单壳体潜艇壳体结构损伤后的屈曲分析

周素莲，聂 武，彭 懿

(哈尔滨工程大学 船舶工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

现代潜艇的战术使命要求其隐蔽地接近攻击目标，最大限度地发挥自己的精确打击优势，完成战斗任务，并具有耐受敌方攻击的良好性能，在受损条件下保证潜艇尽快撤出战斗，保存自己，以便修复后继续使用.由于没有外壳的保护，单壳体潜艇比双壳体潜艇更易受到损伤，如碰撞、搁浅、战时的武器命中和爆炸冲击都会导致壳体结构的破损.本文的目的在于充分考虑潜艇遭受水下爆炸攻击后，壳体出现塑性变形但没有被击穿的情况下，针对单壳体潜艇耐压壳体结构稳定性对几何尺寸和材料特性的敏感性，研究艇体的极限承载能力.从而为各系统生命力评估提供量化依据，也为艇体结构耐压性和修复性提供依据.本文研究的耐压壳仅限于纵环加筋的圆柱形壳体，因此问题实质上是圆柱壳的屈曲，受各种不同力和边界条件约束的圆柱壳非线性屈曲问题，国内外已有大量研究.国外，L.H.Donnell等［1］引入缺陷因子的概念讨论了缺陷对轴压薄壁圆柱壳屈曲的影响;Izhak Sheinman等［2］给出了几何缺陷纵环加筋圆柱壳在轴压作用下的屈曲数值解;Yamaki［3］系统地研究了受各种不同力和边界条件约束的圆柱壳的弹性屈曲等等.国内，王晓天［4］、刘涛［5］也对圆柱壳屈曲进行了多方面分析;周承倜［6］和陈铁云［7］研究了具有初始缺陷的环肋圆柱壳在均匀静水压力作用下的弹塑性屈曲等.虽然国内外对圆柱壳的屈曲有了一定的研究，但对具有初始缺陷的纵环加筋圆柱壳在均匀静水压力作用下的弹性屈曲的研究还比较少，本文就从这方面展开研究.

1 坐标和挠度函数的选取

图1规定了本文所采用的坐标系统:x轴沿壳体中面的母线方向，y轴沿壳体横截面的周向，为一曲线坐标，z轴沿横截面的径向，以正对圆心为正，xyz构成一正交的右手坐标系统.

图1 单壳体潜艇耐压壳坐标系Fig.1 Coordinate system of mono-shell submarine pressure hull

在这个坐标系下，壳体沿x向的曲率为零，沿y向的曲率为1/r，中面上的点沿坐标轴3个方向的位移分量分别用u、v、w表示，其中u沿x向称为轴向位移，v沿y向称为周向位移，w沿z向称为径向位移.

潜艇舱壁的刚度很大，因此将边界条件定为简支边界条件.根据文献［8］并结合边界条件，本文应用大挠度分析方法讨论艇体损伤后的弹塑性屈曲时，取大挠度位移函数为

式中:w为沿z向的径向位移，f为挠度幅值，括号内的第1项表示小挠度屈曲波形，第2项表示翘曲波形，L表示壳长.

在此，假定损伤艇体初始缺陷挠度w0的波形与w相似.因此，w0的函数表达式如下:

式中:f0、δ0是初挠度的幅值，可根据实际情况给定.

2 具有初始挠度艇体外壳大挠度弹性屈曲分析

2.1 基本假定

本文的理论推导基于以下基本假设:

1)薄壳很薄.厚度h与壳半径r和壳长L相比为一小量，即h/r≪1，h/L≪1.

2)应变ε充分小，即ε≪1.壳体的材料是弹性的，材料各向同性，并且满足胡克定律.

3)直线法假设.薄壳变形前垂直于中面的直线变形后仍为直线，且垂直于中面.z向应变εz=0.

4)中面法线方向上的应力与其他方向上的应力相比可以忽略，即σz=0.

5)采用唐奈尔(Donnell)简化.即忽略中面位移u、v对壳体曲率改变及扭率改变的影响.w导数的二次方与应变是同阶量，即

6)位移u、v很小，壳体法向位移w与壳体厚度是同阶量，即|u|≪h，|v|≪h，|w|=0(h).

2.2 基本方程

2.2.1 几何方程

考虑初挠度的Von Karman-Donnell中面大挠度位移方程如下:

壳体中任意一点的应变与中面应变之间的关系式为

2.2.2 物理方程(本构方程)

认为肋骨和纵骨的变形与柱壳一致.即肋骨和纵骨的位移函数同壳体一致.

