绳上任一点的速度与加速度

田阳阳

(仪征市第二中学 江苏 扬州 211400)

如图1所示，一辆汽车通过一根绳SE跨过定滑轮O提升一重物.绳的S端拴在车后的挂钩上，E端拴在重物上.设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦力都忽略不计．开始时，车在A处，滑轮左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的.提升时车由静止开始向左作加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t后运动到B点，此时车速为v车，绳子SO段与水平方向上的夹角为θ.已知定滑轮O与水平地面之间的高度为h，图中i、j、k分别为三个方向上的单位向量.现分别探究SO段绳上距S点为b的P点及EO段绳上距E点为c的Q点的速度与加速度.

图1

1 绳上任一点的速度及讨论

1.1 SO段绳上任一点的速度及讨论

1.1.1SO段绳上任一点的速度

SO段绳上任一点P的速度等于随绳收缩的i速度分量与绕绳转动的j速度分量的矢量和.即

vP=vi|b=bi+vj|b=bj

(1)

对绳的S端点(即b=0)处，已知其速度为

v=vi|b=0i+vj|b=0j

(2)

其中

vi|b=0=v车cosθvj|b=0=v车sinθ

又vj|b=0=lω(l为SO段绳的长度)，所以SO段绳绕O转动的角速度

对同一段绳上任一点P

vi|b=b=vi|b=0=v车cosθ

vj|b=b=(l-b)ω

所以

vP=vi|b=bi+vj|b=bj=

(3)

考查(3)式不难发现，当小车从A点开始运动时，θ、v车、l三个量都随时间t变化，为了便于讨论问题，这里把三个变量统一到同一个变量即时间t上.取小车的初始位置A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，并设B点的位置坐标为x，则

将l、cosθ、sinθ代入(3)式得

(4)

因为小车由A点出发作初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动，所以有

将v车、x代入(4)式得

(5)

(6)

(7)

1.1.2 讨论

取h=2 m，a=1 m/s2，b=1 m代入(6)、(7)两式得

(8)

(9)

取t∈[0,100],利用Mathematica软件作出

vi|b=1-t及vj|b=1-t的图像如图2、图3所示.

图2

图3

从图像可以看出，vi|b=1随着时间的增大而增大，vj|b=1随着时间的增大而先增至最大后，缓慢递减至零.从而SO段绳上距S点为b的P点，其速度的j分量vj|b=1最终趋于零，即SO段绳子最终不再绕O旋转，绳子趋于水平.

1.2 EO段绳上任一点的速度及讨论

1.2.1EO段绳上任一点的速度

EO段绳上任一点Q的速度等于随绳收缩的速度分量，即

vQ=vi|c=ck=(v车cosθ)k

(10)

(11)

1.2.2 讨论

由(11)式可知，vQ与Q点距E的距离c无关,且其量值与vP中的i分量完全相同，不再赘述.

2 绳上任一点的加速度及讨论

2.1 SO段绳上任一点的加速度及讨论

2.1.1SO段绳上任一点的加速度

SO段绳上任一点P的加速度等于i方向的加速度分量ai和j方向的加速度分量aj的矢量和，即

aP=ai|b=bi+aj|b=bj

其中i方向的加速度分量ai等于拉绳加速度分量a‖与绳绕定滑轮O转动而产生的另一沿绳方向的加速度分量a‖′的矢量和[1～2]；j方向的加速度分量aj是由j方向的速度分量的量值改变及i方向的速度分量的方向改变所引起的[2]，即

(12)

对绳的S端点(即b=0)处，已知其加速度为

acosθi+acosθj

(13)

其中

aj|b=0=asinθ=lβ+2viω[2](β为角加速度，ω为角速度),所以有[3]

对同一段绳上任一点P，有

aj|b=b=(l-b)β+2viω

所以

ai|b=bi+aj|b=bj

(14)

其中

(15)

(16)

2.1.2 讨论

取h=2 m，a=1 m/s2，b=1 m代入(15)、(16)两式得

(17)

(18)

取t∈[0,15]，利用Mathematica软件作出

ai|b=1-t及aj|b=1-t的图像如图4、图5所示.

图4

图5

从图像可以看出，ai|b=1随着时间的增大而增大，最终趋于一定值，即趋于汽车的加速度a=1 m/s2；aj|b=1随着时间的增大而先增大至最大后迅速减小，最终平缓地趋近于零.

以上分析结果与现实情景完全符合：现实中随着时间的推移，汽车后面的SO段绳子将趋于水平，致使ai趋向于汽车匀加速运动的加速度a，aj趋向于零.

2.2 EO段绳上任一点的加速度及讨论

2.2.1EO段绳上任一点的加速度

EO段绳上任一点Q的加速度等于拉绳加速度分量a‖，即

(19)

将各变量统一到时间t上后，(19)式变为

(20)

2.2.2 讨论

取h=2 m，a=1 m/s2代入(20)式得：

(21)

由(21)式可知,aQ与Q点距E的距离c无关.

取t∈[0,15]，利用Mathematica软件作出aQ-t的图像如图6所示.从图像可以看出，aQ-t随着时间的增大而先增至最大后，平缓地减小，最终趋于一定值，即趋于汽车的加速度a=1 m/s2；与图4比较可以看出，SO段与EO段绳上任一点的加速度最终趋于相同.究其原因，SO段绳最终趋于水平，i方向速度分量的方向不再改变； 同时绳上任一点速度的j分量也趋于零.从而因j分量量值存在而产生的加速度分量a‖′及因i方向速度分量的方向改变和j方向速度分量的量值改变而产生的加速度分量aj不再存在.从而SO段与EO段绳上任一点的加速度不再有区别.

图6

3 结束语

本文从分析绳上任一点速度的各分量及加速度的各分量的产生原因出发，明确指出了同一根绳上任一点速度的vi分量及加速度的a‖分量相同，并利用数形结合的方法将绳上各点的运动情况明显地呈现出来.从速度及加速度的图像及表达式可以明显看出SO段绳上任一点(除端点S)在开始阶段都在做变加速曲线运动.而EO段绳上任一点在开始阶段都在做变加速直线运动.

参考文献

1 钱树高，夏英齐.用绳拉船和速度的合成与分解.物理与工程，2009，19(2)：55

2 周衍柏.理论力学教程.北京：高等教育出版社，2006：9～17

3 周侃，周军.加速度分解不能类比速度分解.物理教学，2008，30(1):40