信息技术环境下的数学评价

胡耀华

【摘要】信息时代的课程和评价都在发生深刻的变化。信息技术环境下的评价是怎样的？与传统的评价考试有些什么不同？文章介绍了在图形计算器环境下的国外大学入学数学考试的背景、计算器类型、试题特点等，并由此讨论了对我国计算器的使用所带来的思考和启示。

【关键词】图形计算器；评价；课程整合

【中图分类号】G420 【文献标识码】A 【论文编号】1009—8097（2009）05—0037—04

信息技术与课程整合已成为教育改革中的一个亮点。就数学学科而言，各类信息技术已经给数学教学以及课程目标带来了很大的改变。那么，对于课程的另一个重要组成部分——课程评价，信息技术又会带来怎样的影响？信息技术是如何与评价整合的呢？这些是我们随之要关注的问题。因此，本文介绍了一类信息技术——图形计算器在国外大学入学数学考试中的使用情况以及技术环境下的命题特点，希望这些能给今后研究或实践信息技术环境下的数学学科评价提供一个参考。

图形计算器是计算器家族的“掌门人”，它由于小巧的体积，强大的功能和低廉的价格（相对于计算机及其软件），正成为学习数学和科学的一种强有力工具，受到了越来越多的教师和学生的欢迎，尤其在数学教学中发挥的作用已大有超越计算机之势。现在，已有相当多的国家在数学课程标准和数学教材以及大学入学考试中允许使用图形计算器。

一 图形计算器在国外考试中的使用情况

1 概况

1985年底，卡西欧公司生产出了世界上第一台图形计算器，此后，随着图形计算器技术的不断发展以及在数学教学中的广泛使用，它已经广泛地出现在美国、澳大利亚、加拿大、新加坡、英国、法国、丹麦、瑞典、卢森堡、荷兰等十几个国家的数学教材和大学入学考试中。下表列出了其中几个国家的有关信息。

需要说明的是，有些考试是分模块进行的，每一个模块的考试内容和要求都不一样，并不是每个模块都允许使用图形计算器，如澳大利亚维多利亚省的VCE数学考试，除表格中列举的模块是可以使用图形计算器的，其余的模块，如数学方法（CAS）1、数学方法1、专业数学1等就不允许使用任何类型的计算器。同时，为了公平和促进技术发展，允许使用的图形计算器有很多生产商的品牌，本表中“计算器类型”列举的是一些常用类型或者是在允许使用的计算器中功能较强的型号。还需要指出的是，除了数学学科之外，其他一些学科在考试中也允许使用图形计算器，如美国的AP物理和化学考试。

2 图形计算器的使用背景

除了考试之外，图形计算器在这些国家的的教和学中的使用情况又如何呢？下面我们就这方面进行简单介绍。

● 美国：美国全国数学教师协会（NCTM）在2002年建议将计算器全面整合到各年级的数学课程中去，在有些州的数学课程标准中，明确要求教师在教学中使用图形计算器，并且鼓励学生使用，部分教学内容必须图形计算器参与完成。有些州的九、十年级的学生图形计算器的配置率甚至达到了100%。十年前考试中使用科学计算器的考生还略多于使用图形计算器的考生，但如今绝大多数学生都会在考试中选择使用图形计算器。应该说，美国是图形计算器普及率最高的国家之一。

● 英国：英国数学课程的一个显著特色就是数学应用，要求学生学会使用恰当的技术工具来解决现实世界的数学问题，其2001年推出的高中数学课程标准鼓励在教和学中合理使用图形计算器，教材中也加入了许多使用图形计算器的课例。在初中的ICT（信息与通信技术）课程中，学生就要开始学习图形计算器的使用。

● 新加坡：从2002年开始的GCE—A高中数学考试就允许使用图形计算器。从2006年起，又将高中数学分为新的三级课程：H1（Higher1）级、H2级、H3级。在每级的课程大纲和相应的教材中都有图形计算器的使用。

● 澳大利亚：已经把图形计算器整合进教材十几年了。各省在考试中使用图形计算器的宽度和广度各有不同。维多利亚省和南澳省允许在高中数学教学和考试中使用图形计算器。

由此，我们可以看出，这些国家将图形计算器与数学课程进行了全方位的整合，它已经与课程目标、教学和评价三者紧密结合在一起，这是数学考试允许使用图形计算器的基础。信息时代的课程和评价都在发生深刻的变化，当人们把图形计算器等现代技术引入数学课堂之后，我们原有的教学方式和教学内容受到了强大的冲击和影响，图形计算器与数学课程整合的结果就是一些新的课程模式得以产生和出现，图形计算器已经融入了数学课程并成为其中的一部分，而课程目标和评价方式总是紧密相连的，在这个基础上，图形计算器进入考试评价就是理所当然的事。

