知方求圆及相关图形面积解答新法ｍ2

刘振义

知方求圆及相关图形是小学教学教材几何初步知识部分常见的图形，其面积计算过程繁锁，学生在计算时易于出错，针对这种情况，根据多年从教经验，经反复研究，总结出解答这类题的新方法，特介绍给广大从教同仁，希望得到更多朋友的批评指正。

1．知方求圆及相关图形面积的简算实例

1.1求图中最大圆的面积（单位：cm）

（已知正方形面积a²=100cm²）

简算新法：

100×78.5%＝78.5(cm)²

答：最大圆的面积是78.5cm²

1.2求图中度扇形面积。单位：（cm）

简算新法：102×78.5%＝78.5(cm)²

答阴影部分的面积是78.5(cm)²

1.3知方求余（面积）（即图中阴影部分的面积）

例：一个面积为50cm²的正方形，剪成最大圆后的剩余部分的面积是多少cm²?如图（二）

简算新法

50×21.5＝10.75(cm)²

答：剩余部分的面积是10.75cm²

1.4求阴影部分的面积。单位：cm

简算新法：8×8×21.5%＝13.76(cm)²

答：阴影部分的面积是13.76（cm²）

1.5知方求冠（面积）（即图中阴影部分）

例：求阴影部分的面积如图（三）（a2＝100cm²）

简算答案：

100×28.5%＝28.5(cm)

答：阴影部分的面积是28.5cm²

1.6求阴影部分的面积。单位：cm

简算新法：6×6×28.5%＝10.26(cm)²

答：阴影部分的面积是10.26（cm²）

2．推导

解题实例中的六道题（6个图形）即以正方形面积或连长为已知条件，最大圆满及相关图形面积为问题的几何形题，这些图形之间互相联系，互相依存，自成一统，形成了一个有别于其它形体的相对独立的整体，解答新法就是依据这个整体的特点提出来的。

解答新法的形成是创新思维的产物。它成功地挖掘利用各图形中已知与未知条件间最直接的关系——百分比（或叫百分率）。百分比是这类图形中两个条件之间关系的最恰当的表现形式。也是解题新法形成的基础和依据。

2.1第一组知方求圆（面积）（含知方求扇）

实例中第一题（图一），其题意很简单，即正方形面积为已知条件时，求这个正方形中最大圆的面积（故称之为知方求圆），现在，我们借助左图，对该题的解答方法进行推导。

首先用两条相互垂直相交的

直线将左图（一）的正方形

a²平均分成四份（如左图一

所示）。这进就可以看出，

平分后正方形a²的四分之一与最大圆的（r²）相等。这时可得出这样的结论图中最大圆的面积为πr²，正方形面积是4r²,(即a²＝4r²)这样最大圆面积与它所在正方形面积的百分比可以由πr²÷4r²或

这个约分的结果78.8%是最大圆与所正方形两面积的最简比（百分比或百分率）这样（如图一）知方求圆（面积）中最大圆面积S所在正方形面积a2的这种关系可以用下面的式子表示，即：

实例第二题（图二，知方求扇）顾名思义，即已知正方形面积（或边长）求该正方形中最大扇形的面积。（这是特定条件下的特殊扇形，是扇形的特例）。显然，图（二）可以看做图（一）的一部分，这种关系可参照下图

两个图形面积大小虽然不同，但图1最大圆与图2最大扇形占所在正方形面积的百分率相同。

图1的正方形中最大圆和正方形分别看作图2中最大圆正方形面积的4倍（即图2中最大圆，正方形两个面积都乘以或除以相同的数（0除外），商不变。）判定，如是实例第一题（图一）第二题（图二）这样知方求圆（扇）面积的图形共同拥有同一个百分率，那就是最大圆（扇）的面积（S）分别与它所在正方形面积（a²）百分率均为78.5%，可用下面式子表示：

S圆、扇÷a²或＝＝78.5%

根据乘除的关系（被除数＝除数×商）

所以实例第一、二两题只要用正方形面积（a²）直接与圆扇的百分率（78.5%）相乘就可以求出最大圆（扇）的面积了。

2.2知方求余（圆余、扇余即阴影部分）

实例中第三题（图三）题意很明显，即已知正方形面积，求正方形中最大圆之外的剩余部分（圆之余）的面积

现在我们已经知道最大圆占所在正方形面积的78.5%，那么余下部分的面积占所在正方形面积的百分率即（1-78.5%）= 21.5%。

同样，第四题（图四）中：余下部分的面积占所在正方形面积的百分率与（图三）的百分率相同，因此这两个图中阴影部分的面积Ｓ与它所在正方形面积a2的百分率为：

S佘÷a²＝21.5%

同样根据乘除法的关系，这两道题用用一种方法计算：

即a²×21.5%

2.3知方求冠

实例中第五、六两题，简而言之两题属同一种关系，两题图中阴影部分与所在正方形面积的百分率相同，以（图五）为例，在最大扇形中减去三角形面积即可算出阴影部分的面积，最大扇形面积占正方形面积的78.5%，而三角形部分占正方形面积的50%，所以图中阴影部分的面积占正方形面积的78.5%－50%＝28.5%，这个28.5%即是图中阴影部分所占的百分率。因此图五、图六中阴影部分面积只要用所在正方形面积a²与阴影部分的面积相乘即可。a²×28.5%。

补充说明

π值3.141592653……除以4，商是0.7853986……，根据现行九年义务六年制教科书小学数学第十册120页分数化成百分数的计算法则关于（分数化成小数，除不尽时，保三位小数）的规定，3.141592653……除以4所得的商保留三们小数仍然是0.785化成百分数为7805%，所以说最大圆与它所在正方形面积百分比78.5%，所以说最大圆与它所在正方形面积百分比78.5%是符合教材规定的，是合理的可行的。

2.2对比题 求下图阴影部分的面积、单位、分米。

此题是人教版现行九年义务教育六年制教科书配用的第十一册《小学素质教育同步训》（小学教学）第28页6题（原题无改动）。

两种答案对比：

②三角形面积

10×10÷2＝50(分米)²

③阴影部分面积：

（78.5－50）×2＝57(分米)²

答：阴影部分面积是57(分米)²。

以上两种算法对比鲜明、繁简悬殊，新法简捷、省时正确率高，是可行的好方法，值得推广。

2.3全面综合系统整理

2.3.1三类图形与所在

正方形的关系

正方形面积a2为100%＝1

最大圆（扇）形面积78.5%

圆（扇）冠部分占28.5%

圆（扉）余部分占21.5%

2.3.2全面综合系统整理（如图）

此图形全面盖了正方形及其中各部分之间的关系，下面用两句话来表述：直半边周对角线圆方三角扇余冠这两句话所说的十个条件只要在一个条件是已知的，就可以运用简算新法求出图中各部分的面积。

此新算法是根据小学教学教材的具体情况提出来的，材料中选用的图形都是教材中常见的，因此有很强的针对性的实用性。由于各图形之间紧密相联，有很强的系统性，因此，这些算法也是互相依存，相辅相成，形成一个比较完整和完善的相对独立的算法体系。百分数是小学教学教材中的一项必学内容。百分比确切、鲜明地反映了题（图）中已知与未知条件间的关系，且与其它理论不存在直接性联系，材料中表示三种图形面积的三个百分率的互补的特点使它便于记忆，对小生来说好学易懂、方法简便，这些特点都是深受师生欢迎的，因此是可行的。

收稿日期：2009-02-09