谈谈如何在数学教学中运用启发式教学法

房少梅 金玲玉 华南农业大学数学系 510642

谈谈如何在数学教学中运用启发式教学法

房少梅 金玲玉 华南农业大学数学系 510642

本文通过分析数学教学的实践过程，简要的探讨了在数学教学中如何运用启发式教学，从而提高学生学习兴趣和学习能力。

数学教学;启发式教学;学习兴趣

中类图书号：G424

随着社会的发展，人们已经充分认识到数学作为基础课的重要性，许多大学已经把数学列为通识教育的范畴，数学教育已经成为一种素质教育。与此同时，数学基础课程的教学情况应该说是不尽如人意的。首先，由于扩招引起的生源整体水平下移，程度参差不齐，这使得数学教学出现各种问题和困难；其次，相当多的学生难以适应大学数学的学习方法，中学的应试教育导致了题海战术，学生不善于思考、不善于分析问题，只会对号入座。再次，高等数学的抽象性使学生难于理解，进一步加深了学生学习的困难。以上种种问题造成的直接后果——学生缺乏学习兴趣，对学数学的兴趣和学习主动性下降。如何扭转这种局面呢？在长期的教学实践中我们体会到，启发式的教学方法是解决问题的重要手段。

启发式教学的目的很简单：教会学生思考，让学生跟着教师的教学去思考。下面我们就从以下两点谈谈在教学过程中如何实现启发式教学。

1. 激发学生兴趣，使学生产生学习的欲望

如何激发学生的兴趣呢？比如说，在数学教学中，数学中的一些概念和问题的表述往往比较抽象，所以问题的表达和提出应该尽量有吸引力，首要的就是要抓住学生。

例1，从有限到无限概念[1]的引入。对大一的新生，我们讲数学分析，从有限进入无限领域，怎样才能使学生很好地理解无限的概念呢？“希尔伯特旅馆”的故事就是一个很好的例子，假设一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间。住满房客的旅馆总是能住进新客人，这种奇特的现象实质是由于房间的个数是无限的。

例2，抽象概念的诠释——混沌，尺度空间。讲解混沌概念时，向学生提问——你知道“蝴蝶效应”吗？巴西的蝴蝶偶尔扇动翅膀，可能引起美洲的一场风暴，这在数学上的表述就是：“一个系统对初始条件的极为敏感性”，这样的问题同学们感到很有兴趣；类似的，讲分形的时候，提出“英国的海岸线有多长？”，从而引入不同的尺度空间。这个问题的实质是测量的尺度不同，得到的长度就不同。即使是有限面积的周长也可能是无限的。

当然，数学里面不是处处可以这样讲的，但有很多地方，可以来引出问题，提出问题。另外，在数学教学中需要适当的数学模型和典型的例子。如人口问题的中著名的Malthus模型和Logistic模型，二次世界大战结束时荷兰发生涉及Vermeer的名画真伪的案件，以及美国原子能委员会处理核废料引起质疑的问题，这些例子都可以放在微积分中讲述，并不太难，这可以充分说明数学的重要性，引起学生学习数学的兴趣。

数学本身一些抽象的模型也是很好的例子，例如，每个教数学分析的老师都会提到的Dirichlet函数[2]，自变量取有理数、无理数时，函数分别定义为“1”和“0”。构造这样的函数，其目的在于说明许多数学概念时指出其特殊情况，从而可以加深我们对抽象概念的理解。这个函数处处无极限、处处不连续；它是周期函数，任何有理数都是它的周期，但它又没有最小正周期。我们在教学过程中反复讲这个例子，讲到相关概念时就提出这个例子，这样可以加深学生对于相关概念的认识，学生会感到很有意思，从而要求学生在学习中注意反例，进而引导学生构造反例。

2.化被动学习为主动学习

主动学习就是尽量让学生自己去思考，去发现结论。启发式的教学的关键就是在教学中引导学生去思考，而不是被动的、轻松的接纳教师教授的知识，这样的知识对学生来说不会留下深刻的印象，也不能把知识学活。应该让学生去思考、去发现，这样学生会有成就感，引起学生学习数学的兴趣。比如我们讲微分中值定理，微分中值定理的证明及相关习题，都用构造辅助函数的方法，证明Lagrange定理怎么构造辅助函数？有几种方法呢？方法的实质是如何构造函数，构造的方法其实本质是通过观察和寻找原函数的方法。微分中值定理的含义既可以从几何上来分析，也可以从形式上来分析。从几何上分析，Lagrange定理[3]的几何意义——如果连续曲线除端点外处处有不垂直于轴的切线，则在曲线上至少存在一点，使曲线在点的切线平行于直线．通过将定理的结果用图形表述出来启发学生理解几何意义。从形式上分析——是联系函数与其导函数的桥梁。另外引导学生找出问题的更特殊情况——端点的函数值相等，这样可得Rolle定理。问题的一般情况——函数y=x替换为y=g(x)，这时定理化为柯西定理。这是一个慢慢启发学生发现问题，归纳问题，解决问题的过程。

总是，在数学教学中我们应该采用启发式教学，提高学生的学习兴趣，培养学生的思维方式、自学能力。

[1]复旦大学数学系．数学分析(第2版) (上)[M]．北京：高等教育出版社.2003.1-50.

[2]北京大学数学系．数学分析(上)[M]．北京：高等教育出版社.1986．1-126.

[3]同济大学数学教研室．高等数学(第4版)(上)[M]．北京：高等教育出版社.1999. 51-120

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华南农业大学教改项目（JG09032），华南农业大学校长基金（4900-k07418）

房少梅，女，新疆伊犁人，教授，博导，广东省数学会理事、广东省工业数学与应用数学学会常务理事；

金玲玉，女，湖北荆州人，博士。