某些子群弱s-置换嵌入的有限p-幂零群

李长稳，於 遒

(1.徐州师范大学数学科学学院，中国 徐州 221116；2.淮海工学院理学院，中国 连云港 222001)

如果群G的一个子群H与G的每个Sylow子群可换，那么称H为在G中s-置换；如果对于|H|的每个素因子p,H的Sylowp-子群也是G的某个s-置换子群的Sylowp-子群，则称H在G中s-置换嵌入[1].显然，s-置换嵌入是s-置换的推广.1996年，王燕鸣[2]教授引入了c-正规子群的概念.群G的一个子群H称为在G中c-正规的，如果存在G的一个正规子群K，使得G=HK且H∩K≤HG,其中HG是包含在H中的G的最大正规子群.2007年，Skiba[3]给出了弱s-置换子群的概念.称群G的一个子群H在G中弱s-置换的，如果存在G的一个次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤HsG,其中HsG是包含在H中的G的最大的s-置换子群.2009年，李样明[4]教授又将s-置换嵌入子群，c-正规子群以及弱s-置换子群定义统一推广为弱s-置换嵌入子群，从而统一了近年来人们在超可解方面的一些重要成果.本文在文献[4]的基础上得到p-幂零群的一些新刻画.

定义1[4]如果存在群G的一个次正规子群T和包含在子群H中的G的s-置换嵌入子群Hse，使得G=HT且H∩T≤Hse，则称H在G中弱s-置换嵌入.

引理1[4]设H≤G,H在G中弱s-置换嵌入.

(1) 若H≤L≤G,则H在L中弱s-置换嵌入.

(2) 若N◁G且N≤H≤G,则H/N在G/N中弱s-置换嵌入.

(3) 若H为G的π-子群，N为G的正规π′-子群，则HN/N在G/N中弱s-置换嵌入.

引理2[5]设G是一个与4次交代群A4无关的有限群，p是|G|的最小素因子，P是G的Sylowp-子群.如果p3不整除|P|,那么G是p-幂零群.

引理3[6]设H在G中s-置换，P是H的一个Sylowp-子群，其中p是一个素数.如果HG=1,那么P在G中s-置换.

引理4[7]设P是G的一个p-子群.如果P在G中s-置换，那么Op(G)≤NG(P).

引理5设G为有限群，p为|G|的素因子，P为G的Sylowp-子群.如果p交换且NG(P)为p-幂零群,那么G是p-幂零群.

证因为NG(P)为-幂零群，所以NG(P)=P×H,其中H是NG(P)的正规p-补.又P是交换群且[P，H]=1，故CG(P)=NG(P).因此G是p-幂零群.

主要结果

定理1设G是一个与A4无关的有限群，p为|G|的最小素因子.如果G的Sylowp-子群P的每个2-极大子群在G中弱s-置换嵌入，那么G是p-幂零群.

证假设定理不成立，G为极小阶反例.

(1)由引理2，|P|≥p3,这说明P的任意2-极大子群P2≠1.

(2)G不是一个非交换的单群.

取P的一个2-极大子群P2.由定理假设，P2在G中弱s- 置换嵌入.于是存在G的一个次正规子群T和包含在P2中的G的一个s-置换嵌入子群(P2)se,使得G=P2T且P2∩T≤(P2)se.如果G是单群，那么T=G，从而P2=(P2)se在G中s-置换嵌入.因此P2是G的一个s-置换子群K的Sylowp-子群.既然G是单群，则KG=1.由引理3知P2在G中s-置换.由引理4知NG(P2)≥Op(G)=G.于是P2◁G,矛盾.

(3)G有唯一的极小正规子群N，使得G/N是p-幂零的且Φ(G)=1.

设N为G的一个极小正规子群，考虑商群G/N.设M2/N是PN/N的任一2-极大子群，则M2=P2N,其中P2是P的2-极大子群.由定理假设，P2在G中弱s-置换嵌入.于是存在G的一个次正规子群T和包含在P2中的G的一个s-置换嵌入子群(P2)se,使得G=P2T且P2∩T≤(P2)se.易见G/N=P2N/N·TN/N且TN/N是G/N的次正规子群.由于P2∩N=P∩M2∩N=P∩N是N的Sylowp-子群，故(|N：P2∩N|，|N:T∩N|)=1,这样(P2∩N)(T∩N)=N=N∩G=N∩P2T.由[4]中引理2.7知P2N/N∩TN/N=(P2N∩TN)/N=(P2∩T)N/N≤(P2)seN/N.由[1]中引理1知(P2)seN/N在G/N中s-置换嵌入.因此M2/N在G/N中弱-置换嵌入.从而G/N满足定理的假设.由G的极小选择知G/N是p-幂零群.由于p-幂零群系是饱和群系，从而N的唯一性及Φ(G)=1是显然的.