3 计算器的类型和使用要求

国外的数学考试一般分三种情况：不允许使用任何类型计算器的考试，只允许使用科学计算器的考试以及允许使用图形计算器的考试。允许使用图形计算器的考试，一般也允许使用科学计算器，也有的考试允许带两台计算器，一台图形计算器和一台科学计算器。

随着信息技术的不断进步，图形计算器的功能也日趋完善和强大，其种类也越来越多，但是各种考试都对允许使用的图形计算器的类型作了一定限制，这些考试是基于不同的数学课程和考试目的，因此在考试时允许使用的图形计算器也表现出一定的差异。

根据计算器的功能，我们把这些图形计算器大致分为三类：一类是以TI84为代表的具有图形功能、数值运算能力但不含有CAS系统（计算机代数操作系统，可以编写程序和作符号运算等）的计算器，允许使用图形计算器的大学入学考试一般都允许使用这类计算器；第二类是以TI89为代表的功能更强的含有CAS系统的计算器，部分考试允许使用；第三类计算器以TI92-plus和CASIO Classpad 300为代表，允许使用这类图形计算器的考试比较少，TI92-plus的功能和TI89大致相同，不同的是TI92有类似计算机的字母键盘，所以TI92-plus在美国等地的考试中不允许使用，CASIO Classpad 300是一款高端的图形计算器，有手写笔以及一些特殊的功能，如它可以求某些递推数列的通项，在数量和图形的转换上也很方便，是最近几年才出现的新产品。

带有CAS系统的图形计算器可以方便地做代数式的化简、求值、因式分解、解方程、求导、求不定积分，这些功能就是我们通常要求学生掌握的代数基本技能。因此，允许使用CAS系统的考试与传统考试有所不同，强调对概念的理解和数学应用的考查。允许使用CAS系统的国家，其数学课程和学生学习也都是在CAS环境下的进行的，此时数学课程的目标和教学方法都发生了变化，国外有不少研究结果都认为CAS系统对学生数学学习是有益的[1]，这些研究都支持了CAS在数学学习以及评价中的使用。但也有许多国家对使用CAS系统持谨慎态度，如英国、新加坡的考试还是强调代数的基本技能，因此是不允许使用带CAS系统的图形计算器的。

具有CAS的图形计算器功能更强，但学习和使用也更复杂一些，学生在考试中使用它们会用去更多的时间，而对计算器的熟悉程度将会影响到学生水平的发挥，因此专家还是建议学生使用熟悉的计算器，而不一定是功能最强的计算器。

此外，美国的SAT、AP考试、澳大利亚的VCE考试考前不需要清空计算器的内存，而其余的考试则要求清空内存。

4 图形计算器环境下试题的特点

图形计算器进入数学课程之后，不仅影响了教师怎么教和教什么、学生怎么学和学什么，同时也影响了试题的编制。

传统试题的考察目标在图形计算器环境下很可能通过按键操作就可容易获得，这样试题就很难评价出学生的真实水平，试题失去了应有的价值。如TI84-plus这样的不带CAS系统的图形计算器的主要功能是图形功能，它可以画出函数图像、求交点坐标、零点、极值等，因此函数的考查方式需要调整；允许CAS系统的考试还需要对代数问题的考查方式、考查重点加以改变。大部分图形计算器环境下的考试都需要去考虑这样的问题：如何尽量避免那些仅考查了学生不动脑筋的按键行为，或者仅仅是低层次观察图形计算器的图像就能得到结果的问题。因此命题者在编制考题时使用了这样的一些策略：如使用证明题；解释计算器算得的结果；某些题的计算结果要求精确值，近似值则不计算成绩；在实际应用问题中解释数据的现实意义；分析图形或图表；字母参数问题等[2][3]。传统试题通过以上策略的调整和改造，成为在图形计算器环境下的有效试题。但过去考试中的一些技能性的、算法性的目标不可避免的被削弱，加强的是对概念的理解、数学应用的考查。

另一方面，图形计算器强大的功能实际上是延伸了学生的解题能力，因此试题的考查范围也随之拓展。分析这些国家的考题，会发现一些真实数据的问题和含有复杂运算的问题都得以出现在考题中，学生可以解决一些过去笔算和使用科学计算器所无法解决的问题，在图形计算器的支持下，有些问题甚至变得很简单。

