浅谈地方师范院校代数课程体系的改革

刘 东， 高寿兰

（湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

浅谈地方师范院校代数课程体系的改革

刘 东， 高寿兰

（湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

近年来对高校代数学课程进行教学改革的研究已经被广泛关注，但大都只是局限于某一门课程．本文则对地方师范院校代数学三门主要课程《高等代数》、《近世代数》和《初等数论》整体上进行教学改革研究．将三门课程内容进行整合并重新编排体系后的教学实践证明，不仅激发了学生的学习兴趣，而且丰富了代数学的教学内容．

代数学；课程；改革

随着知识经济时代和信息时代的到来，高等教育发生了很多变化，数学教育教学的改革也在不断深入发展，涉及到课程重组、内容改造、学时调整等各个方面．近年来，高校代数学的教学改革被广泛关注，并取得了不少成果，其中把代数与几何结合起来的改革较多（见［1］，［2］等），但这些成果大都局限于某一门课程（如［3］等）．《高等代数》、《近世代数》和《初等数论》是高师数学专业代数学方向的三门主干课程，它们之间的联系非常紧密，内容互相交叉．而三门课的现行教材基本上各自独立，这就造成许多内容重复讲授，而有些各门课程间相互需要的内容却在教学过程中有所脱节．因此，仅对其中一门课程进行改革往往收效甚微．所以，将《高等代数》、《近世代数》和《初等数论》三门课程的整体作为研究对象，综合地对高师数学专业的代数学课程进行教学改革就成为一件非常有意义的工作．

1 代数学课程体系的问题与现状

结合高师院校的特点和笔者自己多年的教学实践，我们认为高师数学专业代数学方向课程设置和教学内容目前主要存在如下问题：

（1）课程设置的问题．

按照现在的课程设置，一般高校大一开设《高等代数》，大三（或大二）开设《近世代数》，大四（或大三）开设《初等数论》（有的是选修课）．按照这样的设置，三门课程教学各自独立，所需学时较多，而对于多数高校，三门课程中除了《高等代数》的教学课时比较充足，效果较好以外，其他两门课程的教学效果并不理想，《近世代数》的课时明显偏少，内容单薄，而《初等数论》是在第7或8学期开设，学生学习效果很差．这样代数学的教学显得头重脚轻，更谈不上选修一些代数学的补充内容．同时在实际教学过程中也出现这样一些问题：《高等代数》的多项式部分需要《初等数论》的整数的整除理论为基础，《近世代数》的群、环等部分需要《初等数论》中的整数的整除、同余理论为基础；《初等数论》的原根与指数理论、同余理论、代数数理论在《近世代数》中得到抽象、提高；《高等代数》与《初等数论》的学习过程中一直需要《近世代数》的思想方法作指导等．而在以往三门课程分别设置的情况下这些问题都难以解决．

（2）教学量的增加与教学课时减少的矛盾．

近来，各门数学课程的学时在不断压缩，《近世代数》课程就由每周4课时减为3课时．但由于数学学科自身的迅速发展，很多新的知识和数学思想要充实到各门课程，并要传授给学生．这就使得教学量大与学时不够的矛盾愈来愈突出．而这三门课程中许多内容是前后逐步引入、加深从而发展起来的．特别指出的是这三门课程中的整除理论、同余理论、代数数理论、因式分解理论等在代数学教学中显得尤其重复，浪费了许多课时．如何对课程的教学内容进行优化、整合，更好的把它们当作一个整体而不是三个个体进行教学，既可以节省课时，又能取得较好教学效果，这就是本课题研究的立足点．

（3）三门专业课之间的教学相互脱节．

《高等代数》、《初等数论》与《近世代数》本就是互为紧密联系的一个整体，但是在现在的课程体系安排中则很少体现，教学中一般交叉性的学习研究很少．这就造成了有的学生往往只对其中部分课程、部分内容感兴趣，对数学的理解不够深刻，不利于学生的进一步学习．这样在代数学这一传统方向上学生的学与教师的教都显得愈来愈困难，再加上代数学的抽象性，许多学生都放弃了代数学的进一步学习．事实上，这三门课的联系是非常紧密的，在教学中如何加强这三门课程之间的内在联系也是当前教学研究中一个很重要的问题．

2 代数学课程体系设置的改革设想

综合以上出现的各种问题与矛盾，从总体上对高师数学专业代数学主干课程《高等代数》、《近世代数》和《初等数论》系统地进行综合改革，是当前摆在我们面前的一个十分迫切的任务．对这些课程的课程设置、教材建设与教学改革进行研究论证，调整课程设置、适时编写打通这三门课程的一体教材、结合现代教学方法进行教学改革是一项很有意义的工作．事实上有的学校已经在这方面做出了许多尝试，如中国科技大学、清华大学都在第一学期开设一个周二学时的《初等数论》的短课（见［4］）．但是针对普通师范院校的学生，这样的改革还远远不够．结合高师院校的特点和多年的代数学的教学实践，我们主要进行以下几个方面的改革．

（1）合理地根据学科特点，进行代数学课程体系设置的改革．

近年来，传统的《高等代数》、《初等数论》与《近世代数》三门代数学课程的设置矛盾日益突出．甚至在一段时期由于教学时间的紧缩，取消了《初等数论》这一必修课程．这样在代数学这一传统方向上学生的学与教师的教都显得愈来愈困难．而代数学的学习直接决定学生的数学学习，所以这个问题越发显出其严重性．为了解决这个问题需要对这三门课程的课程设置进行改革，理顺三门课程之间的关系，需要根据三门课程内容的实质合理地进行科学设置，建立一套合理的代数学课程体系，既有利于代数学的学习，更有利于学生整体的数学学习．为此，我们将三门课的主要内容按如下顺序进行教学：整数的整除理论（另外补充自然数、复数的有关知识）……行列式、矩阵、线性方程组……向量的线性关系、线性空间……多项式……线性变换……欧氏空间……整数的同余理论初步、等价关系……群、环、域初步……整数的同余理论续……群、环、域初步的进一步讨论……初等数论补充……近世代数补充．

