十年代以后，普里斯（Priest）特和卢特列（Routley）等人发展出一种比较强的弗协调逻辑，即相干弗协调逻辑。强的弗协调逻辑与弱的弗协调逻辑比较起来，它所强调的是肯定“真矛盾”的存在。普里斯特和卢特列认为，真矛盾（dialetheia）是指形如“AΛ-A”这样的真陈述。真矛盾类似一个既真又假的两面神动物。真矛盾论的根本观点就是认为存在有真实的矛盾。[14]他们所说的真矛盾相当于我们这里所讲的辩证矛盾。

直觉主义逻辑限制排中律作用，认为在有穷域中排中律是起作用的，但对于无穷域来说，排中律就不起作用了。所以，排中律不是普遍规律。所以，直觉主义逻辑否定排中律的普遍性作用。按照排中律，所有数学命题或者被证明为真或者被确定为假。但是，事实上，还存在着既未被确定为真，也未被确定为假的数学真理，如哥德巴赫猜想。由于数学研究中总需要涉及到无穷域问题，所以，如果总像经典逻辑那样遵守排中律，就不能很好地用来指导数学研究。直觉主义逻辑由于克服了经典逻辑的上述缺陷，得到了许多重要数学家的重视和运用，是目前数理逻辑各个分支中真正得到应用的逻辑分支。我们知道，否定排中律的普遍性作用，同时也就禁止了反证法在数学证明中的应用，所以，直觉主义逻辑比经典逻辑弱，直觉主义数学也比经典数学弱，但它却比较有用。

弗协调逻辑和辩证逻辑也是一样，都需要限制矛盾律的作用。科斯塔的弗协调逻辑，使用了弱否定，能够容纳的是逻辑矛盾，只要这个逻辑矛盾在系统中不会导致扩散。相干弗协调逻辑和辩证逻辑都认为要容纳真矛盾，即辩证矛盾。黑格尔曾经这样说：“康德说理性主义必然引起矛盾，由此反驳了理性主义。我承认这一点。但这个论证显然是从矛盾律那里取得力量的，它反驳的只是那种承认矛盾律的系统，也即力求摆脱矛盾的系统。对于像我这样的系统来说，并没有危险，这种系统准备容许矛盾存在，这就是辩证系统。”[15]

在有穷域中，矛盾律还是很有用的，不管什么逻辑都得承认这一点。但涉及到整体性、辩证性、复杂性问题，如悖论问题等，矛盾律的作用就需要限制。经典逻辑将一切矛盾都看成是逻辑矛盾加以排除是太强了，需要加以弱化。但像科斯塔的弗协调逻辑将逻辑矛盾也容纳进来，确实又太弱了一些。所以，辩证逻辑是一种既尽可能弱于经典逻辑同时又尽可能强于科斯塔的弗协调逻辑的形式。在辩证逻辑中，矛盾律不能再普遍地起作用，与矛盾律密切相关的归谬法也将不再普遍成立。这样的辩证逻辑对于解决整体性、矛盾性、复杂性等问题，将会有重要作用。

[1]苗力田.古希腊哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1989.43.

[2]苗力田.古希腊哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1989.4l.

[3]苗力田.亚里士多德全集(第7卷)[M].北京：中国人民大学出版社,1993.106.

[4]Rescher N.and Brandom R.The Logic ofInconsistency,Basil Blackwell,1980,P,1.

[5]波普尔.开放社会及其敌人(第2卷)[M].北京：中国社会科学出版社,1999.80.

[6]波普尔.猜想与反驳[M].上海：上海译文出版社，1986.452.

[7]Wittgenstein L.Philosophical Remarks,Blackwell,1964,332.

[8]RescherN.and Brandom R.The Logic of lnconsistency,Basil Blackwell,1980,1.

[9]RescherN.and Brandom R.The Logic of Inconsistency,Basil Blackwell,1980,2.

[10]Rescher N.and Brandom R.The Logic of Inconsistency,Basil Blackwell,1980,4.

[11]PriestG,RoutleyR,NormanJ.Paraconsistent Logic:Essays On the Inconsistent.Philosophia Verlag,1989,105.

[12]波普尔.猜想与反驳[M].上海：上海译文出版社,1986.453.

[13]波普尔.猜想与反驳[M].上海：上海译文出版社,1986.458.

B81

A

1004-3160（2010）02-0121-04

2009-12-25

杨武金，中国人民大学哲学院副教授、哲学博士、博士后，主要研究方向：逻辑学，中国逻辑史。

肖琴