保不交算子值域的一些性质

陈志杰,陈滋利,程娜

(西南交通大学数学学院,四川成都 610031)

保不交算子值域的一些性质

陈志杰,陈滋利,程娜

(西南交通大学数学学院,四川成都 610031)

研究了保不交算子值域的性质,建立了保不交算子值域为Riesz子空间的一个刻画;又讨论了主理想和主带在保不交算子作用后的象的性质,一些相关结果也得以讨论.

保不交算子;保区间算子;值域;主带

1 序言

自上世纪七十年代至今,对Riesz空间上保不交算子的研究,已有了相当深入的结果,尤其是在保不交算子的乘法表示、可逆性、分解性、结构性等方面.而关于保不交算子值域的性质研究较少涉及.文[1]中仅讨论保不交算子值域为理想的情形,而关于保不交算子值域为Riesz子空间的情况,却无人问津.本文就此问题做了一些探讨.

设E,F为Archimedean Riesz空间,线性算子T:E→F对所有x,y∈E,|x|∧|y|=0满足|Tx|∧|Ty|=0时,则称T为保不交算子.正的保不交算子称为格同态.T是序有界的保不交算子当且仅当T的模|T|=T∨(−T)存在且为格同态.若正算子T:E→F满足对于任意的x∈E+,有T[0,x]=[0,Tx],则T称为保区间算子,此时TE为F的理想.当T是格同态时,TE为F的Riesz子空间[2].而当T是保不交算子,TE不一定为F的Riesz子空间[3].下文将给出TE为F的Riesz子空间的充分必要条件.

有关Riesz空间及保不交算子等未解释的术语符号及基本理论可参考文[2,4-5].无特殊说明,本文均假定算子为序有界的算子,值域空间F是Dedekind完备的.

2 保不交算子的值域

下列有关算子的核和零空间的概念及相关性质可在文[4]中找到.设序有界算子T: E→F,T的核(kernel)表示为Ker(T)={x:Tx=0};T的零空间(null space)表示为NT={x:|T|(|x|)=0}.容易验证,NT是E的理想,若T序连续,则NT是带.当T是保不交算子时,Ker(T)是理想,而且T的零空间与它的核相同,同时有如下性质:

性质1设T:E→F为序有界的保不交算子,则Ker(T)=NT=Ker(|T|).

证明(1)若x∈Ker(T),则0=|Tx|=|T|(|x|),从而x∈NT;反之,若x∈NT,那么0=|T|(|x|)=|Tx|,所以Tx=0,即x∈Ker(T).

(2)由于T为序有界的保不交算子,|T|为格同态,同样满足Ker(|T|)=N|T|.又NT= N|T|,故Ker(|T|)=NT.

由文[2]知,当T是格同态时,TE为F的Riesz子空间.然而若T为保不交算子时,TE则一般不一定为F的Riesz子空间[3].但|T|E为F的Riesz子空间,而且|T|E⊆ℜ(TE),其中ℜ(TE)为TE生成的Riesz子空间.事实上,对于任意的0＜x∈E,|T|x=|Tx|∈ℜ(TE),因此|T|E⊆ℜ(TE),且这种包含关系可以是真包含[6].

下面的结果显示TE为F的Riesz子空间时所具有的某些特征.

定理1设T:E→F为保不交算子,若TE为F的Riesz子空间,则TE=|T|E.

证明由于TE为F的Riesz子空间,即TE=ℜ(TE).又|T|E⊆ℜ(TE),故而|T|E⊆TE.现在只需证明TE⊆|T|E.

对于任意的x∈E,|T|x=|T|x+−|T|x−∈TE.

由上述两个定理可以得到TE为F的Riesz子空间的一个刻画.

定理3设T:E→F为保不交算子,TE为F的Riesz子空间的充分必要条件是满足下面两个中的一个即可.

(1)TE⊆|T|E;(2)|T|E⊆TE.

作为上面的定理的一个应用,可以得到文[1]中定理2.7的另一个简便的证明.

定理4T:E→F为保不交算子,若|T|是保区间算子,则TE为F的理想.

证明由于|T|是保区间算子,那么|T|E是F的理想[4].由文[6]中的引理1知道I(TE)= I(|T|E),其中I(TE)表示TE在F中生成的理想.那么下面的关系成立

[1]Hart D R.Some properties of disjointness preserving operators[J].Proceeding of AMS,1985,88:183-197.

[2]Luxemberg W A J,Zaanen A C.Riesz Spaces I[M].Amsterdam:North-Holland,1971.

[3]艾富菊,陈滋利,陈志杰.经典序列Banach格上保不交算子的一些性质[J].四川师范大学学报,2007(教育教学专辑):16-21.

[4]Aliprantis C D,Burkinshaw O.Positive Operators[M].New York:Academic Press,1985.

[5]Meryer-Nieberg P.Banach Lattice[M].New York:Springer-Verlag,1991.

[6]Boulabiar K,Buskes G.Polar decompositions of order bounded disjointness preserving operators[J].Proceeding of AMS,2003,132:799-806.

[7]Bahri Turan.On ideal operators[J].Positivity,2003,7:141-148.

[8]Abramovich Y A,kitover A K.A characterization of operators preserving disjointness in terms of their inverse[J].Positivity,2000,4:205-212.

[9]Pagter B D,Schep A R.Band decompositions for disjointness preserving operators[J].Positivity,2000, 4:259-288.

[10]曹金文,胡灿.关于完全强仿紧空间的刻画[J].纯粹数学与应用数学,2004,20(2):193-196.

Some properties of the range of disjointness preserving operators

CHEN Zhi-jie,CHEN Zi-li,CHENG Na

(College of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu610031,China)

In this paper,some properties of the range of disjointness preserving operators are discussed.Firstly, the characterization is given,which is that the range of disjointness preserving operator is Riesz subspace. Secondly,some properties of disjointness preserving operators effecting on principal ideal and band are also given.

disjointness preserving operators,interval preserving operators,range,principal bands

O177.2

A

1008-5513(2009)04-0774-03

2008-03-25.

陈志杰(1984-),硕士,研究方向：泛函分析.

2000MSC:46A40,47B60