某些半环上Green关系的刻划

张娟娟

(西安工程大学理学院,陕西西安 710048)

某些半环上Green关系的刻划

张娟娟

(西安工程大学理学院,陕西西安 710048)

假设S是乘法半群为完全正则半群的半环.给出了S上的Green关系˙H,˙L和˙D是S上的半环同余的等价刻划,并利用幂等元的方法证明了在一定条件下˙D是S上的同余当且仅当˙L,˙R是S上的同余.

完全正则半群;半环;Green关系;同余;Mal’cev积

1 引言

Green关系在半群理论发展过程中扮演着非常重要的角色,因此对于Green关系的研究是一项有意义的工作.文[1-2]详细阐述了半群上的Green关系理论.显然,半环的加法半群与乘法半群都有各自的Green关系.在文[3-4]中,赵宪钟教授对幂等元半环的加法半群,乘法半群上的Green关系进行了深入细致的研究.设S是乘法半群为完全正则半群的半环,本文将给出S上的Green关系˙H,˙L,˙D是S上的半环同余的等价刻划,并利用幂等元的方法证明了在一定条件下˙D是S上的半环同余当且仅当˙L,˙R是S上的半环同余.本文直接使用的定义,记号及相关结论参看文[1-2,5].

2 格林关系˙H˙L,˙D的刻划

定义1半环(S,+,·)是指非空集合S上装有两个二元运算“+”和“·”的(2,2)型代数,且满足条件:

(i)(S,+)和(S,·)是半群;

(ii)(∀a,b,c∈S)(a+b)c=ac+bc和c(a+b)=ca+cb.

需要注意的是:对于一般半环而言,乘法运算对加法运算具有分配律,然而加法运算对乘法运算并不一定具有分配律,这样就导致半环的加法半群与乘法半群的地位并不是完全对等的.环和分配格均是半环的特例.幂等元半环簇是比分配格更广的半环类,即满足附加恒等式x+x≈x2≈x半环的全体.这样,幂等元半环S的加法半群(S,+)和乘法半群(S,·)都是带.幂等元半环簇记为I.

带簇,完全正则半群簇分别记为B,CR.若V为B的子簇,则用()表示乘法(加法)带属于V的幂等元半环簇;若V∈[B,CR],则用()表示乘法(加法)半群属于V的半环簇.例如: ˙R表示乘法半群是矩形带的幂等元半环簇,˙CR表示乘法半群是完全正则半群的半环簇.

3 Green-关系是半环同余与,是半环同余之间的关系

[1]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

[2]Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroups[M].New York:A Wiley-Interscience Publication, 1999.

[3]Zhao X Z,Guo Y Q,Shum K P.D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Colloquium, 2002,9:15-28.

[4]Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Universalis, 2001,46:75-96.

[5]潘秀娟,邵勇,田俊华.乘法半群为正规纯整群的半环[J].纯粹数学与应用数学,2005,21(1):76-79.

[6]Pastijn F,Zhao X Z.Varieties of idempotent semirings with commutative addition[J].Algebra Universalis, 2005,54:301-321.

The characterization of the Green relations on some semirings

ZHANG Juan-juan
(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an710048,China)

Let S be a semiring with a completely regular multiplicative semigroup.The equivalent characterizations of which the Green relations˙H,˙L and˙D are semiring congruences on S are given.And the result that ˙D is a congruence on S if and only if˙L and˙R are congruences on S is proved under certain conditions by using the method of idempotent elements.

completely regular semigroups,semirings,Green relations,congruences,Mal’cev product

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0716-05

2008-06-30.

国家自然科学基金(10471112),陕西省教育厅自然科学专项基金(08JK432).

张娟娟(1979-),博士,研究方向：代数学.

2000MSC:08A15