超级画板测量功能在中学数学教学中的应用

温泉河　李传中

摘 要:《z+z智能教育平台——超级画板》(简称“超级画板”)提供了丰富的动态测量功能。利用这些测量工具,既可以进行机械的计算,又可以为探索研究数学问题建造模拟实验环境。

关键词:超级画板;测量;中学数学;教学应用

中图分类号:G434文献标识码:A 文章编号:1673-8454(2009)16-0046-03

一、超级画板测量功能

何谓测量?《现代汉语词典》对测量一词的解释是:①用仪器确定空间、时间、温度、速度等的有关数值;②有关地形、地物等的测定工作。[1] 在百度上搜索,可以找到这样一个定义:所谓测量,是指用实验的方法,将被测量(未知量)与已知的标准量进行比较,以得到被测量的具体数值,达到对被测量定量认识的过程。[2] 在测绘学里,测量的研究地面点的几何位置、地球形状及地球重力场,测量的发展很大程度上依赖测量方法和仪器工具的创造和改革。可见,测量是确定数量的过程,同时有研究探索的意思。现在,超级画板就为我们在计算机的模拟环境里提供了一系列如直尺、量角器、圆规的测量工具。

1.超级画板测量功能概述

这里将测量功能分为狭义的测量和广义的测量。狭义的测量包括几何量的测量和简单变量的测量。几何量的测量如长度(包括直线段长度和曲线长度)、角度、面积的测量,简单的代数量测量,如变量值的测量。广义的测量,除了包括狭义的测量的范围外,还包括对表达式的测量。对表达式的测量,正是超级画板测量功能的一大特色。超级画板提供了丰富而强大的测量功能。超级画板目前提供的测量功能可以基本满足中学数学范围内的应用,如提供了大量关于几何量、代数量的测量。超级画板提供的“测量表达式”功能可以进行表达式的测量。其中独具特色的嵌套测量能进行变量的自加或自减。“测量表达式”功能为我们探索研究和解决一些数学问题提供了条件。

2.超级画板的测量功能特点

(1)动态的测量

超级画板提供的是动态的测量。经测量的几何量和表达式,随相关的几何图形和变量的改变而动态更新。也就是“测算的结果是动态的,随着图形的变化而变化。还可以把测量数据作为作图的参数”。[3]

(2)嵌套测量

在超级画板里,每进行一次测量,系统会自动产生一个跟测量对象(数据)对应的编号,从m000一直到m999。新建一个文档,在测量表达式输入“m000”后按“确定”。可以看到屏幕上出现一个测量结果“m000=0.30”。这里有一个问题,我们之前并没有进行任何测量,是系统自动给出了m000的初始值“0.30”。就是说,可以把编号本身作为一个变量测量。这时,在测量表达式输入“m001+1” 后按“确定”观察,随着作图区的刷新,这测量结果会不断地加1。其实输入的表达式“m001+1”相当于m001=m001+1。这就是嵌套测量。[4]

(3)测量数据的刷新机制

表达式(包括变量)的测量结果不是经测量就不变的。当表达式包含的量发生变化,表达式也重新计算得到新的值。超级画板提供了以下方式更新测量表达式:

①作图或产生其它新对象;②拖动图形或其它对象;③动画;[4] ④按下属性设置的“确定”按钮。知道了测量的刷新方法,当我们研究的问题需要不断刷新测量数据时,就可以利用其中的方法。如例1、例2。

3.与测量有关的两个技巧

(1)指定变量值与设定变量动画频率

在超级画板里,变量可以随意使用,而不必进行变量的定义。可以使用菜单里的“测量→测量表达式”,直接测量新变量。也可以使用菜单里的“插入→变量对象”,插入新变量。

让变量在指定范围内变动,方法就是使用动画。特别地,要使变量精确地取某个值U,方法也是使用动画,只需要把变量动画的参数范围的最大值和最小值均设置为U即可。如,使变量T取值为0,只要将最小值和最大值都设置为0。

如果对变量的变化有特别要求,需要对动画参数进行相关的设置。如,要使变量T,从0开始以1为增幅变化到7,可以如下设置:动画运动的频率设置为7,参数范围的最小值为0、最大值为7。这样,当动画启动时,变量T的取值分别是:1、2、3、4、5、6、7。即取值范围除以频率就是变量的变化幅度。

(2)利用sign函数实现统计数据归0

sign(a,b)函数的作用是当a>b时函数值为1,否则为0。如在数学实验中,反复的实验需要在每次实验前将统计数据归0,使统计数据归0可以直接制作动画使相关变量的值为0。但是,如果统计的数据较多,需要制作的动画也相应增多。利用sign函数,可以令全部的统计数据归0,而不需要增加额外的动画。如统计数据为m000,m001……,m010,在测量表达式的时候加上sign函数,如sign(t,0)*m000,那么在t为0的时候就将m000归0,每个统计数据都加上sign函数,就可以实现全部统计数据归0。

