对一类涉及电场边界问题的商讨

陈泽旭 陈建华

(武汉外国语学校 湖北 武汉 430022) (武汉市第一中学 湖北 武汉 430000)

我们常常在一些联考和大型考试中发现有这样一类型的题目，往往还是最后的压卷题，在电场的边界模型上出现了问题，或没有引起重视而导致一些错误.下面举几个例子，和同行们共同商讨，抛砖引玉．

题目1：如图1所示，x轴上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度大小为E，方向斜向上方，且与x轴夹角θ为45°．现有一质量为m、电荷量为q的正离子，以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，经过C点时的速度方向与x轴夹角为45°．不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大．求：

(1)C点的坐标；

(2)离子从A点出发到第三次穿越x轴运动的时间．

图1

图2

解答：(1)磁场中带电粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，故有

粒子运动轨迹如图2所示,由几何知识可得

(2)设粒子从A运动到C的时间为t1，由题意得

设粒子从C点进入电场到返回C点的时间为t2，粒子在电场中做运变速运动，由牛顿第二定律和运动学知识，有

qE=ma2v0=at2

解得

设粒子从C点进入磁场运动至D点的时间为t3，由题意得

所以粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为

此题的分析与解答看似都没有什么问题，实际上违背了电场力做功与路径无关的规律，违背了静电场的环路定理.究其原因主要是此题设计的物理模型出现了很大的问题．从分析图2所示，粒子从C点进入电场，返回C点在磁场中做圆周运动到D点，在计算此题时认为速度的大小没有发生变化，事实上并非如此．我们从C点作一条与电场线垂直的直线CF——电场中的等势线，连接FD——电场中的电场线.可以看出C点和D点不是等势点，粒子从C点到D点，电场力做了功，粒子在C、D两点的速度不相等．问题出现在哪里呢？我认为出现在对电场的边界的设计上不合理，或者是错误的．按照题目设计和解答，可以看出命题者是把x轴作为电场的边界.而x轴并不是电场中的等势线，实际中并不存在这样的电场边界，理论上也不成立．

类似的题目在很多联考或大型考试中屡见不鲜，有的甚至设计出了永动机．如下面一个题目出现过很多次了．

题目2：如图3，半径为R的环形塑料管固定竖直面放置，AB为环的水平直径，管的粗细远小于环的半径，AB及以下部分处于水平向左的匀强电场中，管的内壁光滑.现将一质量为m带正电荷的小球从管中的A点静止释放，已知小球受到的重力和它受到的电场力相等，重力加速度为g.则释放后：

(1)求小球第一次经过最低点D时的速度.

(2)小球第二次经过最高点C时，管对小球的作用力是多大？

图3

此题看起来没有什么问题，但仔细分析它就是一个永动机的模型．小球从A点由静止运动，到B点，重力做功为零，电场力做功，小球获得了动能.从B点经过C点再回到A点，由能量守恒，小球在A点的动能与在B点的动能相等．然后小球又从A点运动到B点，电场力又做正功，动能增加.这样小球做往复的运动，每经过电场一次，小球动能就增加，永动机就这样在看似合理的情况下产生了．此题的问题也是出现在物理模型的设计上，违背了电场力做功与路径无关的规律，违背了静电场的环路定理．从B点回到A点从电场的角度分析，必须克服电场力做功，此模型中没有任何其他力做功，按动能定理，因为电场力对小球做了负功，所以小球在A点的速度要比小球在B点的速度小．而按照题目设计，若不考虑电场，小球从B点经C点回到A点是可行的，但有了电场就不一样了．类似的问题在各类联考和大型考试中经常出现．如2010年某市有一道模拟题．

题目3：如图4(a)所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1=0.20 T，方向垂直纸面向里，电场强度E1=1.0×105V/m，PQ为板间中线，紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限[图4(b)]内，有一边界线AO，与y轴的夹角∠AOy=45°，边界的上方有垂直

纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2=0.25 T,边界下方有竖直向上的匀强电场，电场强度E2=5.0×105V/m．一束带电荷量q=8.0×10-19C、质量m=8.0×10-26kg的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0,0.4)的Q点垂直y轴射入磁场区，多次穿越边界线OA．求：

(1)离子运动的速度为多大.

(2)离子通过y轴进入磁场到第2次穿越边界线OA所需要的时间.

(3)离子第4次穿越边界线的位置坐标．

图4

图5

因此，在编写物理题目时，追求题目的新颖、模型的创新，一定要在理论的指导下，以可靠的事实作为依据，否则就会出现上面类似的一些不完备或错误题目．

参考文献

1 赵凯华，陈熙谋.电磁学上册(第二版).北京：高等教育出版社,1984.73～79