Tor-torsion pair与弱整体维数

邢建民

(青岛科技大学数理学院,山东青岛 266061)

Tor-torsion pair与弱整体维数

邢建民

(青岛科技大学数理学院,山东青岛 266061)

利用torsion pair的方法讨论了Tor-torsion pair的一些性质,目的是找到Tortorsion pair与环R的弱整体维数之间的关系,并得到了一个很好的不等式关系.

Tor-torsion pair;弱整体维数;平坦维数

1 引言

Cotorsion理论最早由Salce引入[1],很多作者都对其进行了深入地研究.在文[2]中给出了cotorsion pair与环的整体维数之间的关系.作为上述的推广,在文[3]中给出了Tor-torsion pair的定义.作为进一步的研究,本文给出了Tor-torsion pair与环的弱整体维数之间的关系.

本文中R是任意的环,R-Mod定义为所有的左R-模类,Mod-R定义为所有的右R-模类.对于任意右R-模M,fdRM定义为M的平坦维数.其它定义详见文[4].

2 主要结果及其证明

定义2.1[2]设R是环,F是右R-模类,C是左R-模类.我们称(F,C)是一个Tor-torsion pair,如果对任意的右R-模F,F∈F当且仅当对任意的C∈C满足(F,C)=0;类似的对任意的左R-模C,C∈C当且仅当对任意的F∈F都满足(F,C)=0.

引理2.1设(F,C)是Tor-torsion pair.则F和C都是关于扩张,直和和正向极限闭的.

证明由Tor-函子的性质易证.

同理可证明给定的n=∞,恰好不存在这样的s满足0≤s＜∞.

对偶的我们可以得到

定理2.3设(F,C)是R-模的一个Tor-torsion pair.p=sup{fdRC|C∈C}(因此0≤p≤∞).若0≤t＜∞,则p是满足下列条件的t的最小值:0≤t＜∞,且对任意的R-Mod M,如果0−→F−→Pt−1−→Pt−2−→…−→P0−→M−→0是部分平坦分解,则F∈F.若没有这样的s,则p=∞.

现在我们设m和l分别是R的左和右弱整体维数.(有可能m,l=∞).

定理2.4设(F,C)是R-模的一个Tor-torsion pair.且m,l,n,p如上定义,则max{m,l}≤n+p.

证明若n=∞或p=∞,不等式显然成立.因此假设n,p＜∞,设M∈Mod-R,0−→

F−→Pp−1−→Pp−2−→…−→P0−→M−→0是M的部分平坦分解.由定理2.3.可得F∈F.再由n的定义可得fdRF≤n.因此对任意的右R-模,fdRM≤n+p;故l≤n+p.对偶可证m≤n+p.因此max{m,l}≤n+p.

(2)⇐⇒(3)的等价类似可证.

定义2.2若Tor-torsion pair(F,C)满足上述定理,则称其是遗传的Tor-torsion pair.我们可证明若F和C关于满同态的kernel闭,则Tor-torsion pair(F,C)是遗传的.

我们再给出n,p的另外的性质.

[1]Salce L.Cotorsion theories for Abelian groups[J].Sympos.Math.,1979,23:11-32.

[2]Enochs E E.Some remarks on global dimensions for cotorsion pairs[J].Rend.Sem.Mat.Univ.P adova, 2006,116:205–209.

[3]Trlifaj J.Handbook in Tilting Theory[M].Cambidge:Cambridge university Press,2007.

[4]Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra[M].New York:Academic Press,1979.

Tor-torsion pair and weak global dimensions

XING Jian-min
(College of Mathematic and Physics of Qingdao University of Science and Technology, Qingdao266061,China)

Some properties of Tor-torsion pairs are discussed by using the torsion pair.The purpose of this paper is finding the relationships between Tor-torsion pair and weak global dimension of the ring R and a good inequality is obtained.

Tor-torsion pair,weak global dimension,flat dimension

O153

A

1008-5513(2009)03-0563-03

2007-11-05.

青岛科技大学科研启动基金(0022313).

邢建民(1978-),讲师,研究方向：代数学.

2000MSC:20M19