数学概念的教学策略初探

吴　怡

数学知识的最终表征是数学语言，数学教学是数学语言的教学。在美国的全国教师理事会的学校数学课程与评估标准中声称数学与文化是相互融洽、相互依存的。如果学生能够有效地应用数学和数学交流的话，数学能够被认为是一种富有含义的语言。在学生的非正式地直觉注意和抽象的数学语言符号之间，交流对帮助他们学习这种联系起着重要的作用。交流在帮助学生学习时联系自然的、图形的、符号的、口头的，数学思维的心理表征还起着关键作用。词汇的发展对任何涉及的语言经验来说都至关重要。因为在数学中出现了较多的生僻词汇，所以学会这些术语成为数学教育的基础核心问题。恰当的教法对帮助学生掌握术语，形成、应用数学概念，是数学教法研究的重中之重。

一、词汇的重要性

对词汇发展重要性的讨论有益于形成语言如何影响学习的提纲。在过去的几十年里许多理论工作者在Benjamin Lee Who相导下形成了思考语言在学习中的重要作用，他对Sapir-Who搬说的发展得到了同行的认可。他们这一假说具有两个主要的部分：(1)语言需要更高级的思维，(2)语言形成了个体对世界的理解。Vygotsky也对语言在对感官世界认识中的重要作用做了深入的研究。他是认知心理领域为人称道的研究者，他提出了大多数有意义的基本单元就是词汇的公设。在他对学生的研究中，他得出了语言极大的影响着他们的认知发展的结论。换句话来说，一定程度上学生对世界的理解是通过语言的中介起着交互作用的结果。

语言学习中一个重要的因素就是词汇学习，而且在阅读词汇和阅读理解之间存在着已经证明的相当强的关系。同样掌握数学的关键因素就是学习掌握词汇。很多教育工作者都赞同Miller的观点：“在日常的数学教学工作中、课本学习中、词汇问题掌握中，没有掌握好词汇对学生学习数学造成相当的障碍”。

对Vaccas来说，他们认为“对概念来说词汇是语义标签。”这里讨论的目的来说，数学词汇是指那些具有数学概念标签的词汇，比如除数、商、分子、等。数学词汇的学习可以帮助学生在明确定义、建构相应的数学对象时产生“再创造”过程。

二、词汇学习中的困难

在数学词汇学习过程中存在一些障碍，学生表现出不能顺利进行识别理解、构造、转换、操作、表达这些数学概念的现象。而在这里对学生来说，我们从另外的角度去认识其中的一个突出的障碍，就是这些数学词汇应用机会的缺乏。因为大多数在数学课堂上学习的数学词汇在日常生活中几乎很难涉及到，这样使得学生不可能具备这些词汇的背景知识。再者，教师常常忽视富有意义的词汇教学，学生也不可能在课堂上掌握这些数学词汇，

另外，一些术语在数学领域的意义有别于它们在日常应用中的意思。如果缺乏适当的词汇教学，学生的经验学习必然会同那些看似同数学无关而又缺乏背景知识的概念产生冲突。

另一个造成数学词汇学习困难的主要因素是这些术语常常非常抽象。Mille耐此解释道：“许多数学词汇表征的是概念而不是实物。像商、分数、因数等，这类词汇相对于学生们的感官世界可能不是唯一的，容易混淆的表征，它们不是那种描述性的概念”。

三、数学词汇教学的方法

教学策略是一种相对系统的教学方法体系和教学行为程序，是为实现某种特定的教学目标所采用的行为方式，既是具体教学方法的概括又是教学理论的具体化。它是连接教学理论和教学实践的中介。而就数学概念形成教学策略来讲，是指学生学习数学概念时从概念的大量实例出发，在实际经历过的数学概念的肯定例证中，采用归纳的方法抽取一类数量关系或空间形式的共同属性，从而获得初级概念，并把概念推广到同类事物中去的过程。概念形成的过程实际上是一个归纳推理的过程。

虽然有研究者认为相同的教学法对学生的教学结果不同，个体差异在教学过程中显著，但是对教法的研究可以帮助更多的学生有效地掌握数学概念，从而提高他们的数学能力。认知学派的概念学习的理论主要有：加涅把学习过程划分为理解、习得、存储、提取四个阶段，符合现代信息论的信息加工模式；布鲁纳的发现学习，将概念的认知过程归结为思维后的抽象过程；奥苏伯尔的有意义学习理论，利用上位、下位和并列学习的形式，认为概念的认知是已有结构与新结构的相互作用。