(4)Op′(G)=1.

若Op′(G)≠1,则由(3)知G/Op′(G)是p-幂零的，从而G是p-幂零的，矛盾.

(5)Op(G)=1.

如果Op(G)≠1,那么由(3)知N≤Op(G)且存在G的一个极大子群M，使得G=NM且M∩N=1.由于Op(G)∩M◁G,故Op(G)∩M=1,从而N=Op(G).显然P=P∩NM=N(P∩M).因为P∩M

(6)导出矛盾.

如果N∩P≤Φ(P),那么由J.Tate定理([9]，Ⅳ,4.7),N是p-幂零的.设Np′是N的正规p-补，则Np′charN◁G,Np′◁G,Np′≤Op′(G)=1.因此N是p-群，N≤Op(G)=1，矛盾.因此存在P的一个极大子群P1使得P=(N∩P)P1.取P的一个2-极大子群P2，使得P2

定理2设p是|G|的素因子，P是G的Sylowp-子群.如果NG(P)为p-幂零的且P的所有2-极大子群在G中弱s-置换嵌入，那么G是p-幂零的.

证假设定理不成立，G为极小阶反例.

(1)由引理5，|P|≥p3,这说明P的任意2-极大子群P2≠1.

(2)若M

显然NM(P)≤NG(P),所以NM(P)为p-幂零群.由引理1知M的Sylowp-子群P的所有极大子群在M中弱s-置换嵌入，M满足定理的条件，由G的极小性知M为p-幂零群.

(3)G不是一个非交换的单群.

类似定理1的证明(2).

(4)G有唯一的极小正规子群N使得G/N是p-幂零的且Φ(G)=1.

设N为G的一个极小正规子群，考虑商群G/N.因为P是G的Sylowp-子群，所以有PN/N是G/N的Sylowp-子群.NG/N(PN/N)=NG(P)N/N是p-幂零群.如果|PN/N|≤p2,那么由引理5，G/N是p-幂零的.所以可设|PN/N|≥p3.再应用定理1的证明中(3)的方法可得结论.

(5)Op′(G)=1.

(6)下面分两种情况导出矛盾.

情形1：p>2.由于G不为p-幂零群，由[10]中推论知存在P的非平凡特征子群H，使得NG(H)不为p-幂零群.又P≤NG(H),若NG(H)p,则NQ为p-幂零群，从而Q≤CG(N)=N,矛盾.若q

情形2：p=2.如果Op(G)≠1,那么N≤Op(G).类似情形1的证明可得到|N|=p.由G/N为p-幂零群，可设L/N是G/N的正规p-补.由Schur-Zassenhaus定理，存在L的Hallp′-子群Lp′,使得L=NLp′,从而L是p-幂零的.又L的正规p-补Lp′也为G的正规p-补，故G为p-幂零的，矛盾,因此Op(G)=1.如果N∩P≤Φ(P),那么由J.Tate定理([9]，Ⅳ,4.7),N是p-幂零的.设Np′是N的正规p-补，那么Np′charN◁G,Np′◁G，Np′≤Op′(G)=1.因此N是p-群，N≤Op(G)=1,矛盾.因此存在P的一个极大子群P1使得P=(N∩P)P1.取P1的一个极大子群P2，由定理假设，P2在G中弱s-置换嵌入.于是存在G的一个次正规子群T和包含在P2中的G的一个s-置换嵌入子群(P2)se，使得G=P2T且P2∩T≤(P2)se.既然(P2)se在G中s-置换嵌入，则存在G的一个s-置换子群K，使得(P2)se为K的Sylowp-子群.若KG≠1,则N≤KG≤K.于是(P2)se∩N为N的Sylowp-子群.又(P2)se∩N≤P1∩N≤P∩N且P∩N为N的Sylowp-子群，故(P2)se∩N=P1∩N=P∩N,从而P=(N∩P)P1=(P1∩N)P1≤P1,矛盾.若KG=1，则由引理3，(P2)se在G中s-置换，故(P2)se◁◁G.文献[8]中推论1.10.17知，P2∩T≤(P2)se≤Op(G)=1,故|P∩T|≤p2.由于|G:T|是p的方幂，T◁◁G,故Op(G)≤T.由N的唯一性知N≤Op(G)≤T,从而N∩P≤T∩P,|N∩P|≤p2.显然P≤NG(P∩N)

参考文献：

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