范例教学在离散数学教学中的应用

罗佩芳,黄 赞

(1.广东培正学院 计算机科学与工程系, 广东 广州 510830;2.广东培正学院 人文学科与基础教学部, 广东 广州 510830)

离散数学是计算机科学的重点基础理论课程.随着时代的发展，各行各业对计算机的需求越来越大，因此作为支撑学科的离散数学的学习也变得越发重要.离散数学课程具有内容广泛，理论抽象，专业应用性强等特点，它所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在数据结构、数据库系统、编译原理、人工智能、计算机体系结构、算法分析与设计、软件工程、多媒体技术、数字电路、计算机网络等专业课程以及信息管理、信号处理、模式识别、数据加密等相关课程中.离散数学的相关知识非常有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养.这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的，也为学习计算机科学的后续课程、从事科研或工程技术工作以及进一步提高科学技术水平奠定理论基础.针对计算机科学专业以及离散数学课程本身的特点，在实践教学中，如何能使学生更好地学懂相关知识，培养良好的逻辑性思维和创造性思维，成为教学中一直在攻克的难题.范例教学作为一直很受欢迎的教学模式在许多课程教学中都有应用，在离散数学中恰当地运用范例教学模式同样可以得到非常理想的教学效果.

1 范例教学在离散数学教学中的积极作用

在离散数学教学中，一个恰当的实例，可以对教学过程起到非常积极的作用，主要表现在以下方面.

1.1 运用范例教学有利于激发学生的求知欲望[1]

在数学家的眼中，离散数学很美，离散数学很有意思，可是在学生眼中离散数学却很枯燥，很没兴趣.“兴趣是最好的老师”，布鲁纳曾经指出，最好的学习动机是学生对研究的东西有着内在的兴趣，学生一旦对所学知识产生兴趣，就会产生愉悦的情绪，从而集中注意力去积极地思考问题.

在实际教学中以实例作为课程引入可以很好地激发学生的求知欲望.讲到图论部分时，在介绍抽象概念之前，先举哥尼斯堡七桥问题[2]作为引入.当说明这个问题的背景后，提出哥尼斯堡问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？当描述完问题后，学生们都跃跃欲试，在练习纸上不停地勾画，这样的引入使学生产生深厚的兴趣，带着想要解决问题的求知欲望，进而悦然接受知识，然后教者再将哥尼斯堡七桥问题转化为对应的图和图论问题，既介绍了数学史的知识，又引入了欧拉图的一个重要背景.抽象的概念总是相对难以理解和接受，而生动的实例总是更引人入胜的.从而能很大程度上激发学生的求知欲望.

1.2 运用范例教学有利于对理论知识的深入理解

在离散数学中概念非常多，很多理论也相对很抽象，学生很难理解，特别是一些有关运算方法理论的教学，方法理论讲清楚了，学生会做运算了，但是如果没有一些相对应的实例进行实际应用去加深知识的理解，学生学过不用多久，如果两周时间不提这个知识点，就会差不多忘记了，不能真正地建构到学生自己的知识体系中.面对这一问题，范例教学是很好的解决方法.

在讲到数理逻辑中有关主析取范式的求法时，求解方法以及步骤的讲解用了大量的时间，从课本求主析取范式的例题到课后作业，边讲边总结求法，学生基本都掌握了求解方法，但是学生还是不太清楚如何去用这个知识点，用这个知识做什么？难道只是为了求公式的主析取范式吗？当然不是，学习这门课程的意义并不在于此，而在于课程中所反映的思想，如何能去真正用到实际问题中.针对这种情况，上课时一个恰当的实例应用，能让学生更深一步理解理论知识，同时更有利于理解学习这一知识点的真正意义.实际教学中为了更吸引学生的注意力，举了有关五个上课同学在内的这样一个实例.

例1 某公司要从赵妍、钱福泰、孙博、李奕欣、周毅峰五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习.选派必须满足以下条件：

(1)若赵妍去，钱福泰也去；(2)李奕欣、周毅峰两人中至少有一人去；(3)钱福泰、孙博两人中有一人去且仅去一人；(4)孙博、李奕欣两人同去或同不去；(5)若周毅峰去，则赵妍、钱福泰也去.

试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？

解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.

②(1)(p→q)；(2)(s∨u)；(3)((q∧r)∨(q∧r))；(4)((r∧s)∨(r∧s))；(5)(u→(p∧q)).