国外有学者根据计算器发挥的作用而把数学问题分成了三类：计算器非活动型问题（calculator-inactive）是指那些在解决问题中计算器无用（甚至是不利）的问题；计算器中性问题（calculator-neutral）是指那些虽然计算器可能会在解题中提供一些帮助，但是不用计算器也能解决的问题；第三类是计算器活动型问题（calculator-active）是指必须要使用计算器来解决的问题。[3]

图形计算器环境下的考试，并非所有的试题都是图形计算器活动型问题，恰恰相反，一些考试中甚至没有图形计算器活动型问题，如SAT推理测试和ACT考试中的每一道题都可以不使用计算器来解决，事实上部分试题最好不使用计算器；当然，这些考试中出现的大多数问题，一般都有多种解决问题的方式，你可以选择使用图形计算器或者不使用。不过，随着图形计算器在考试中近十年的使用，人们的态度也在发生悄然的转变，从最初的谨慎到现在的鼓励和提倡。许多研究者所持的观点是：在确保对学生基本数学理解和数学能力能真实评价的基础上，需要设置一些图形计算器活动型的问题来鼓励图形计算器的使用[4]。如美国的AP考试和新加坡的GCE—A考试、澳大利亚的VCE考试等，这些考试中现在都有图形计算器活动型试题。即使是图形计算器活动型问题，大多数情况下图形计算器在解决这些问题中发挥的也是辅助工具的角色，它可以在学生解决问题过程中的某个步骤发挥作用，给学生提供信息，或者验证解答的结果。对数学问题的正确解决还是依赖于学生对数学的正确理解和数学思维能力。在这些考试中，一般图形计算器活动型的问题在试题中所占比例并不高，比如2005年澳大利亚VCE数学方法（CAS）2的考试中[5]，图形计算器活跃的问题不超过10%，而图形计算器中性的问题占到了50—60%的比例。所以，在这些允许图形计算器进入的考试中，图形计算器实际参与解题的比重并不很高。国外有研究表明，考试中得高分的那些学生，并不在于他图形计算器使用得熟练，而是仍然依赖有较高的数学能力，这说明试题编拟的合理的话，技术对评价产生的消极作用是能被消除的。

从图形计算器对试题的影响情况我们可以看出，传统数学课程要求学生掌握的一些技能和方法可能变得不再重要了，取而代之的是要求学生“在恰当的时候会使用现代技术去理解数学和帮助解决问题”，这成了信息时代对学生在数学学习上的新要求。另一方面，技术毕竟不是数学，不能用技术的使用来代替数学的学习，对一些重要的数学概念、数学思想的理解，不仅不能削弱，反而加强了。

二 思考和启示

从以上国外的情况可以看出，信息技术已经进入考试和评价，而且是一种发展趋势。这种现象对我们有何启发？从2001年开始，科学计算器已开始进入我国的义务教育数学课程标准和各地的实验教科书，各地的中考也陆续允许科学计算器的使用，2006年全国大约有超过三分之一的地区允许计算器进入中考，但2007年起有些地方出现反复[6]。上海在2000年率先允许计算器进入高考，迄今为止也是独此一家。目前，图形计算器已在我国的上海、北京、广州等地的部分学校试点使用，但还未进入课程标准和正式的教材。那么我们在计算器的使用上是否还需加强？如何加强？在借鉴国外这方面经验和研究成果的同时，我们还需讨论如下的一些问题。