情景线索教学法和直接教授教学法是两种常见的数学词汇教学方式。当然，有些研究者提出在直接教学中结合情景的教学策略。

1．情景线索教学法

在教学开展的引言部分，扩大示例的讲授，引导学生对这些线索产生一定的经验基础，对学生来说这是一种明显的下位学习方法。一些教育工作者坚信学生能够从提供情景中解决对这些词汇的理解，形成具有意义的经验基础，从而完成有效的概念教学工作。大家还没有意识到从情景中学习概念是丰富词汇意义有价值的途径。Miller和Gilden声称学生会应用在学校学习词汇的很多方式在家里学习词汇，“观察那些词汇怎样在可理解的情景中应用”。还有，学生在幼儿时期通过个人的相互影响掌握词汇的意义的时间要比从书本上去学习这些早得多。

对学生学习数学词汇来说，充满意义的情景至关重要。鼓励师生之间适当交流数学教学提供了学习数学语言的良好隋景。

应用情景对掌握、扩大数学词汇很有帮助，但这还不充分。由于信息过多，学生不能够选择和组织这些信息来完成词汇意义的掌握，还有可能所提供的情景信息不够丰富，无法提供掌握词汇的必要信息。还有这些数学课本中提供的示例还是过于抽象，以至于对学生掌握这些概念仍然没有价值。2．直接教授教学法选择部分重要概念的直接教学法已经被提倡了很多年了，也得到了一些同行的认可。Vaeca等人认为那些最重要的概念“需要完好地直接教授”。Klein强调词汇的直接教授可以引导学生派生出词汇的深层含义。Chall和Miller~都极力主张概念的直接教授。当然，并不是所有的直接词汇教授都是有效的。很多教师在术语直接教授中常使用的是单纯定义的方式。这种教学法就是直接让学生在字典中查询术语的意义或直接告诉他们术语的定义，让他们去死记。这种方式是无效的。Irvin主张仅仅从字典中查询而获取术语的意思是很难对它进行理解的。通过这种方法学习术语的学习者必须具备理解词汇定义的一些知识。字典的定义往往无法提供足够的信息让学习者掌握词汇的准确意义。单纯定义的方法只让学生掌握了术语的字面意思。相对于这种方法，其他的一些直接教授法在帮助学生派生词汇的深层含义相当有效。图形组织教学法是当前看来最有前景的方法。图形组织在方法上，它应用了时下大脑如何组织信息的最新理论，它对重要的概念进行了属性描绘并标识出他们之间的关系。应用这种方式可以提供术语的背景知识，它显得“比抽象的泛泛而谈更及时、完整”。Dunston认为图形组织可以给学生一个信息结构去学习。对教授科技术语来说，图形组织显得尤其有效。Irvin也认为图像组织有助于引导学生掌握术语之间的相关等级排列。某种意义上来说，图形组织学习对学生来说是一种上位学习方式。当然，图形组织学习法完全依靠于概念的背景知识，它的能力也是有限的。3．综合方式教学从概念学习的理论中我们明白，单纯的上位学习和下位学习对具体的概念学习是不完整的。某些概念适合上位，某些概念又对下位学习有效。这样，整合两种学习方式是教法研究的一个发展。单独应用情景线索教学或是直接教授法教学对学生掌握有相当意义的数学术语还是不够，而当把这两种方法结合起来，它们就能相得益彰、行之有效。Monroe和Pendergrass报告过他们应用综合教学法的有效案例。在情景教学法中强调了学生对术语意义结构的掌握，老师又相应地提供给学生对习得词汇表达、讨论、读、写的机会。一旦学生具备了一个概念的一些知识经验后，教师再应用图形组织的直接教授法帮助学生使用和组织更多新知识融人原有的认知结构中来。图形组织也能引导学生拓展不同概念之间的相互关系，形成自己的认知图式。对数学概念的学习与发展不能忽略。教师在掌握学生数学学习心理过程的前提下，灵活应用适应的教法，帮助学生理解概念，从而帮助他们突破转换、结构、表达、应用的障碍。这样看来学生既需要从情景教学中也需要从直接教授法中获取经验，以形成他们对术语意义的认知结构。图形组织整合了当前脑对信息认知过程的理论，在词汇教学过程中已经得到有效的证实。相对来说，应用纯粹定义法方法就相形见拙一些。综合情景教学和图形组织的直接教授而形成的教学方式在数学术语教学中是相当有效的方式。概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。数学概念则是客观事物中数与形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，更数学学科的灵魂和精髓。所以，数学老师重视数学概念的教法策略，应是完美上好一堂数学课的有力保障。

(责任编辑白文军)