③(1)～(5)构成的合取式为

A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧r)∨(q∧r))∧((r∧s)∨(r∧s))∧((u→(p∧q))

④A⟺(p∧q∧r∧s∧u)∨(p∧q∧r∧s∧u)

⑤结论:由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙博、李奕欣去(赵妍、钱福泰、周毅峰不去)或派赵妍、周毅峰、周去(孙博、李奕欣不去).

这个实际中的问题实质上在运用主析取范式法进行求解的，通过这个实例后，学生对这个知识点有了更深一步的理解，并能运用到实际生活中.由此可见，范例教学有利于对理论知识的深一步理解.

1.3 运用范例教学有利于培养学生多维思维能力

离散数学所涉及的思想可以培养学生良好的逻辑思维能力与思维的严谨性，提升抽象思考和严格推理能力，为学生提高专业理论水平打下坚实的基础，能为后续专业理论课的学习作好准备.而逻辑思维能力的培养与思维严谨性的形成是一个漫长而艰难的过程，而一些好的实例则非常有利于这一过程的形成[4].

在实际教学中，抽象思维的锻炼非常重要，一个恰当的实例，在学习过程中往往起到事半功倍的作用.在讲到图论部分时，有关“握手定理”的内容是很容易理解，教学中经常会应用“握手定理”去判断所给的数列是否能构成图的度数列，这种例子也只是停留在定理表面的应用，为了更深刻地理解定理，训练学习的抽象思维，可参见以下实例[3].

例2 证明3维空间中不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.

此题刚一看似乎与“握手定理”没有关系，在实际讲解要把握这一点，引导学习进入抽象思维的境界，在这里将多面体中的每个面抽象为图中的点，而面与面之间的公共的棱抽象为图的边，问题就转化为是否存在具有奇数个顶点，且每个顶点的度都为奇数的图的问题.当如此抽象把问题转化为已经学习过图的问题时学生们豁然开朗，感觉到思考问题的这样抽象的过程是一个非常有意思的活动，进而产生积极情绪去完成学习.

上例的证明过程如下：用反证法.假设存在这样的多面体,作无向图G=,其中V={v|v为多面体的面},E={(u,v)|u,vV∧u与v有公共的棱∧u≠v}.根据假设,|V|为奇数且∀v∈V,d(v)为奇数.则可得奇数个项点每个顶点的度都是奇数，那么所有顶点的度数之和一定是奇数，这与握手定理矛盾所以假设不成立，结论正确.

一个生活中的实际问题的实例，更能让学生接受，也更有利于培养学生的多维思维的能力.实际生活经常会有同学去参加婚礼，而在婚礼中来的宾客都是男女双方的朋友或亲戚，他们不一定都是认识，对于这一大家非常熟悉的现象，引入以下实例.

例3 小王与小赵的结婚宴会上请了一些客人，宴会主持人走到其中一个10人围成的圆桌前，问他们各自认识其余的9人中的几个人，结果他们的回答结果各不相同，请问这可能吗？试说明理由.(注意：这里的“认识”是相互的，即A认识B，B也认识A.)

当问题提出后，学生的思维是活跃的，对于一个实际问题的感兴趣是很积极的向导，指导着学生的思维.虽然思考问题的过程是一个复杂的思维过程，但是如果经过锻炼后，思维的趋向性还是很容易形成的，很快学生们就能将10个人抽象为10个点，将两人之间的认识关系抽象为点与点之间的边，则问题实际是转化为讨论是否可能存在由10个点且每个点的度都各不相同的简单无向图.

对于上述例子的情况是不可能的.学生们利用“握手定理”便可导出矛盾.此例更能体现范例教学有利于培养学生的多维思维能力.

2 范例教学在离散数学教学中应用时应注意的问题

离散数学课程的内容比较多，反映的原理有些很抽象，很难理解应用，针对这些特点，在离散数学教学中，适当引入实例有利于教学，能有效地提高教学效率，但在实际教学中应用实例时应把握时机，把握分寸，适时地引入恰当的实例才能更有利于教学.