1 如何看待计算器类的现代信息技术在数学课程中的使用

尽管科学计算器已在我国的部分初中和高中的数学课程中使用，但关于计算器是否应该引入到中学数学课程中的争论仍然不绝于耳，在我国，反对之声主要来自于一线的教师，尤其是初中教师，他们普遍的观点就是计算器的引入导致学生运算能力的下降。计算器的引入确实有利有弊，但国内和国外的许多研究都证明了计算器的使用是利大于弊的[7]，许多研究表明，在教学中使用像图形计算器这样的现代技术能提高学生对数学的好奇心，在代数、微积分、概率统计等方面对学生的学习有明显的促进作用。计算器（包括图形计算器）可以帮助学生完成一些在数学中属于技能性、程序性或比较繁琐的工作，如数和式的运算、画函数图像、数列求值、概率和统计中的数据处理、求回归函数等。因此，这些传统的教学内容在技术环境下能否改变要求？就像计算器出现以后，常用对数表、对数的计算功能在中学数学教材中消失了一样，中学数学中是否还有这样的内容在图形计算器环境下或功能日益强大的科学计算器环境下丧失了价值或改变了内涵？这些都需要我们仔细考虑和研究。另一方面，计算器的引入对数学课程是有益的，但并非没有弊端。如学生过度的依赖计算器，不愿意思考；一些仍需学生掌握的重要数学技能，可能会因为计算器的使用而受到影响等。这些大家担心的问题如果不能很好解决或者充分考虑的话，那么在数学课程中引入计算器大家仍然是心怀忐忑的。而目前看来，通过适当的方式，如教会学生合理的使用计算器、采用多种评价方式和发挥评价的导向作用、选择合适的计算器类型等都可以使这些问题在一定程度上得到解决。

2 计算器类的技术如何在课程中整合？

笔者的观点是计算器与数学课程的整合应该是全方位的，深层次的，不应该仅仅是在教学中应用，更应该进入课标、教材以及评价体系中。

目前我们的“整合”更多的是停留在信息技术对数学教学的帮助上，技术是为现有的课程内容和课程模式服务的。现代信息技术如此发达，能否让这些技术对我们数学课程的影响再深入一些呢？就像计算器的使用使得我们对“运算能力”的内涵重新界定一样，现在的科学型计算器可以求零点，做回归，有了除四则运算以外更强大的功能，更何况可以画函数图像、进行符号代数运算的图形计算器，我们应该重新考虑数学内容、教学方法和评价策略，解放学生，做到真正意义上的技术与数学课程的整合。

当然，我国大多数地区的学生目前还不能承受图形计算器昂贵的价格，所以图形计算器在数学课程中的真正应用还需要假以时日。目前，我们更应该考虑的是科学计算器在数学课程中的应用，这种考虑可以说更符合我们国家的实际情况。科学计算器尽管已进入课标和教材，但对计算器的价值还没有充分开发利用，在评价中的使用还显得有些瞻前顾后，大部分地区的中考和除上海以外的高考还是不允许使用计算器的。但如果考试中不允许使用计算器，那么教师和学生在教学中使用计算器就会有顾虑、甚至会拒绝，教师会担心计算器的使用会影响考试成绩，而这种担心是有道理的。教学和评价不一致是不合理的，如果计算器已经成为数学教学中的一部分， 那么计算器也应成为评价中的一个重要方面，这样教学和评价才是协调的。只有在评价中允许使用计算器，那么技术与课程的整合才能真正落实，借由现代技术来解放学生的目的才能真正实现。

3 计算器进入考试给试题带来怎样的变化？是否需要通过考试来倡导计算器的使用？

科学计算器包括未来的图形计算器如果进入中考和高考，会给我们的试题带来怎样的变化？传统的试题是否还能继续使用？对于不能使用的试题，如何加以改造？如果我们确定引入计算器是对学生有利的，我们是否需要通过一定的手段来鼓励计算器的使用，如在不影响数学目标考察的情况下，在考试中增加一定的计算器活动型问题？这些问题都值得我们考虑。国外在这方面有一定的研究，可以供我们参考，而国内近几年也积累了一些经验和好的做法，这些都需要加以认真总结和学习。

除了以上这些问题之外，计算器等技术要成功与数学课程整合，面临的问题还有很多，需要大家更多的关注和思考。而让计算器进入考试，真正的解放学生，减轻学生负担，发展学生的创新能力和解决问题的能力，是数学教育的目标。让现代信息技术帮助学生在数学的世界中远行！

参考文献

[1] What Does the Research Say about Achievement of Students Who Use Calculator Technologies and Those Who Do Not?,

[2] Vlasta K V.Exam questions when using CAS for school mathematics teaching. ERIC Document Reproduction Service,1999,No. ED445911.

[3] Beckmann C E,Thompson D R,Senk S L. Assessing Students Understanding of Functions in a Graphing Calculator Environment[J].School Science and Mathematics,1999, 99:51-54.

[4] Michael M. Curriculum and Assessment in an Age of Computer Algebra Systems. ERIC Document Reproduction Service, 2000, No. ED463947.

[5] Mathematical Methods (CAS)1,

[6] 罗强.对苏州市数学中考再次禁用计算器的反思[J].数学教学,2007,(8):21.

[7] 李旭辉.关于计算器在数学教学中地位与应用的思考[J].数学教学,1999,(4):30-32.