谈谈“截长补短”在几何证明中的运用

冯 军

摘要:几何证明题是数学试题中必不可少的题型,其数量成千上万,但不少题目之间还是存在一定的方法和技巧可以运用的,其中“截长补短”就是一种非常重要的几何证明手段。

关键词:几何证明;截长补短

中图分类号:G622 文献标识码:A文章编号: 1003-2851(2009)09-0066-01

几何证明题是数学试题中必不可少的题型,其数量成千上万,但不少题目之间还是存在一定的方法和技巧可以运用的,

其中“截长补短”就是一种非常重要的几何证明手段。

例1:如图,已知:AP是△ABC的∠BAC

的平分线,AB+BP=AC.

求证:∠B=2∠C.

分析一:在条件AB+BP=AC中,AC

被称为长线段,可在AC上截取AD=AB,这就叫做截长,截长后可以得到两组相等线段,AD=AB和PB=DC,它们可作为条件使用。

证明:在AC上截取AD=AB则PB=DC.

∵AP平分∠BAC , ∴∠BAP=∠DAP.

又∵AB=AD, AP公用,

∴△ABP≌△ADP. ∴PB=PD. ∠B=∠ADP=∠DPC+∠C.

∴PD=DC.∴∠DPC=∠C.∴∠B=2∠C.

分析二:在条件AB+BP=AC中,AB和

BP被称为短线段可以拼接在一起,延长AB

到E使BE=BP,这就叫补短,补短后可得两

组相等的线段,BE=BP和AE=AC,可以作为

条件使用。

证明:延长AB使BE=BP.

则可得:AE=AB+BE=AB+BP=AC

和∠E=∠BPE.

∵AP平分∠BAC,

∴∠EAP=∠CAP, AP公用, ∴△EAP≌△CAP.

∴∠E=∠C. 而∠ABC=∠E+∠BPE, ∴∠ABC=2∠E=2∠C.

互换上题中的条件AB+BP=AC和结论

∠B=2∠C得一条新题。

例2:如图,已知:AP是△ABC的

∠BAC的平分线,∠B=2∠C.

求证:AB+BP=AC.

分析一:在AC上截取AD=AB,截

长后得AD=AB,可以作为条件使用,由于AB+BP=AC是需要证明的结论,所以还需要证到BP=DC,可以先证明△ABP≌△ADP得

∠ADP=∠B和BP=DP,再用∠B=2∠C和∠ADP=∠C+∠DPC,得

∠C+∠DPC=2∠C,得∠DPC=∠C,再得DP =DC,从而证到AB+BP=AC,证明略。

分析二:也可延长AB到E,使

BE=BP,补短后得BE=BP,可作为条件用,

只需要证到AE=AC即可,可以用BE=BP

得到∠E=∠BPE,∠ABC=∠E+ ∠BPE=

2∠E=2∠C得∠E=∠C,从而得△AEP≌

△ACP,得AE=AC,证明略。

评注:

(1)截长是指把长线段分成两段,补短是把两短线段拼接在一起。

(2)若对条件截长补短,则可得两组相等的线段,可作为条件使用;若对结论截长补短,只可得一组相等的线段,还需证明另一组线段的相等。

(3)截长的题目往往也可以用补短来做,补短的题目往往也可以用截长来做。