微积分法在组织教学过程中的研究

许云鹏

自上世纪80年代以来,二十年间高中数学课程内容一直相对稳定。尽管教学大纲和教材也经过了几次修订,但教学内容仍然是代数、三角、立体几何、解析几何四大部分(上海市除外)。然而,这一局面在上世纪末被打破。原国家教委首先于1996年颁发了《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验)》,对原有内容作了较大修改,加入了概率统计、微积分的初步知识和向量。本文将围绕微积分教学进行分析,以期探究出一些较为可行的策略。

一、新大纲“微积分”部分分析

虽然新大纲仍然将微积分作为选修内容(即高中会考不要求),但却是广大希望进入高校继续深造的高三学生的“必修”功课。总体上看,有如下几个特点:

1.充分考虑到文理学生对于微积分需求和自身数学能力的差异

内容较少,要求也不太高。极限部分,除加入函数极限的概念外,与旧大纲要求相差不大;只要求掌握导数的概念及其几何意义(不涉及微分),且只需掌握函数y=xn(n∈N*)的导数公式,会求多项式函数的导数。可见,理科生学好了,对以后学习“高等数学”有很大的帮助。

2.对微积分的定位比较好,充分考虑到学生的实际水平

没有过多地涉及极限的理论知识,也没有要求严格的论证,只需直观认识,只需让学生借助几何直观理解连续函数有最大最小值的性质,这样既能对极限的一些重要性质有所认识,也不会因严格的论证望而却步。故大纲针对各部分内容的轻重,灵活地区分对待。

3.重视微积分在中学阶段的应用

因为如果不谈应用,学生不仅学习该内容无甚兴趣,而且也不能对微积分有一个全面的了解。况且,在讲授微积分的应用时,也能加深学生对中学数学其他知识的理解。

4.通过微积分初步的教学,了解微积分学产生的时代背景和历史意义

进行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育,说明教师不仅应讲授微积分的基本知识和原理,还应该让学生了解微积分发展的社会背景,形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度。这其实也揭示了微积分所具有的人文价值和内涵。

下面我们来分析高中数学课堂中,组织微积分教学应遵循的一些原则和策略,根据学生学习微积分可能出现的困难,探索一些可行的突破方案,以及笔者的一些思考和看法。

二、组织微积分教学应采取的策略

1.不断加强变量概念的教学,树立以变量为思维对象的数学观

由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量,常量数学在头脑中已根深蒂固。但在学习极限、连续、导数、微分等概念时,没有变量的思维是不行的。所以在组织教学时,需加强变量概念的教学,让学生逐步熟悉和适应变量,并能思考变化过程。当然,这就需要我们在教学中要特别注意将变量及其变化讲解清楚。

2.要以直观描述为主,鼓励“合情推理”和“合情猜想”

其实这也是笔者认为的微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教学应当以直观性的描述为主,以掌握方法、计算为主,对理论上的严谨性不宜要求过高,更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论,既要使学生正确地理解和掌握,也要适可而止。

3.防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论

考虑到高中生的实际水平,不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观图形引入还是给予一定的推理,都应让学生主动地参与,引导学生观察和发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导,这样才有利于培养学生的“变量思维”,感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则,如果为了“体贴”学生或纯粹的“应试心理”,微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论,那么在高中教授微积分就失去了意义和价值,学生的能力也不会提高。

4.处理好微积分与初等数学的关系

在学习导数和定积分的应用时,学生会发现微积分是一个较初等数学厉害的工具,能比较容易地用初等数学方法解决十分繁琐和困难的问题,而教师也可能会在解题的演示中传达这样的讯息。一方面,学生可以掌握更为简便的方法,并产生对微积分的兴趣;但另一方面,也可能对他们的学习心态及思考能力带来负面的影响,反而不利于培养学生的创造能力。所以教师应有意识地引导学生思考解决某些问题。

总之,如何进行微积分教学在高中数学是一个全新的课题,相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究,微积分的教学研究还不成熟,处于摸索的阶段。但也正因为如此,探讨微积分的教学才更有价值和意义。

作者单位:庄河市第四高级中学