2.1 范例教学的内容引入要适当，尽量有趣

在引入实例时，内容至关重要.第一，要考虑有可接受性，尽量有一定的趣味性，同时要适当接受知识的人群，以便引起学生的兴趣，产生积极的求知情绪，主动参与到学习活动中.实例中涉及到的知识内容应当尽量结合学生已有的知识体系及当前阶段正学习的内容，问题难度应当适中，处理过程不要过于复杂，以免令学生产生抵触情绪，反而防碍教学.在内容的安排上，所涉及的理论、方法和计算都不要太复杂，要进入的门槛“低”，同时要接近大多数学生的实际水平，以使他们能切实参加到实例中.第二，在内容又应该留有充分余地，以利于不同水平的学生发挥使他们各得其所，尤其要让某些同学的创新意识或突出能力有可能在实例中不同环节的得到显示.第三，取材应尽可能广泛，考虑实际背景，而且尽可能反映多种领域，反映新学科分支，同时要尽可能反映现实生活.在实际教学中，可供选择的实例很多，有警察推案问题(如“到底谁是小偷的推理问题”)，也有金融问题(“使用二叉树方法”)，有涉及信息技术的问题(“Hill密码的加密、解密和破译”)，也有非线性科学问题.在具体使用时根据学生的知识背景适当选择，可以丰富生动的题材有利于扩大学生的知识面，同时提高对数学作用的认识.

2.2 引入实例要适时，把握时机

离散数学知识内容有些比较抽象，难理解，引入实例来让学生理解是非常必要的，但要注意把握引入的时机，不要过早，要做到适时.在新课程引入时一般不引入理论性强的实例，如果想引入实例应该考虑一些有关知识背景的数学史方面的，一些有趣的小故事，往往可以引起学生的兴趣，激发求知欲望；在课程内容传授过程中，要在所学知识的基本理论已经讲授后，学生对这一方面的知识有一定了解时，再结合所正在学习的知识引入实例，目的是加深前面知识的理解，同时能充分去应用所学知识，为后续学习打下基础.当然引入实例时要考虑学生的学习程度，在学生已经学习过这一方面知识，并且已经达到理解，运用自如时，就不能再引入那些很容易理解，显然易见的例子，那样做无非会引起学生的厌烦，没有积极性，引入实例没有起到任何实际教学效果，毫无意义，可能还会起到消极影响.所以实例在引入时要注意把握时机，适时地引入恰当的实例才能提高教学效果.

2.3 运用范例教学法时要注意讲授方法

在选取适当实例的基础上，并能把握好时机地引入实例，同时也要注意讲授实例的方法.针对离散数学课以及计算机专业的特点，一般可以采用讲授与训练相结合，课内与课外相结合，理论推导及运算与上机操作相结合等方式.当讲授到一些理论推理实例时，最好采用讲授与训练相结合，教师讲授问题的转化，然后让学生尝试练习完成推理.当引入带有理论及运算的实例时，最好要与上机操作相结合，教师先讲授实例的理论背景与实例考察的知识要求，然后布置任务，让学生分组讨论后再上机操作，比如讲授到最佳前缀码时，这种方法比较好.这样做可以让学生在理论指导下解决实例的同时进行上机操作辅导解答或是验证结论，这样训练有助于学生对知识的理解，同时有利于学生将学习的知识应用到计算机专业的其他课程中，为后续的学习打下坚实基础.对于一些需要学生切身参与的实例，可以采用课内与课外相结合的方式，教师课内布置实例内容，然后学生课后切身参与解答，以报告的形式反馈给教师，教师再在课堂内总结.总之，在运用范例教学法时，要根据具体的教学实际内容来选择适当的讲授方法，但并无定式，目的是为了能让学生更好地从实例中所反映的知识中受益，更大程度地提高教学效率.

3 结论

离散数学作为一门计算机科学的重点基础理论课程，可以培养学生的良好的逻辑思维及严谨的逻辑推理能力，能为后续学习其他专业课打下良好的基础.在教学中运用范例教学法可以有利于激发学生的求知欲望，有利于对理论知识的深刻理解，有利于培养学生的多维思维能力，在教学中起着非常积极的作用.同时，在运用范例教学时要注意内容的选择要适当，教师丰富的知识背景也非常重要，实例的获取可参见文献[5]，同时引入实例的时机要适时，教师要注意使用适当的讲授方法，这样才能更好地提高教学效率.

参考文献：

[1]仇利克,赵静,赵扬帆.浅析计算机科学与技术专业中“离散数学”教学方法的改进[J].计算机教育,2009(24).

[2]杨炳儒.离散数学[M].北京:人民邮电出版社,2006:297.

[3]屈婉玲,耿素云,张立昴.离散数学[M].北京:高等教育出版社,2008:40,292.

[4]王礼萍,徐亚兰.离散数学与思维训练[J].科技信息,2008(30).

[5]王俊邦,罗振声.趣味离散数学[M].北京:北京大学出版社,1998.