淡化形式注重实质——工科数学教学漫谈之一

吴 江，刘 春，孟世才

（1.重庆邮电大学 数理学院高等数学教学部，重庆 400065；2.重庆合川行知职业中学，重庆401520；3.重庆教育学院 经济贸易系，重庆400067）

淡化形式注重实质
——工科数学教学漫谈之一

吴 江1，刘 春2，孟世才3

（1.重庆邮电大学 数理学院高等数学教学部，重庆 400065；2.重庆合川行知职业中学，重庆401520；3.重庆教育学院 经济贸易系，重庆400067）

在工科数学教学中，应淡化知识、概念的形式化描述，注重实质掌握；应淡化知识的量的积累，注重学力形成；注重数学的人文价值。

工科数学；实质掌握；学力形成；人文价值

工科数学教育是高等工程教育的重要基础课之一，它不但为后继课程提供知识上的准备和思维上的储备，而且在学生的创新个性，如好奇心、想象力、直觉、敢于追问、探索精神等品质的形成过程中起着举足轻重的作用。但在传统的工科数学教学中，过分追求逻辑结构的自封以及形式计算的技巧，过分地强调解题技巧的训练和运算能力的培养，反而会冲淡工科数学教育的本质，不利于学生创新素质的培养，为此，需“淡化形式，注重实质”。

1 淡化知识、概念的形式化描述，注重实质掌握

数学的一个重要特点就是形式化，如形式化的纯文字叙述、形式化的表示、形式化的推理、形式化的演算，达到极致便是希尔伯特的形式主义了。但是形式化是有限度的，希尔伯特的形式主义已被证明不可能，而且特别是一切创造性的数学思维活动往往是直觉的、非形式化的、非逻辑的。

至于在工科数学教育中，数学不应仅是作为科学的数学，而更应是作为学科的数学；数学教学更应关注的是数学的教育形态，而不仅是数学的科学形态，因此，在进行由数学的科学形态向数学的教育形态转变过程中，对知识、概念的非形式化处理已成为必不可少的手段，问题是如何掌握以使之适当。例如，“函数的极限”定义是整个高等数学的基础理论，其极抽象的“ε-N，ε-δ”定义方式也使许多初学者望而却步，许多学生学完整个高等数学后，虽学会了不少求极限运算的技巧，但仍对极限的定义和实质云里雾里。讲授它时，先让学生观察一些实例，可直观得出这样一个现象“当自变量 x（或 n）有某种趋近过程时，因变量 f（x）（或 xn）无限趋近于常数A”，再鼓励学生尝试用数学语言来严格刻画该现象，其中最主要是刻画“无限趋近”，从而得到极限定义，即“limf（x）＝A⇔对于∀ε＞0，都时刻，使得此时刻以后恒有｜f（x）-A｜＜ε”，因在“自变量的趋近（运动）过程”中，“时刻”与“位置”、“距离”（选一固定点为参照点）一一对应，这样再来理解“自变量的七种趋近过程”中的“时刻”、“时刻以后”的具体表达形式就容易了，这样从直观到抽象，从现象到本质符合学生的思维顺序，七种极限的统一定义有助于学生掌握极限的定义及本质。

所以，“淡化形式，注重实质”就是允许非形式化，不要把知识、概念的形式化语言描述看得过分神圣，不要过分注重概念形式上的系统性、准确性、完整性，教学的重点和实质在于对他们的理解和领悟，用建构主义的观点说，就是要深层理解。其深刻程度可以用几项指标刻画：能否用自己的语言解释、表述和与他人交流所学的知识；能否基于这一知识作出推论和预测，从而解释相关的现象；能否用这一知识解决变式问题和综合性问题；能否将所学知识迁移到新问题中去。

2 淡化知识的量的积累，注重学力形成

其实，我们还可以进一步深层次探讨，“淡化形式，注重实质”所关注的不单是注重对知识、概念的实质掌握以及知识的量的积累，而更是注重在这个掌握过程中学生所获得的“学力形成”，即（1）学习欲望、学习意念；（2）学习方法，也就是说首先要学会发现问题，为探究问题而产生学习欲望和学习意念，然后思考如何学习从而自己产生学习方法。

杜威说，我们生活在一个向前发展中的世界，在这个世界上，我们的主要任务是展望未来，而回顾过去——一切知识和思想不同，它是回顾过去的——的价值在于使我们可靠地、安全地和有成效地应付未来。布鲁姆等也这样认为，学习不仅应学到应学的东西，而且应该使尔后的学习更容易；学习不仅是为了现在，而且是为了将来；在不断变化的将来社会中，此时的解决方法可能不适合彼时的问题，而且遇到的问题也不会一样的，在传授知识和发展能力之比较中，教会学生解决问题的方法，培养学生把知识应用于新情况的能力就显得更为重要，这也符合学习化社会和终身教育的要求。因此，学校里的教学要把发展放在首位，“要帮助每个学生获得最好的智力发展”，“促使所有的学生充分利用他们的智力”，具体学科知识的学习的主要目的及功能更在于引导学生从“学会”到“会学”，即“学会学习”，从而获得可持续发展的思想意识和思维基础。

