浅谈直角坐标系的建立

范晓波

(靖江季市中学 江苏 靖江 214523)

正交分解法以退为进，将求解一般三角形的过程转化为求解直角三角形的过程，是处理多力平衡问题及多力产生加速度问题的常用方法.运动的分解可以将一个复杂的曲线运动变成两个简单直线运动的叠加，是处理匀变速曲线运动的基本方法之一.这两种方法中都涉及到直角坐标系的建立；建立的方法不同，实际运算过程有很大差异.那么，该如何确定直角坐标系的最佳建立方案呢？下面分别对正交分解法和运动的分解中坐标系建立的原则进行说明.

1 正交分解法中坐标系的建立

1.1 正交分解法处理多力平衡问题

建立直角坐标系应注意：(1)让尽可能多的力落在坐标轴上；(2)尽量不分解未知力.

注意(1)可以最大限度地减少需要分解的力的个数，达到减少运算过程的目的；注意(2)能避免未知量后面带“小尾巴”(指sinθ或cosθ)，可降低中间运算的难度.

【例1】一个倾角为θ(90°>θ>0°)的光滑斜面固定在竖直的光滑墙壁上. 一质量为m铁球在水平推力F作用下静止于墙壁与斜面之间，且推力的作用线通过球心，如图1所示.求斜面与墙壁对铁球的弹力大小分别是多少.

图1

分析：铁球受四个外力作用且处于静止状态，属多力平衡问题，可运用正交分解法处理；在轴坐标沿水平方向时仅需分解一个外力，运算过程简单.

解：铁球受力如图2.建立直角坐标系xOy，由平衡条件可得

图2

解得

说明：选择直角坐标系的建立方法时，应对照原则综合考虑，而且注意(1)优先于注意(2)，即在注意(1)满足的前提下再考虑原注意(2).

1.2 正交分解法处理多力产生加速度的问题

建立直角坐标系应注意：(1)让加速度和尽可能多的力落在坐标轴上；(2)坐标轴指向与加速度方向趋于相同；(3)尽量不分解未知量.

在这类问题中，建立直角坐标系时需要考虑的因素略多.首先，加速度是矢量，同样可以按需要进行分解，为了简化分解过程，应该把它也考虑进去；其次，坐标轴指向就是该方向上所有矢量的正方向，如果坐标轴指向与相应的加速度分量方向相反，必须在含加速度分量的一项前加一个负号，否者就会在矢量性上犯错误.最后，为了降低了中间运算的难度，要考虑避免未知量后面带“小尾巴”.

【例2】自动扶梯与水平方向成θ角，梯上站一质量为m的人.当扶梯以加速度a匀加速上升时，人相对于扶梯静止，求人受到的支持力和摩擦力.

分析：人受力如图3，可以看出这是一个多力产生加速度的问题，应该用正交分解法解决.建立如图所示的直角坐标系，只需要分解加速度，而且没有分解未知量，计算过程最简单.

图3

解：人受力如图，由牛顿第二定律得

解得

支持力方向竖直向上，摩擦力方向水平向右.

说明：若按传统方法，x轴沿扶梯(不是扶梯台阶表面)向上，y轴垂直扶梯向上，Ff、FN均需分解，后面的运算过程比较麻烦.

【例3】如图4，当升降机以加速度a匀加速下降时，物体A相对于斜面静止，已知物体A的质量为m，斜面的倾角为θ，求此时物体A受到的支持力和摩擦力大小.

图4

分析：物体受力如图5，同样属于多力产生加速度的问题，应该用正交分解法解决.按照注意(1)、(2)，可用的直角坐标系建立方式仍有两种.

在图6中，支持力和静摩擦力需要分解，但它们本身就是未知量，分解后分量表达式中分别含θ的正弦函数和余弦函数，后续的数学计算有一点难度.

图5

图6

在图7中，重力和加速度需要分解.由于它们和θ均为已知量，分解后分量仍未已知量，无需进行其它计算，数学处理过程较为方便，即对照注意(2)，选择第二种建立直角坐标系的方式最佳.

图7

解：物体受力如图，由牛顿第二定律得

解得

说明：按注意(3)建立直角坐标系，可以最大限度简化计算过程，达到低强度、高效率，同时正确率也有了保障.

3 运动的分解中坐标系的建立

建立直角坐标系应注意：(1)分运动的性质尽可能简单；(2)有利于待求问题的展开和讨论.

利用运动的分解解决匀变速曲线运动问题时，坐标系的建立应仔细推敲，有时候需要打破常规，另辟蹊径.

【例4】如图8所示，长斜面OA的倾角为θ，放在水平地面上.现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，求小球在飞行过程中离斜面的最大距离s.

图8

分析：小球做平抛运动，如果仍将x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，很难写出某一时刻球与斜面间距离的表达式，更加无法分析何时该距离最大.为了有利于问题展开，本题可将x轴沿斜面方向，则球与斜面间距离就变成了小球在y轴方向的位移大小.

解：按图示直角坐标系分解平抛运动，x方向的分运动为初速度是v0cosθ、加速度是gsinθ的匀加速直线运动；y方向是初速度是v0sinθ、加速度是gcosθ的匀减速直线运动.

当垂直于斜面的分速度vy减小为零时，y方向的位移最大，即球离斜面的距离最大.所以

说明：学物理不能墨守成规，在掌握常规方法的基础上还要能够根据实际情况及时变通，这样，才可以不断提高自己的思维能力.

有些问题中，虽然研究物体做直线运动，但考虑到解题的方便，也可以考虑利用运动的分解处理.这时候，同样需要考虑直角坐标系的建立方法.

【例5】一个质量为m的带负电小球处在水平方向的匀强电场中，某时刻将它以初速度v0从A点射出，且初速度v0与水平方向成θ角.一段时间后小球沿直线到达最高点B，如图9所示.求小球从A运动到B的过程中电势能的变化量.

图9

分析：电场力、重力均为恒力，合外力必定是恒力，小球做匀变速直线运动.由于电势能变化量可用电场力做功来量度，因此电场力应尽量单独保留，不要分解或与其他力合成.可以建立如图所示的直角坐标系，将实际的直线运动分解为水平方向的匀减速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动.

对x方向的分运动使用动能定理得

而

WF=-ΔEp

所以

说明：运用运动的分解解决此题要比直接对整个运动过程利用匀变速直线运动的规律或功能关系处理简单得多.这是对传统观念的一种突破，值得认真研究，仔细体会，以掌握该处理思想的精髓.

从上面几道例题的分析中可以看出，直角坐标系建立得是否恰当，对解题过程有着重要的影响，因此，在运用正交分解法或运动的分解处理问题前，一定要结合实际，仔细推敲，找出最佳的建立方案，用自己的智慧让解题过程变得轻松有趣，让物理的学习过程变成一种享受！