（2）结合三门课程的特点，逐步编写适合现在教学需求的教材、讲义．

在前几年基础课教材建设的基础上，把《高等代数》、《初等数论》、《近世代数》（四个学期内容）统一编写为一套教材《代数学》的四个分册（分别在1－4各学期开设）．这样就能把三门课程的内容理顺．不论教师的教，还是学生的学，都遵循一个逐步提高的原则，按照内容的实质，逐步加深、提高，体现现代代数学的需求．而且内容整编以后若保持原学分、课时基本不变，则可以增加许多教学内容，而增加的这些内容正是进行代数学进一步学习的关键内容，对中小学数学教材研究也有重要的指导作用．若这套教材编写成功，将很好地整合和优化现在代数学的教学内容，将极大的缓解教材与教学内容的矛盾，缓解学时与教学量的矛盾．这必将为高师院校数学专业课程的教学提供很好的帮助．

（3）积极稳妥地进行更新教学内容的尝试．

近年来，代数学的发展进入一个高速时期，而传统的内容某些方面已经不适应教学的需要．这就需要在教学过程中尽量把一些国内外成熟的教学研究成果融入教学中，同时突出知识的应用性．在《代数学1－4》的教学过程中，除了保持在数学基本训练上严格要求的传统外，要更注重因材施教，注重应用背景与相关成果的介绍，注重整个课程体系的建立，以培养学生良好的数学素养．这样就能更好地解决教材落后于教学内容的矛盾．如在《代数学4》中，可以补充“尺规作图”等部分内容，介绍了“尺规作图”中的几何三大难题（三等分角、圆化方、倍立方）．一方面，这体现了近世代数的巨大威力，因它本身就是近世代数应用的一个极好例子；另一方面，对数学系学生而言，这也是一个“必知”的内容，对指导他们将来的中学数学教学有很大的帮助．

3 新课程体系将带来数学思想方法的提升

在大学代数课程中许多数学思想方法的形成是一个螺旋式的逐步提高的过程，如果三门课的教学脱节，则许多重要的代数思想方法得不到提升和发展．下面我们就代数中一些思想方法的形成过程分析新课程体系的作用．限于篇幅，这些思想方法不能展开叙述．

（1）代数运算：从复数的四则运算到矩阵、多项式运算，再到剩余类、置换的运算等，最后到抽象的代数运算，这就是代数课程体系中代数运算这一思想的主要形成过程．

（2）代数系统：从最简单的数环、数域到多项式环、矩阵环、向量空间，抽象到群、环、域等概念，再返回到初等数论中进行运用．

（3）映射与函数：从最初的映射、函数到向量空间的线性变换、欧氏空间的各种特殊线性变换，再到抽象代数中的代数同态等，这是一个逐步提高抽象的过程．

（4）等价关系与分类：整数同余、矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似、抽象的等价关系．

（5）整除的思想：唯一分解、最大公因式、带余除法等概念与理论从整数，到多项式环、到抽象的整环，步步抽象提高．

（6）元素的阶与生成元．

（7）极小多项式：实数的极小多项式、矩阵的极小多项式、抽象元素的极小多项式．

（8）向量空间：向量空间——扩域．

（9）向量的线性关系：从具体到抽象．

（10）同余：整数同余到一般同余．

（11）N次单位根：多项式理论、循环行列式计算、其生成的群．

（12）代数数与超越数：从第一次接触数域时就可以体会集合的区别，到初等数论的代数数与超越数，最后到域的扩张中的一般理论．

以上这些线虽然是隐形的，但贯穿整个代数课程的教学过程中．而且这些思想方法的形成过程都是一个逐步抽象，及时提高应用的过程．在教学中及时总结这些方法，对学生的学习一定能起到较大的促进作用．

总之，随着现代数学的发展，代数学发展呈现出抽象化、综合化趋势，因而，其难度也就越来越大．这使得代数学的更新、提高，与学生的可接受性之间不可避免地产生尖锐矛盾．显然，我们不应该为了迁就学生的接受能力而不提高代数学的现代化水准．但是，我们也不应该不顾学生的实际水平而片面地追求现代化内容，要处理好课程内容的现代化水准与学生的可接受性之间的关系，在学生可接受的前提下，最大限度地改革代数学课程内容体系，提高其现代化水平，对于提高代数学的教学质量一定能起到较大作用．

［1］ 张肇炽，叶正麟．“代数与几何”课程及教材的若干设想与初步实践［J］．数学教育学报，8（3）：90－94．

［2］ 陈继华．几何代数的结合与线性代数课程改革的思考［J］．中国电力教育，2008，7（4）：44－45．

［3］ 顾沛．“抽象代数”教学中的素质教育［J］．大学数学，2006，22（3）：9－13．

［4］ 冯克勤．高校代数教学的一些实践与思考［J］．高等数学研究，2006，9（4）：2－5．

G423

C

1672-1454（2010）增刊1-0129-03

浙江省新世纪教改项目（yb07109，zc09063）；湖州师范学院教改重点项目（2009JY006）