再者，知识并不是对现实的准确表征，而只是一种解释和假设，学习者根据自己的经验背景，以自己的方式建构对知识的理解，不同的人看到的是事物的不同方面，因此对于世界的理解和赋予意义由每个人自己决定，而不存在惟一标准的理解。所以，从个人角度考虑，课本知识只是作为一种假设二解释世界的“模板”，在解决问题时并非拿来即用，一用就灵，却是要根据具体情况进行再创造。因而，学习过程不仅是学习知识的过程，而更是学会学习和创造的过程；学习目标不仅在于获得正确的认识成果，而更应在于认知活动方式和认识能力的形成。

日本数学教育学家米山国藏先生曾深刻地指出“不管他们从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法，研究方法，推导方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受益终生。”因此，作为高等工科院校的公共基础课之一的工科数学教育的核心不仅仅是通过学习数学学科知识为以后专业课的学习作知识上的积累，更是让学生在学习数学学科知识过程中学会数学化，初步形成“数学头脑”，能用基本的数学思维、数学手段和数学方法分析和解决数学具体问题以及其他一些现实问题，为以后专业课的学习作学习能力和思维能力上的储备。用弗赖登塔尔的话说就是“与其说让学生学习公理体系，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化；与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化”。

3 注重数学的人文精神

再往进一步深追问，就涉及工科数学教育的终极追求究竟是什么？难道就仅仅是其工具性和应用性吗？我们先来看看教育的本质是什么，教育是人类组成社会的产物，其为社会的功能，终为人的自身生长之必须，所以教育的终极追求是提高人的精神境界，以达人格之健全。

再来看看数学的价值是什么，数学曾经被认为是精确论证的顶峰、探索宇宙秘密的工具和真理的化身、是关于宇宙设计的真理。现在尽管数学赋予人类的理性力量和严密推演动摇了数学是真理的化身的信念，但数学中的探索与反思、证明与反驳、理性精神成就了数学的人文价值，也使得数学成果对人类社会精神方面的影响已超过对数学自身的影响，它对认识观、时空观、伦理观乃至人生观都产生了巨大的作用。美国数学教育家克莱因曾说，音乐能激发或抚慰情怀；绘画使人赏心悦目；诗歌能动人心弦；哲学使人获得智慧；科技可以改善物质生活；数学却能提供以上一切。这既能演绎出数学的科技价值，又能演绎出数学的人文价值。

由此，在工科数学教育中，在传授知识、培养能力的同时，也应注重数学人文精神的渗透，比如，在讲“微积分”时补充“三次数学危机”、讲“无穷级数”时补充“潜无限与实无限之争”等。而且我们的数学教学也应着力于问题探究式教学，以培养学生勇敢探索与勤奋进取的精神；着力于反思追问性教学，以培养学生探究、质疑与理性的精神。

［1］涂荣豹、喻平.建构主义观下的数学教学论［J］.南京师范大学学报（社会科学版）.2001（2）.

［2］赵祥麟、王承绪编译.杜威教育论著选［M］.上海：华东师大出版社.1981.

［3］毛中正等译.［日］米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社.1986.

［4］唐瑞芬、陈昌平译.弗莱登塔尔.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社.1995.

［5］北京大学译.克莱因.古今数学思想［M］.上海：上海科学技术出版社.1980.

［责任编辑 王南山］

Diluting form and focusing on substance——on engineering mathematical teaching

WU Jiang1， LIU Chun2， MENG Shi-cai3，
（1.Department of Higher Mathematics Teaching， College of Mathematics， Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065， China；2.Xingzhi Vocational Middle School， Hechuan 401520， Chongqing， China；3.Department of Economics and Trade， Chongqing Education College， Chongqing 400067， China）

In the teaching of engineering mathematics， we should weaken the formalized description of knowledge and concepts and stress the actual mastery， play down the quantitative accumulation of knowledge and focus on the formation of learning； and pay great attention to the humanistic value of mathematics.

engineering mathematics； actual mastery； learning formation； humanistic value

G642

A

1008-6390（2010）06-0039-02

2010-06-10

吴江（1975-），男，四川巴中人，硕士，讲师，主要从事大学数学教育研究；刘春（1982-），女，四川人，主要从事中职教育；孟世才（1963-），男，重庆人，副教授，主要从事数学教育研究。