一类复合函数的广义凸性

贲天璐， 李东升，2*， 魏彦吉，2， 陆 晶，2， 王 洋

（1.长春工业大学基础科学学院，吉林长春 130012;2.吉林农业大学发展学院，吉林长春 130600）

0 引 言

推广凸规划中的重要结果，一个主要的方面是将涉及的凸函数推广为各种意义下的广义凸函数，伪凸函数和拟凸函数是凸函数的两种重要的推广，它们在全局优化理论中有重要的应用[1-4]。文中主要讨论一类复合函数的伪凸和拟凸性。首先为伪凸函数、严格伪凸函数、拟凸函数、严格拟凸函数和强拟凸函数定义，然后为利用相关定义证明复合函数在一定条件下的伪凸性、严格伪凸性、拟凸性、严格拟凸性及强拟凸性，并给出了若干例子[5-8]。

1 预备知识

定义1[1]令X⊂Rn是一非空开凸集，f:X→R1是一可微的实值函数。

1）如果对任意两点x1，x2∈X，满足

时，都有f（x1）≥f（x2），则称 f是X中的伪凸函数。

2）如果对任意两点x1，x2∈X，且 x1≠x2，满足

时，都有f（x1）＞f（x2），则称 f是X中的严格伪凸函数。

其中，▽f是f的梯度。

定义2[1]令X⊂Rn是一非空开凸集，f:X→R1是一实值函数，如果对任意两点 x1，x2∈X及任意λ∈（0，1）有

则称 f是X中的拟凸函数。

定义3[1]令X⊂Rn是一非空开凸集，f:X→R1是一实值函数，如果对任意两点x1，x2∈X，且f（x1）≠f（x2）及任意λ∈（0，1）有

则称 f是X中的严格拟凸函数。

定义4[1]令X⊂Rn是一非空开凸集，f:X→R1是一实值函数，如果对任意两点x1，x2∈X，且x1≠x2及任意λ∈（0，1）有

则称 f是X中的强拟凸函数。

2 主要结果

定理1 设 f（x）为X⊂Rn上的伪凸函数，φ（y）是R上的单调增函数且可微，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的伪凸函数。

证明 由题意，对任意x1，x2∈X，如果

则由φ′（y）≥0，知

再由f（x）的伪凸性知

从而有

即

故

成立时，都有

定理2 设f（x）为X⊂Rn上的严格伪凸函数，φ（y）是R上的严格单调增函数且可微，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的严格伪凸函数。

证明 由题意，对任意x1，x2∈X，且x1≠ x2，如果

由φ′（y）≥0，知

再由 f（x）的严格伪凸性知

从而

即

故

成立时，都有

定理3 设 f（x）为X⊂Rn上的拟凸函数，φ（y）是R上的单调增函数，则复合函数h（x）= φ[f（x）]是X上的拟凸函数。

证明 由题意，对任意 x1，x2∈X及任意λ∈（0，1），总有

则

即

定理4 设f（x）为X⊂Rn上的严格拟凸函数，φ（y）是R上的严格单调增函数，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的严格拟凸函数。

证明 由题意，对任意两点x1，x2∈X，且f（x1）≠f（x2）及任意λ∈（0，1）有

则

即

定理5 设f（x）为X⊂Rn上的强拟凸函数，φ（y）是R上的严格单调增函数，则复合函数h（x） =φ[f（x）]是X上的强拟凸函数。

证明 仿定理4证明即可。

3 举 例

例1 已知f（x）=-lnx，X⊂Rn，φ（y）=ey，y∈R1，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的伪凸函数。

证明 由题意，对任意x1，x2∈X，如果

则由φ′（y）=ey≥0，知

由f（x）的伪凸性可知

从而有

即

故

成立时，都有

例2 已知 f（x）=lnx，X⊂Rn，φ（y）=ey，y∈R1，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的严格伪凸函数。

证明 由题意，对任意x1，x2∈X，且x1≠x2，如果

由φ′（y）=ey≥0，知

再由 f（x）的严格伪凸性知

从而有

即

故

成立时，都有

例3 已知f（x）=-x，X⊂Rn，φ（y）= lny，y∈R1，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的拟凸函数。

证明 由题意，对任意 x1，x2∈X及任意λ∈（0，1），总有

则

即

例4 已知f（x）=x，X⊂Rn，φ（y）=lny，y∈R1，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的严格拟凸函数。

证明 由题意，对任意两点x1，x2∈X，且f（x1）≠f（x2）及任意λ∈（0，1），总有

则

即

例5 已知 f（x）=ex，X⊂Rn，φ（y）=lny，y∈R1，则复合函数h（x）=φ[f（x）]是X上的强拟凸函数。

证明 由题意，对任意两点x1，x2∈X，且x1≠x2及任意λ∈（0，1），总有

则

即

4 结 语

广义凸函数在最优化理论中有重要的应用。文中对单调函数和复合函数的广义凸性进行了讨论，得到了相关的结论。关于广义凸函数中更多的性质还需进一步研究。

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