一部精彩的“思维连续剧”

汤建英　丁浩清

情境呈现

学习圆柱的体积后，老师布置了一道思考题让学生回家思考：用一张长30米、宽20米的长方形铁皮围成一个直圆柱，并给它配上相应的底，怎样围这个圆柱的体积为最大?

情境一：直觉感知——产生分歧

师：昨天老师布置了一道练习题让同学们回家思考的，谁愿意来说一说自己的设计方案。

生1：我认为，用30米的边做圆柱的底面周长，用20米的边做圆柱的高，所围的圆柱体积最大。

生2：我认为，用20米的边做圆柱的底面周长，用30米的边做圆柱的高，所围的圆柱体积最大。

师：到底是哪种方案围成的圆柱体积最大呢?现在我们来进一步研究。刚才同学们给出了两种方案，凭你的直觉，你认为哪种方案围成的圆柱体积最大?谁愿意来谈谈自己的想法。

生3：我认为用30米的边做圆柱的底面周长，用20米的边做圆柱的高，所围成的圆柱体积最大。因为这样围它的底面半径就长，求底面积时又要求半径的平方，它的底面积就更大了。我觉得它的体积肯定比另一种的体积大。

生4：我认为第二种方案做成的圆柱体积大。因为它的高是30米，比第一种的高20米要长10米。

生5：我认为两种围法围成的圆柱体积相等。因为无论怎样围，这个长方形铁皮的大小不变。

师：到底哪种围法围成的圆柱体积最大呢?下面我们用一张长方形纸来演示，用30米的边做圆柱的底面周长，做成的圆柱胖胖矮矮的，我们--称其为“矮胖子”；用20米的边做圆柱的底面周长，做成的圆柱瘦瘦高高的，我们称其为“瘦高个”。到底是“矮胖子”的体积大，还是“瘦高个”的体积大呢?怎样来比较呢?谁愿意来说一说?

生5：把两个圆柱的体积都计算出来，不就可以比较了吗?(可能还有其他想法)

师：好，下面我们就通过计算来验证谁的想法是对的。

情境：计算证明——统一意见。

师：根据题意，谁来说一说怎样列式?

生1：方案一：(30÷3.14÷2)²x 3.14×20

生2：方案二：(20÷3.14÷2)²×3.14×30

师：下面就请同学们算一算。(片刻后学生可能计算有困难，教师接着说。)同学们，你在计算时有困难吗?

生3：在计算体积时又遇到了新的问题。30÷3.14÷2怎么算?它的平方又怎么算?

生4：(又有学生接着说)可以用分数表示。商的平方不要算出来，可以和后面的3.14约分。

师：那大家试试看。

在教师的引导下，学生通过算式变形得出了这样的结果：4500/3.14和3000/3.14。

师：在数据面前支持第一种方案的同学认可了这道题用较长的边做圆柱的底面周长，较短的边做圆柱的高，这样的圆柱体积较大，即“矮胖子”体积最大。

情境三：由此及彼——探究规律

师：就根据这道题解答的情况能说明问题吗?是不是所有的用这种方法去围一个圆柱，都是这样的结论呢?

生1：再举一个例子试试看。

师：好!举怎样的例子呢?长是多少?宽是多少?

生2：两个数据相差大一些。举例1：长100米，宽10米。

生3：两个数据相差更小一些。举例2：长30米，宽28米。

师：我们先对举例l通过计算来验证。(学生独立完成)

生4：(100+3.14+2)²x3.14x10=25000/3.14

生5：(10+3.14+2)²x3.14x100=2500/3.14

师：同学们，再次得到结论：还是用长边做圆柱的底面周长，短边做圆柱的高时，围成的圆柱体积较大

情境四：一波未平——波又起

生1：(另一组数据长30米，宽28米还未进行计算，又有学生叫道)老师我又发现了一个规律：两个体积的比值和长与宽的比值相等。

生1：(接着说)我和其他同学计算后发现果然课外思考题中两种围法的体积之比是3：2，长与宽之比也是3：2；举例1两种围法的体积之比是10：1，长与宽之比也是10：1。

生2：老师，这种结论会不会是偶然的呢?

师：那就请同学们用长28米、宽30米的这组数据再算算看。

师生集体完成。

(1)长为圆柱的底面周长(30÷3.14÷2)²x3.14×9R=6300/3.14

(2)宽为圆柱的底面周长(28÷3.14÷2)²×3.14×30=5880/3.14

师：你又发现了什么?

生3：还是第一种方案的体积较大，体积之比和长与宽之比也是一致，都是15：14。

师：看来同学们发现的规律是正确的。

情境五：字母帮忙——一举两得

生1：(又有学生接着追问道)为什么会这样?

师：(想了片刻，便引导学生思考)刚才我们举出了三组具体的数据，那有没有更好的代替这些数据的具有普遍意义的方法来证明呢?

