斜率公式Ｋ＝ｙ２ｙ１／ｘ２ｘ１在解题中的应用

段学强　罗班强

过两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)的直线的斜率K=y₂-y₁x₂-x1,这一公式在直线方程中是非常基础和重要的,因为直线方程的几种形式是在它的基础上推导而来的,因此,师生们对这个公式非常熟悉,但却忽视了它在解题中的作用。在解题中运用这个公式,有时会简化计算过程,优化解题方法,提高解题速度。本文就公式解题应用中的几个方面进行探讨:

1.在解决与共线有关的问题中的应用

例1)过点P(2,0)的所有直线中,通过两个不同的有理点(两点的坐标均为有理数)的直线的条数是()。

A.有且仅有一条 B.至少有两条 C.有无穷多条 D.不存在这样的直线

解 ∵P(2,0)在X轴上,故X轴是符合条件的直线。设存在另一条直线过两个不同的有理点P1(a1,b1) P2(a2,b2) 在同一直线上,则K㏄1P=b1a1-2=K㏄1P2=b2-b1a2-a1 ∈Q∴b1k1p2=(a1-2)∈Q,2=(a1-b1k1p2)∈Q,这与2无理数矛盾,选A。

例2)如图,在椭圆 x2a2+y2b2=1上任一点M,M与短轴两端点B1B2 连线交X轴于N,K,

求证:︳0N ︳• ︳0K ︳为定值。

证明:设K点坐标(X璌,0)N点

坐标(X璑,0),M的参数坐标为(acosθ,bsinθ)由椭圆方程B1(0,-b)B2(0,b), ∵B1、N、M在同一直线上,∴KB1M+KB1N即=bsinθ-(-b)acosθ-0=0-(-b)X璑-0, X璶=acosθ1+sinθ,又∵B2、M、K在同一直线上,由KB2M+KB2K同理可得X璌=acosθ1-sinθ,∴ ︳0 K ︳• ︳0 N︳=︳X璶 • X璳 ︳=︳acosθ1+sinθ•︳acos θ1-sinθ=a2。和共线有关的这一类问题,经常利用斜率相等作为解题的突破口,而斜率相等是由K= y₂-y₁x₂-x1来实现的,由此可列出有关的计算式。

2.在有关求轨迹问题中的应用

2.1求平行弦中点轨迹中的应用

(例3)求斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹。

解:设弦的两端点A(x1,y₁)B(x₂,y₂),AB的中点为M(x,y),则x=x1+x₂2•y=y₁+y₂2 。∵又A、B在圆上

∴x1²+y₁²=4 ①

x₂2+y₂2=4②,①-②得:(x1+x₂)(x1-x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0变形:y₁-y₂x1-x₂=x1+x₂y₁+y₂ 。由已知条件K=1=y₁-y₂x1-x₂∴yx=-1即y=-x,

所以轨迹是圆的弦的中点,故平行弦中点轨迹是y=-x在圆内的一段。

2.2求过定点弦的中点轨迹的应用

例4求抛物线y2=4x的经过焦点的弦的中点的转迹方程。

解:设弦端点为A(x1,y₁)B(x₂,y₂),AB的中点为M(x,y),则2x= x1+ x₂,2瓂=y₁+y₂.又 ∵A、B在抛物线上,∴y₁²=4x1① ,②-①得:(y₂-y₁)y₂1=4x₂ ②

(y₂+y₁)=4(x₂-x1)∴y₂-y₁x₂-x1=4y₁+y₂=42y=2y∴K〢B=K㎝F=yx-1∴yx-1=2y化简:y2=2(x-1)即为所求的轨迹方程。

这一类问题,在设出弦的端点后,代入曲线方程,利用作差法,将K=y₁-y₂x1-x₂作为整体进行代换,可以大大减少算量,优化解题目的过程,提高解题的速度。

3.在解决轴对称问题中的应用

解决轴对称问题的基本思路是利用对称的特点:对称点的联线被对称轴垂直平分。而其中的垂直经常由斜率体现出来,对称点联线的斜率是分式K=y₂-y₁x₂-x₁给出的。

(例5)椭圆C:(x+5)29+(y-4)216=1关于直线x-y+3=0对称的椭圆C,的方程。

解设椭圆C′上任一点A′(x′,y′),A′关于直线x-y+3=0对称点A(x0,y0),则A一定在椭圆C上,由于A′A关于直线x-y+3=0对称,∴y0-y′x0-x′=-1,AA′中点M(x0+x′2,y0+y′2 )在直线x-y+3=0上,∴x0+x′2,y0+y′2+3=0,由此得方程组:y0-y′x0-x′x0+x′2-y0+y′2+3=0

解之:x0=y′-3

x0=x′+3

由于点(x0y0)在椭圆上,代入椭圆方程得C′方程为:y+229+(x-1)216 =1。

对称轴曲线方程的常用方法是代点法,实现代点法的一个基本条件是由斜率公式K=y₂-y₁x₂-x1来完成的。

4.在求最值或值域中的应用。

例6)求函数y=3sinx-14cosx-6的值域。

解:由斜率公式K=y₂-y₁x₂-x1可知,函数y=3sinx-14cosx-6的值域可以看成是过点(6,1)与点(4cosx,3sinx)连线的斜率的取值范围,而点(4cosx,3sinx)有椭圆。如图,直线1逆时针旋转到1′时的斜率的范围即或所求。由此,只须求1用1′的斜率即可,设方程为y-1=k(x-6)直线与椭圆相切,故方程y-1=k(x-6)x216+y29=1

得(9+16k2)x2+32(k-6k2)x+64(9k2-3k-2)=0有两个相等的实根,由△=0,得K1=-25,K2=1故原函数的值域为[25,1]。

这一类问题经常利用数形结合的思想方法求解,而分式K=y₂-y₁x₂-x1是实现数形结合的过渡桥梁,可见这一分式在这类问题中所起的作用。

收稿日期:2009-09-23