2.3 内力和内力矩

从潜艇外壳上取出一块dxdy大小的单元，作用在该单元上的各内力与内力矩如图2所示

图2 内力与内力矩分布图Fig.2 The forces and moments on an element

各内力定义如下:

2.4 应变能与外力势能

2.4.1 潜艇外壳应变能

艇体外壳是圆柱形壳体.所以只需推导圆柱形壳体的应变能公式，就知道了艇体的变形能公式.利用弹性体应变能的一般式子，即

在这里，如同在板的弯曲理论中一样，由于根据在薄壳理论中所作的直法线假设，所以应该γyz=γzx=0.此外，与应力σx和σy相比，忽略正应力σz的值，即取σz=0就得艇体外壳板的应变能的表达式如下:

将式(4)、(5)代入式(13)中，并沿厚度积分得

2.4.2 纵向加强筋应变能

纵向加强筋位置及横剖面图如图3所示.

图3 纵向加强筋位置及横剖面图Fig.3 The position and transverse section drawing of longitudinal stiffening ribs

认为纵筋处于单向受力状态，如果纵筋分布足够密且大小一致，均匀分布，不考虑纵筋偏心和扭转变形时，整个艇体纵筋的应变能可以写为

式中:Ix为纵筋和附连壳板惯性矩，Ax为纵筋横截面积，b为纵向加强筋间距.

2.4.3 肋骨应变能

肋骨位置及横剖面图如图4所示.

认为肋骨处于单向受力状态，如果肋骨分布足够密且大小一致，均匀分布，不考虑肋骨偏心和扭转变形时，整个艇体肋骨的应变能可以写为

式中:Iy为肋骨和附连壳板惯性矩，Ay为肋骨横截面积，a为肋骨间距.

图4 肋骨位置及横剖面图Fig.4 The position and transverse section drawing of ribs

2.4.4 外力势能

外力势能Vf的表达式可以写为

综上所述，艇体结构总势能Π(u，v，w)的表达式如下

2.5 变分法求平衡方程和协调方程

当艇体外壳处于平衡状态时，在满足边界条件的情况下，总势能Π(u，v，w)的一阶变分等于零.因此:

艇体壳板应变能的变分:

纵筋应变能的变分:

环肋应变能的变分:

外力势的变分:

几何方程的变分:

将式(20)～(24)代入式(19)，利用高斯定理，得到

式(25)中的前一项是平衡条件，后一项是自然边界条件.显而易见，通过设置Li=0(i=1，2，3)和B=0使上式得到满足.由此得到平衡方程:

式(26)中各力和力矩的表达式如下:

将式(6)～(11)代入式(27)，得到

其中:

由式(28)中的前3个式子得到

其中:

现在引入应力函数.设应力函数为F(x，y)，且F(x，y)满足下列关系:

变形协调方程可以通过几何方程推导，利用式(29)和挠度函数，应力函数就可以解出，具体过程如下.

根据几何方程(3)，消去方程中的u、v项，并引入缺陷因子，可得到

将式(29)代入式(31)，再利用应力函数F(x，y)，可得到

将屈曲挠度函数式(1)代入式(32)，由参考文献［6，8-9］可解得

式中:p1为周向均布压力，p2为轴向均布压力.式中各系数的表达式如下:

2.6 里兹法求临界载荷

假设屈曲前，即前屈曲状态，艇体外壳在均匀静水外压力p=q作用下处于无矩应力状态，那么膜应力如下:

受损后的潜艇壳体，在静水外压下的总应变能VS通过下式计算:

将式(28)、(29)代入式(35)中就得到受损壳体的总应变能表达式如下:

利用应力函数F(x，y)和几何方程就可以解出上式:

其中:

根据文献［7-8，10］静水外压力做功可以分为纵向压缩力p1做功和横向压缩力p2做功，分别计算如下.

为了研究外力在壳偏离其初始平衡位置时所做的功，从壳中截取单元体来研究.单元体的边长分别为dx和dy，在其纵横剖面上分别受压缩力p1和p2作用，如图5所示.

图5 单元体上力的作用图Fig.5 The forces on the element

1)纵向压缩力p1所做的功:

2)横向压缩力P2所做的功:

将w的表达式(1)代入式(38)、(39)可得外力做功的表达式为

而依据计算所得的外力功和总应变能VS得总能量的表达式如下

如果将f和δ均视作为未知变量.根据里兹法，将Π分别对f和δ求偏导数:

3 实例计算

模型数据来自于文献［10］，本文只将纵筋的位置调整为内加筋.模型为纵横加筋圆柱壳，使模型的结构形式与单壳体潜艇耐压壳的结构形式一致，其尺寸如下:壳体半径R=850 mm;壳体长度L= 500 mm;壳体厚度t=4 mm;肋骨共有11根，间距L=46mm;肋骨尺寸:S1=δ×h=6 mm×21 mm= 126 mm2;纵筋位于圆柱壳内侧，共24根，沿圆周均布，间距 b=222.5 mm;纵筋尺寸，S2=δ×h= 4 mm×15 mm=60 mm2.所采用的材料常数如下:材料屈服极限均为σS=784 MPa，材料的弹性模量E=2.0×105MPa，材料的泊松比μ=0.3.