生2：老师，能不能用字母来表示，a表示长，b表示宽来试试看。

师：好，说干就干。我们一起来完成。

(1)a为圆柱的底面周长(a÷3.14÷2)²×3.14×b=a²b/12.56

(2)b为圆柱的底面周长：(b÷3.14÷2)²×ah²/12.56

师：两个体积的比是a：b，长方形长和宽的比也是a：b。而且因为a>b，所以a²b/12.56>ab²/12.56，同时证明了第一种的体积大。

“哇，一举两得!”学生们开心得叫了起来。

反思回放整个过程，学生一直处于一种亢奋的状态，几个男同学激动得涨红了脸，师生一起经历了一次有直觉思维、逻辑思维、归纳思维、形式思维、抽象思维等组成的“思维聚餐”，它是一场由学生发起，推动的“思维碰撞”，是一出师生同台、学生为主角的“思维连续剧”。

上述案例是偶一得之，完全是老师的“无心插柳”，结果却引发了学生一节课的讨论，获得了“柳成行”的效果，它带给我很多思考。

一、关于“问题”的思考

1、不断生成的问题是课堂教学的动态资源。课堂上的很多信息、很多细节是稍纵即逝的，这就需要教师敏锐的捕捉，机智的处理，合理的“纵容”，有时候要在平静的湖水里抛下一块石头，让它荡起层层涟漪；有时候要播下一点火种，借风之势让星星之火可以燎原。在这个课例中，学生先后自主地提出了(1)到底“矮胖子”体积大还是“瘦高个”体积大?为什么?(2)是不是所有的用一个长方形去围成一个圆柱，都有这样的结论呢?(3)围成的两种圆柱体积之比和长与宽之比是不是都一样呢?(4)为什么体积之比和长与宽之比会一样?这些问题为课堂教学提供了丰富多彩的教学资源，这些教学资源会有效推动课堂教学的进程，使得数学课堂显示出别样的张力。

而来自于学生的问题更具有挑战性和创造性，更容易激起学生的斗志和思维紧张度。在这样的来自内心发问的引导下，学生便很快进入思维的轨道，更会让思维绵亘千里。学生“疑”犹未尽是课堂教学的最高境界。

2、教师对学生提出的问题不妨小题大做。也许学生的问题你能一语道明，也许你的教学进度会受到影响，也许学生的问题会让你措手不及，无从应对等等，但教师要给予学生一种欣赏、一种保护，尽量留给学生一定的时间和空间，尽量让学生通过自主探究发现问题解决问题。

真正数学化的数学课堂应该是一个不断生成问题一解决问题——生成新问题——解决新问题的过程，我们企盼看到我们的学生能在学习中生成各种问题。

二、关于“思维”的思考

1、呈现真实自然的状态。郑毓信在微学课程改革2005：审视与展望中呼吁“新课改要对学生数学过程中的思维活动有较为深入的了解”，并要求“深入地去了解学生在学习过程中的真实思维活动”。

如今的数学公开课教学中很少能看到学生思维的原生态，大多数课的进程非常顺利，学生和教师配合非常默契，思维的行进与思维的成果基本已经预设，很少有思维的“旁枝逸出”或“受阻梗塞”。现在我们呼唤真实的课堂，看到学生真实的思维过程，我们希望看到学生思维过程中受阻、停顿、徘徊、矛盾、模糊等真实过程，太顺畅的课堂总让人觉得少了些味道。这节课没有预设，完全是学生思维的自然“滑翔”。此次无意而为。却让我们深深感知数学课堂研究如果停留在表层，那终将是“隔靴搔痒”，无济于事。只有真正进入学生思维的领地，才能真正触及数学的本质。我们的数学课堂，教师不妨少说一些，多看一看，学生不妨多问一问，多说一说，多想一想。课堂上尤其需要给学生安静思考的过程。

2、体现思维教学的过程。数学的教学实质是思维活动的教学，数学教学应凸显学生思维活动。(1)强化直觉。直觉思维是一种活泼的思维方式，反映出一个人的数学感觉。上述课例中题目思考的开始便让学生调动直觉思维谈谈自己最直接的想法，对题目的结果进行猜想，学生的两种意见都是合乎情理的直感。彭加勒认为：直觉用于发现。直觉产生的想法是否正确，需要“根据说理”，需要用分析思维进行检验。(2)严格推理。学生通过计算已经看出了这个“矮胖子”的体积大，但是不是所有的“矮胖子”都比相对应的“瘦高个”体积大呢?为什么?彭加勒还说过：逻辑用于证明。最后一个层次用字母a、b表示长方形的长、宽，然后通过算式变形，得到用字母表示的体积，通过求比，证明了体积之比等于长与宽之比，也证明了长边做底面周长圆柱的体积较大，一举两得，尽释前疑。对于小学生，有些结论还无法让学生经历严格证明的过程，教材也没有这样的目标要求，但为了培养高年级学生的逻辑推理能力，有时在理解难度不大的情况下不妨打开一扇门，让学生感受一下逻辑证明的魅力。(3)适度抽象。对于小学高年级的学生，要加大抽象思维培养的力度，让字母参与运算从而推出结论的方法，即代数方法也必须让学生有一定的接触，这为学生以后的学习起到—个很好的铺垫作用。

学生的解题过程是一个由直觉思维发现到逻辑思维证明的过程。数学的思维教学应当强化直觉思维，培养学生的创造性思维。

三、关于“结果”的思考

今天探讨的问题超出了教材的要求，也打乱了原定的教学计划，但是我们和学生的收获都是很大的，有数学情感的体验，有数学思维的训练，有数学过程的感受。后来有老师提出，其实要证明矮胖子体积大还可以从另一个角度去想，因为圆柱的体积也可以用“侧面积的一半×半径”来计算，同样的一张长方形铁皮围成圆柱，侧面积相等，只要看半径，底面周长长的半径就大，所以此时围成的圆柱体积就大。有的老师提出，可以让学生通过装沙的方法验证等等，他们认为我不必大费周张地如此去做。好像有浪费时间之嫌，但是我很庆幸自己没有直接用这种方法去证明。否则学生怎会经历这么一个高潮迭起的思维过程呢?思维的美丽，应该在路途中。