小议逻辑学知识在中学数学中的应用

龙冠桦

摘要:数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,而逻辑学是研究思维形式及其规律的科学。本文就逻辑学知识在中学数学中的应用作一探讨。

关键词:逻辑数学教学

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)10-0177-01

高中数学的起始单元就是“集合与简易逻辑” 。虽然它是第一次以“逻辑”的形式正式出现在数学教材中,但是逻辑思维方法,早从初中数学伊始,就已经贯穿于我们学习数学的过程中了。如初中代数中的一元二次方程、一元二次方程组,平面几何中的四种命题、反证法等,这些知识中都包含和渗透着逻辑学知识。而高中代数中的集合、不等式组、数学归纳法,立体几何中的定义、公理、反证法等等,更是贯穿着逻辑学知识的理解和运用。我们一定要认真理解并吸收这些知识,掌握正确的逻辑思维方法,才能为以后的进一步学习打下坚实的基础。

既然逻辑学知识在中学数学中占据着如此重要的位置,要学好数学,我们必须努力学习和掌握逻辑学相关知识,进而全面地理解概念,正确地进行逻辑推理和判断。唯有如此,我们才能赢得数学学习上的胜利。

下面是我对逻辑学在中学数学部分知识中的渗透和运用的一些肤浅理解。

一、逻辑学知识在集合中的应用

简易逻辑与集合密不可分。逻辑联结词“或”、“且”、“非”诠释着三种不同的逻辑,它们与集合的“并”、“交”、“补”有着密切的联系。

(一)“或”可以理解为集合中的并集,是将不同集合的所有元素合成一个集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一个成立。

(二)“且”可以联想到集合中交集的概念,它类似于我们惯常理解的“既是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”这两个条件同时都满足。

(三)“非”可以联想到集合中的补集。若命题P对应的集合为A,则命题非P就应该对应着集合A在全集U中的补集CuA。

二、 逻辑学知识在概率中的应用

假使我们把以上三种逻辑运用到概率中,便更容易理解了。如果事件A与B不可能同时发生,则事件A与B为互斥事件,就像“或”对应着并集,发生的概率是A发生的概率加B发生的概率。而对于相互独立事件,事件A与B发生的概率就是A的概率与B的概率之乘积。如果A和B是对立事件,就满足着排斥逻辑。所以说数学中概率的运用也同样离不开逻辑。

三 、逻辑学知识在“反证法”中的应用

从逻辑学的角度理解反证法,也就是通过推理论证矛盾命题非P的虚假性,从而确定命题P的真实性的论证。需要注意的是,假定P与非P的结论所确定的集合分别是A、B,且满足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”结论必须包含P的结论的所有对立面。否则我们使用反证法证题时就可能犯错误。如题:用反证法证明:如果a>b>0,则√a>√b。我们证明时假设√a不大于√b,则有两种情况√a<√b 或者√a=√b。这样在推理过程中,把命题结论对立面的两种情况都纳入了论证,才是正确而完整的论证,这样得出的结论才能令人信服。

四、逻辑学知识在充分、必要、充要条件中的运用

我们知道,一般情况下,如果由p=>q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件。如果由p=>q,又由q=>p,那么p是q的充分必要条件,即充要条件。

例:条件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判断p是q的()。

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立则q成立,而q成立则p不一定成立,故p是q的充分不必要条件,故选A。

五、逻辑学知识在理解判断四种命题及其相互关系的应用

在本节的学习中,我们可以从逻辑学和集合两个角度去理解概念,正确掌握判断四种命题的方法,如定义法,集合法,转化法等。学会运用集合的观点来解决简易逻辑中的一些问题。

当然,逻辑学知识在中学数学中的渗透和应用远远不只上述几个方面,在高中学的其他章节的学习中,我们都会遇到诸如此类的逻辑应用问题,在此无法一一列举。

正是由于逻辑学知识在中学数学中不容忽视的作用,我们在平时的学习过程中,一定要有意识地学习和掌握逻辑学知识。这一方面有助于我们合乎逻辑地、准确地表达自己的数学思想、观点和方法,另一方面也有助于培养我们良好的思维习惯和思维品质,为其他学科的学习和今后的社会实践奠定牢固的基础。