将模型数据的材料参数代入式(42)中，分别计算了f0=0，0.4，0.8，1.6，2.4，3.2 mm这6种不同初挠度下的载荷值，并绘制了载荷挠度曲线.所有计算在Mahematica5.2［11］中完成，计算结果在表1和图6中列出.F是挠度幅值，q是载荷.

表1 初挠度幅值与上临界载荷Table 1 Amplitude of initial deflections and the first critical loads

图6 载荷－挠度幅值曲线Fig.6 Load-amplitude of deflection curves

4 结论

1)当初挠度为零，单壳体潜艇耐压壳的临界压力大挠度解与小挠度解一致，表明完美耐压壳的临界压力可由小挠度分析得到;

2)对于结构受损后的耐压壳，表现为极值点屈曲，载荷随挠度幅值增加到局部极大值后，随着挠度幅值的增大反而减小;

3)随着损伤程度加深，即初挠度幅值的增大，耐压壳的临界压力减小，表明耐压壳的承载能力下降;同时随着损伤程度加深，极值点变得越来越不明显，极值点屈曲问题渐渐转变为强度问题.

［1］DONNELL L H，WAN C C.Effect of imperfections on buckling of thin cylinders and columns under axial compression［J］.Journal of Applied Mechanics，1950(3):72-83.

［2］SHEINMAN I，SIMITSES G J.Buckling analysis of geometrically imperfect stiffened cylinders under axial compression［J］.AIAA Journal，1976，15(3):374-382.

［3］YAMAKI N.Elastic stability of circular cylindrical shells［M］.The Netherlands:Elsevier Science Publishers B.V，1984:56-74.

［4］王晓天，姚文，梁超.不同纵横均匀外压作用下环肋圆柱壳稳定性分析［J］.哈尔滨工程大学学报，2007，28(10): 1079-1083.

WANG Xiaotian，YAO Wen，LIANG Chao.Research on stability of ring-stiffened cylindrical shells under uniform lateral external pressures［J］.Journal of Harbin Engineering University，2007，28(10):1079-1083.

［5］刘涛.大深度潜水器耐压壳体弹塑性稳定性简易计算方法［J］.中国造船，2001，42(3):8-14.

LIU Tao.Simplified method of inelastic buckling analysis of deep submersible pressure hull［J］.Shipbuilding of China，2001，42(3):8-14.

［6］周承倜.薄壳弹塑性稳定性理论［M］.北京:国防工业出版社，1979:153-162.

ZHOU Chengti.Elastic-plastic stability theory of shell［M］.Beijing:Defense Industry Press，1979:153-162.

［7］陈铁云，邵文蛟.加环肋圆筒形薄壳在静水外压力下的总体大挠度塑性稳定性及初挠度对其影响［J］.中国造船，1979(3):59-78.

CHEN Tieyun，SHAO Wenjiao.The general plastic stability theory of ring-stiffened cylindrical shells with large deflection under external hydrostatic pressure and the influence of initial imperfections on their instability［J］.Shipbuilding of China，1979(3):59-78.

［8］周承倜.环肋圆柱壳在均匀静水外压力下的弹塑性失稳［J］.大连工学院学报，1973(1):95-125.

ZHOU Chengti.The elastic-plastic instability of cylindrical ring-stiffened shells under hydrostatic pressure［J］.Journal of Dalian Engineering Institute，1973(1):95-125.

［9］吴连元.板壳稳定性理论［M］.武汉:华中理工大学出版社，1996:153-160.

WU Lianyuan.The stability theory of plates and shells［M］.Wuhan:Huazhong University of Science and Technology Press，1996:153-160.

［10］王林，谢祚水.纵横加肋耐压圆柱壳结构的稳定性［J］.华东船舶工业学院学报，1998(10):21-24.

WANG Lin，XIE Zuoshui.The structural stability of longitudinal-transverse stiffened and pressed cylindrical shell［J］.Journal of East China Shipbuilding Institute，1998 (10):21-24.

［11］丁大正.Mathematica5在大学数学课程中的应用［M］.北京:电子工业出版社，2006:51-68.

DING Dazheng.The application of Mathematica5 in advanced mathematics curriculum［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2006:51-68.