二、超级画板测量功能的应用

作为数值计算功能,超级画板能进行大整数的四则运算。如计算2100,只要输入表达式即可得到结果。综合利用超级画板的测量功能,可以为研究问题建造一个模拟的实验环境。

例1: π的计算

我国古代数学家刘徽使用“割圆术”,计算到π的近似值为3.14。南北朝时数学家祖冲之,计算到π的值介于3.1415926与3.141597之间,是我国古代数学的一个伟大成就。历史上还有其它计算π的方法,如数值积分法,概率的方法等等。

我们知道,只要能够算出圆的面积,就可以得到π的值。单位圆的1/4是扇形,它是边长为1的正方形面积的一部分。怎样可以求得扇形的面积?一个办法就是在正方形范围内随机投入很多点。每个点落在正方形的任意位置机会相等。假设一共投n次,我们可以统计落在扇形面积的点的数目m,再计算m/n,就可以近似地得到扇形面积。

作出单位正方形和扇形。作坐标点B并将其设置为跟踪,B点的X坐标和Y坐标均为rand(0,1),拖动参数为x。计算点B和圆心的距离,小于1即落在扇形内。利用超级画板的嵌套测量可以实现重复投点数量的统计。主要步骤如下:

(1)先测量点B和圆心的距离:使用语句MeasureLength(,),在“程序”窗口里输入“MeasureLength(8,1)”;其中,8和1分别是点B和坐标原点在超级画板里的编号。运行后得到测量的结果为m000。

(2)统计落在扇形内的点的数目:在“测量表达式”里输入“sign(x,0)*m001+sign(1,m000)”。当前要测量的是m001,这样测量就是为了实现m001=m001+1的效果,当点B和圆心的距离m000小于1时,m001就加1。这里加上sign(x,0)相乘是为了每次开始时初始化统计数据。(3)统计投点的总数:在“测量表达式”里输入“sign(x,0)*m002+sign(x,0)”。

(4)π的近似值为:(m001/m002)*4。

(5)设置变量x的动画:为了初始化统计数据最小值设为0,每次x的动画从0开始时,正好将统计数据初始化。

反复实验,观察,当投点个数达900个附近时,开始得到3.1的值;投点个数达5000个附近时,开始得到3.14的值。其它计算的方法又效率如何呢?哪个效率较高?大家都可以动手做一做。

例2:用嵌套测量实现二分法求方程根(如图1)

在实际中,我们经常需要寻求函数的零点(即根),对于一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(如一元二次方程的求根公式)。对高于四次的一元函数,可以使用二分法取得近似解。二分法的原理是,通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围,在一定精确度下,我们可以得到零点的近似值。

以tx+sin(x)为例。打开测量表达式,测量m006,m007,也就是把m006,m007分别赋值给m000,m001。测量t^m006+sin(m006)和t^m007+sin(m007),把m006和m007作为零点两旁的近似根。测量(m006+m007)/2,测量变量为m004。计算x为m004的方程值,测量t^m004+sin(m004),测量变量为m005。假设m006为零点左边的点的X坐标,m007为零点右边的坐标,则需要判断新取的中点赋值给m006,m007中的哪一个。测量表达式为:

sign(m005*m002,0)*m004+sign(0,m005*m002)*m006,sign(m005*m003,0)*m004+sign(0,m005*m003)*m007

把m004赋值给m006,m007中函数值与m005同号的那个变量。这样实现了不断取中点。插入变量t、a、b。制作变量m006,m007的动画,取值分别为a、b。制作变量t的动画,类型为一次运动,频率为10。

使用超级画板的测量功能,既可以做一些机械性的计算;又可以为研究问题、探索规律建造一个实验的环境。在熟练的情况下,制作如例1、例2这样的实验环境只需要十几分钟甚至更短的时间。可以让学生自己动手做这些课件而不仅仅参与实验,这样既提高了学生探索研究的兴趣,也提高了学生动手能力和学习能力,一举多得。

参考文献：

[1]中国社会科学院语言研究所. 现代汉语词典[M].北京：商务印书馆,1996，3.

[2]电子网.测量的定义[DB/OL].http://www.51dzw.com/EmbedPage/2008-11-26/2008-11-2670835.html.

[3]张景中.超级画板在高中数学教学中的应用[J].高等函授学报(自然科学版)，2008-2-1(22).

[4]张景中,彭翕成.动态几何教程[M].北京：科学出版社,2007．（编辑：刘轩)