概率教学中关于“可能性”的思考

回建彬

在概率的教学实践中,“可能性”的教学问题不断出现,如:究竟什么是“可能性”,为什么要学习“可能性”,以及用什么样的方式来进行教学。教学中教师也常不知所措,实践中就有了以下两种现象。

【教学片断1】“明天一定会下雨”是确定现象吗?“可能性”学完后,教师在黑板上写下“一定”“有可能”“不可能”,然后让学生用这3个词分别来说句话。有学生说:“太阳一定会从东方升起。”教师肯定了他的回答。又有学生说:“明天一定会下雨。”教师对此不置可否,又接着请其他学生继续说。听课的教师却议论纷纷:“这件事情可能发生!”课后,执教老师认为:这件事情并没有发生,所以不是确定的。

【教学片断2】“为什么连续六次都摸到白球?”在一次“可能性”的教学中,教师在一个不透明的盒子中放入一个白球、一个黄球,然后要求学生任意摸一次,问结果会怎样?学生回答:“可能摸到白球,也可能摸到黄球。”然后教师就让学生摸球,来确认是否是这样的。结果,所有学生都摸到白球。怎么会这样呢?就连教师也不知道该如何去面对这样的问题。

一个事件、一个现象发生不发生,是研究可能性的基础。例如,每天太阳都会从东方升起;在标准大气压下,水加热到100 ℃就会沸腾。总结以上现象,可以发现它们都有共同的特点,那就是:服从特定的因果规律,从一定的条件出发,一定可以推出某一结果,这一类现象就是“必然现象”。

虽然随机现象具有不确定性,但是它也是具有规律的,正是因为它的这一属性,才使得它与数学发生联系。可是人们在平时零星的观察中一般不容易发现随机现象背后的规律。如本文开头的现象二,具有概率初步知识的人都知道,在这样的情况下,摸到白球和黄球的可能性是一样的,但是这并不意味着第一次摸到的是黄球,第二次摸到的就一定是白球。因为这里的可能性一样是针对某一次摸球而言的,即不管前面摸了多少次白球,下一次摸球时,出现白球和黄球的可能性仍然是相等的,各为1/2。教师如清楚地认识到这一点,就能理解出现连续摸到6次白球的情况也是有可能存在并且发生的,同时也能够引导学生在学习中对此问题有较为清楚的认识。针对现象二,以下是值得借鉴的做法。

当学生连续6次摸到白球后,教师可以提问:1)怎么会连续6次摸到白球?(目的是引导学生感悟到每次摸球的结果在摸之前是无法确定的,连续多次摸到白球也有可能。)2)第7次会摸到什么颜色的球?(目的是使学生认识到前一次摸球的结果并不对后一次产生影响,初步感悟到随机事件的发生和人的心理期望没有任何关系。)

当所有学生摸到白球后,教师可以提问:真得摸不到黄球吗?(目的是使学生明确:盒子里有黄球,只要不停地摸下去,是一定能摸到黄球的。)

通过以上层层设问,教师帮助学生搭建一个思维的阶梯,有助于引导学生深入理解“可能性”的含义,也就是促使学生进一步理解事情发生的确定性与随机性。

其实,上述2种情况都是概率教学的难点。因此在概率的教学中,教师要注意采取多种形式帮助学生建立对事情的正确表象,并事先对学生的情况进行了解,如知道学生可能对哪些问题容易出错,不同的学生可能存在哪些不同的错误,从而有针对性地采取一些措施,这样教学的效果可能会更好。在教学工程中,笔者认为,必须努力做到以下3个方面,才能使学生充分理解概率问题。

源于生活,适时联系

注重偶然性与必然性之间的联系必然性与偶然性虽然有很多差异,但是也非泾渭分明,其实是“你中有我,我中有你”。任何一个随机事件的发生都有其偶然性,但是也包含一定的必然性,这种必然性表现在大量重复的试验或观察中呈现出固有的规律,这就是随机现象的统计规律。概率论与数理统计的研究目的就是从偶然性中探求必然性,从混沌中找有序。该学科本身也体现了偶然与必然的辩证关系。

注重联系学生的生活实际事实上,概率与统计对象来源于生活,其教学自然也不能脱离生活,因此教学中要引导学生提供他们熟悉的问题情境,恰当点拨,因势利导。

注重与统计知识相联系统计与概率是密切相关的内容,通过统计随机事件发生的次数,可以来理解事情发生的可能性大小。这样,可能性的得出要借助于统计的方法。

事必躬亲,注重实践

要让学生能够理解事情发生的可能性,只有学生亲自感受体验,才能相信有些事情是可能发生的,有些事情是不可能发生的,因此在“可能性”的教学中要注重学生的参与和实践。

严谨教学,归纳推理

表面看上去,概率的有关知识缺乏通常意义下数学的严谨性,似乎无推理可言,但实际上概率中也是有推理的。在教学中可以通过让学生猜一猜等活动,发展学生的合情推理能力,也可以通过看一看,培养学生思维的严谨性。

(作者单位:河北省唐山市丰润区丰润镇中学)