有限群极大子群的s-θ-完备与π-可解性

钟祥贵,单俊辉,张洪,2

(1.广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004;2.凯里学院数学与计算机科学系,贵州凯里 556000)

有限群极大子群的s-θ-完备与π-可解性

钟祥贵1,单俊辉1,张洪1,2

(1.广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004;2.凯里学院数学与计算机科学系,贵州凯里 556000)

定义一些极大子群的集合,通过研究极大子群的s-θ-完备对群结构的影响,给出有限群为π-可解的一些新刻画.

极大子群;s-θ-完备;π-可解群

1 引言及预备知识

有限群的极大子群在群论研究中扮演着重要的角色.赋予极大子群若干条件研究其对有限群本身的结构的影响,这是长期以来令人感兴趣的课题[112].Deskins[1]引入了有限群极大子群完备的概念,并在文[2]中研究了极大完备的群论性质对有限群结构的影响.这一开创性的方法为研究有限群的性质提供了一个很好的工具.借鉴这种方法,文[3]定义了有限群极大子群的θ-子群偶的概念,利用极大子群的完备或θ-子群偶刻划群的可解性,超可解性,幂零等性质. 文[4]提出θ-完备的概念,有力地揭示了完备与θ-子群偶之间的内在联系.注意到以往的研究是通过对θ-完备赋予“极大”这一条件来刻划群的结构.为了去掉“极大”条件,文[5]提出了强θ-完备的概念,文[6]中称其为s-θ-完备,并利用这一概念得到了关于群的可解性,幂零性的一些新的判别准则.本文继续文[5-6]的工作,通过定义一些极大子群集合,从新的角度对群的π-可解性进行刻划.

本文涉及的群G皆指有限群.M＜…G表示M是G的极大子群,CoreG(M)表示M在G中的核.文中未予特别说明的符号都是标准的.

定义1.1[1]给定群G的极大子群M.令N/K是G的一个主因子,满足G=M N并且N有尽可能小的阶.N/K的阶叫做M在G中的正规指数,记作η(G:M).

定义1.2[4]给定群G的极大子群M,称G的子群C为关于M的θ-完备,如果C/⊆M,CoreG(M)⊆C,且C/CoreG(M)不真含G/CoreG(M)的异于1的正规子群.

定义1.3[6]设C是关于M的θ-完备,称C为关于M的s-θ-完备,如果C=G或者存在G的子群B,使得C是B的极大子群但B不是关于M的θ-完备.

定义1.4设G是有限群,p是素数,定义G的特征子群L(G),Sp(G),Dp(G)如下

引理1.1设C是极大子群M的一个s-θ-完备,如果NG且N≤M,则C/N是M/N的一个s-θ-完备;反之如果C/N是M/N的一个s-θ-完备,则C是极大子群M的一个s-θ-完备.

证明由定义,结论显然.

引理1.2[7]L(G)超可解.

引理1.3[8]如果N是G的正规子群,M是G的极大子群,满足N≤M,那么η(G/N: M/N)=η(G:N).

引理1.4[1]η(G:M)=|σ(M)||G:M|.

引理1.5[9]如果M是G的极大正规子群,那么η(G:M)=|G:M|为一素数.

引理1.6[10]设p是Dp(G)定义中的素数,如果G p-可解,那么Dp(G)可解.

引理1.7[10]设p是Sp(G)定义中的素数,如果G p-可解,那么Sp(G)可解.

引理1.8[11]如果G有一个CoreG(M)=1的极大子群M,那么下列陈述两两等价

(i)核为1的极大子群在G中的指数为同一个素数的方幂;

(ii)G有唯一极小正规子群N,且G的核为1的极大子群在G中的指数有共同的素因子;

(iii)G有一可解极大正规子群.

2 主要结果

定理2.1设群G p-可解,则Gπ-可解当且仅当对每个M∈δp(G),存在M的正规s-θ-完备C使得C/CoreG(M)π-可解.

证明必要性显然.下面证明充分性.设G是满足条件的极小阶反例.如果δp(G)为空集,则由定义1.4,G=Dp(G),由引理1.6,Dp(G)可解,所以G可解.矛盾.下设δp(G)非空. 又G非单,否则G亦π-可解,矛盾.设N是G的极小正规子群,我们证明G/N,Nπ-可解.事实上,由G p-可解,则G/N p-可解,若δp(G/N)为空集,由定义1.4,G/N=Dp(G/N)p-可解,据引理1.6,Dp(G/N)可解,从而G/N可解,G/N当然π-可解.若δp(G/N)非空,不妨设M/N∈δp(G/N),亦即M∈δp(G),由假设存在M的一个正规s-θ-完备C使得C/CoreG(M)π-可解.由引理1.1,C/N为M/N的s-θ-完备,由

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On the s-θ-com p letions of max imal subgroups and the π-solvability of a finite group

ZHONG Xiang-gui1,SHAN Jun-hui1,ZHANG Hong1,2

(1.College of Mathem atical Sciences,Guangxi Norm al University,Guilin 541004,China; 2.Department of Mathematics and Com puter Science,Kaili University,Kaili 556000,China)

Define some sets for m axim al subgroups,and by investigating the influence of s-θ-com p letions of maximal subgroups on the structure of finite groups,some new characterizations of theπ-solvability of a finite group are obtained.

m axim al subgroups,s-θ-com p letion,π-solvable groups

O152.1

A

1008-5513(2009)02-0346-05

2007-10-10.

广西科学基金资助项目(桂科自0991090),广西研究生教育创新计划项目(2007106020701M 51).

钟祥贵(1963-),副教授,研究方向：群论.

2000M SC:20D 10